最初に電磁場のローレンツ変換の変換式についてごく簡単に振り返っておく。理論的にこのような関係式がどうやって導出されてなぜ成り立つのかといった詳しいことは教科書等を見てほしい。
1.1 電磁場テンソル
3次元的な電磁気学では、1成分のスカラーポテンシャル 𝜙 と3成分のベクトルポテンシャル 𝑨 = (𝐴𝑥, 𝐴𝑦, 𝐴𝑧) を使って、電場 𝑬 = (𝐸𝑥, 𝐸𝑦, 𝐸𝑧) と磁場 𝑩 = (𝐵𝑥, 𝐵𝑦, 𝐵𝑧) を
のように表した。 𝑩 は正式には「磁束密度」だが、面倒なので「磁場」と書くことにする。
相対性理論では4次元時空を扱うので、 𝜙 と 𝑨 を組み合わせて4成分のベクトルを作ろう。ただしSIだと 𝜙 の次元は 𝖬𝖫²𝖳⁻³𝖨⁻¹ で 𝑨 の次元は 𝖬𝖫𝖳⁻²𝖨⁻¹ だから両者の次元が一致しない。そこで 𝜙 を光速 𝑐 で割って次元を 𝑨 に合わせて、
というベクトルを定義すると、実はこれはちゃんと4元反変ベクトルになっている。そしてミンコフスキー座標では反変ベクトルと共変ベクトルは第0成分（時間成分）の符号が違うだけだから、これの共変ベクトルは
である。この 𝐴𝜇 とか 𝐴𝜇 を4元ポテンシャルと呼ぶ。
ここで
という反対称な2階共変テンソルを定義すると、その実態は
のように、電場（を光速で割ったもの）と磁場をただ整然と並べただけのテンソルになる。言わなくてもわかると思うが最後の等号は(1)・(2)式を使った変形である。相対性理論では電場と磁場を別々のベクトルとして扱うよりも、両方の情報が入っているこの電磁場テンソルをよく使う（ただし符号が逆になる流儀もある）。
1.2 電磁場テンソルのローレンツ変換
𝐾 系における電磁場テンソルを 𝐹𝜇𝜈 とし、 𝐾 系に対して 𝑥 軸方向に一定の速度 𝑣 で運動する 𝐾′ 系における電磁場テンソルを 𝐹′𝛼𝛽 とすれば、これらは普通のローレンツ変換で結びつく。それを
のように書けば、変換行列は
である。これは共変成分を変換する変換行列だから 𝛬₀¹ と 𝛬₁⁰ の符号は−ではなく+である。 𝐹′𝛼𝛽 の表式を求めるには(3)・(5)式を(4)式に代入すればよいのだが、具体的な変換を1成分ずつ別々の式で書くのはめんどくさいので行列の形式でまとめて書けば、
のようになる。ただし行列の左上の 𝑡 は転置行列を表す。(4)式は個々の成分の式だから右辺の積の順番はどうでも良いが、(6)式は行列だから右辺の積の順番を好き勝手に変えてはいけないし、適切に転置を取らなければならない（今の問題ではたまたま3個目の行列は対称行列になっているから転置を取り忘れても結果は変わらないが、それはたまたまである）。行列の形式で書いたときにこのようになる理屈がわからなければ、地道に行列の積の計算と縮約の計算を別々に紙に書いて見比べてみるとよいだろう。
さて、 𝐾′ 系における電磁場テンソル 𝐹′𝛼𝛽 と電場 𝑬′ = (𝐸′𝑥, 𝐸′𝑦, 𝐸′𝑧) 、磁場 𝑩′ = (𝐵′𝑥, 𝐵′𝑦, 𝐵′𝑧) との関係は 𝐾 系の(3)式と同様に
であって、(6)式と(7)式は同じものを表しているから、
のようになっているということである。これが電場と磁場の各成分のローレンツ変換である。
(8)〜(13)式は 𝐾 系に対する 𝐾′ 系の相対速度が 𝑥 軸方向になっている場合であるが、相対速度 𝒗 が一般の方向を向いている場合の変換式は以下のようになる。 𝒗 に平行なベクトルを 、垂直なベクトルを で表すと、
である。あるいはまとめて
と書いてもよいだろう。文献によっては 𝒗 × 𝑩 のところが 𝒗 × 𝑩⟂ とか (𝒗 × 𝑩)⟂ になっているものもあるが、ちょっと考えればわかるがその ⟂ はあってもなくても同じなのでどの書き方でも良い（𝒗 × 𝑬 も同様）。