相対性理論の計算

𝓝𝓲𝓼𝓱𝓲𝓭𝓪 𝓢𝓬𝓲𝓮𝓷𝓬𝓮

少しずつ記事を増やしていきます。

双子のパラドックスの座標変換の図(アリスに固定した座標系) 双子のパラドックスの座標変換の図(ボブに固定した座標系)

相対性理論におけるいわゆる「双子のパラドックス」について、定性的な説明は世の中いたるところにある。定量的に両者の経過時間を計算している説明もあるが、待っている慣性系側の視点のみで計算したものや、加減速時を無視して等速直線運動するところだけ計算したものなど、サボっているものが多い。

ここでは加減速時も含めて両者の視点から定量的な計算を行う。

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光源の速度とドップラー効果の赤方偏移/青方偏移の対応の図

相対論的な速度における光のドップラー効果では、非相対論的なドップラー効果にはないような現象が現れる。

光源が斜めに動いたとき、その方向と速さに応じてどれだけ波長(または振動数)が変わるか計算してみよう。

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重力場の方程式の厳密解を導出する。

シュバルツシルト解(外部解)の導出

重力場の方程式の解のうち、球対称・定常・真空の解であるシュバルツシルト解(外部解)を導出する。

シュバルツシルト解(内部解)の導出

重力場の方程式の解のうち、球対称・定常・一様密度・完全流体の解であるシュバルツシルト解(内部解)を導出する。

球対称で定常な時空の計量の導出

シュバルツシルト解(外部解・内部解)を拡張し、天体が球対称・定常・完全流体であるが密度が一様でない場合でも成り立つ解を導出する。

バーコフの定理

シュバルツシルト解(外部解)の条件を緩めて、「定常」の条件を取っ払って時間変化しても構わないことにすればどんな解が得られるだろうか、計算してみよう。

ライスナー・ノルドシュトルム解の導出

球対称・定常で電荷を伴った解であるライスナー・ノルドシュトルム解を導出する。ついでに、定常に限らないときのことも考える。

宇宙項があったらシュバルツシルト解はどう変わるか

宇宙項を考慮したらシュバルツシルト解はどう変わるのだろうか。「厳密解」というからには宇宙項が厳密にはどのように解に影響するのか知りたくなる。それを計算してみよう。

一様・等方な時空の方程式とその真空解

一様・等方な時空が満たす重力場の方程式(フリードマン方程式)を求める。そして真空の場合の解を導出する。

シュバルツシルト解(外部解)のリッチテンソルはゼロであるが、リーマンテンソルはゼロではない。ではリーマンテンソルの値はどうなっているのか、そのすべての成分を計算してみよう。

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円軌道で地球を周回する人工衛星の時間のずれのグラフ

地球を周回する人工衛星の時間は、地上の時間からずれる。

そのずれを計算する方法は主に2つある。1つ目の方法は、人工衛星が動いているために生じる時間の遅れと、人工衛星が高いところに位置しているために生じる時間の進みを、別々に算出して足す方法である。2つ目の方法は、重力場の方程式の解を使ってまとめて一気に計算する方法である。

ここでは円軌道の人工衛星に対して両方のやり方で計算し、両者が同じ結果になることを示す。

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重力崩壊する星(落下する座標系)の図

なぜブラックホールは見えないのだろうか。それはたいてい、ブラックホールの重力がとても強いので光もブラックホールに引かれて外に出られないからだ、といったように説明される。確かに重力のせいでブラックホールからは光もまったく出てこないし、光が出てこなければ見えないのは当たり前なので、そこは間違っていない。しかしこの説明だけでは状況を正しく思い浮かべることは難しく、誤解を招くようにも思える。

ここでは一般相対性理論で説明されるブラックホールがどういう構造になっているから見えないのかを簡単に述べる。

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