座標系

まず座標系の形を決めなければならない。空間的には球対称だから極座標（球座標）みたいなのがよいだろう。それに時間座標を加えて、次のように仮定する。

𝑥^⁰ = 𝑤

時間座標（未来方向が正）

𝑥^¹ = 𝑟

動径座標

𝑥^² = 𝜃

角度座標（緯度:北極が0）

𝑥^³ = 𝜑

角度座標（経度）

ただし、まだ方程式が解けたわけではないので、上に書いた座標の意味は仮定である。

計量テンソル

次に、未知関数である計量テンソル 𝑔_𝜇𝜈 は対称テンソルであるから $$\left({𝑔}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{𝑔}_{00}& {𝑔}_{01}& {𝑔}_{02}& {𝑔}_{03}\\ {𝑔}_{01}& {𝑔}_{11}& {𝑔}_{12}& {𝑔}_{13}\\ {𝑔}_{02}& {𝑔}_{12}& {𝑔}_{22}& {𝑔}_{23}\\ {𝑔}_{03}& {𝑔}_{13}& {𝑔}_{23}& {𝑔}_{33}\end{array}\right)$$ という形の10個の独立成分で書くことができる。これらに対して、時空が球対称で定常であるという条件を課して形を限定していこう。まず定常であるから 𝑤 には依存しないはずだ。だが、同様に球対称だからすべてが 𝜃, 𝜑 に依存しないかと言えば、そうではない。というのは 𝜃, 𝜑 座標の基底自体が球対称でない（特定の円周方向を向いており大きさもそろっていない）ので、計量の第2, 3行および第2, 3列は 𝜃, 𝜑 にも依存する可能性がある。一方、 𝑤, 𝑟 座標の基底は球対称だから第0, 1行の第0, 1列は 𝜃, 𝜑 に依存せず 𝑟 のみの関数だと言える。

第2, 3行および第2, 3列についてさらに考えてみよう。球対称であるから、 𝑥^³ = 𝜑 の正方向と負方向で違いはないはずである。このことから 𝑔_₀₃ = 𝑔_₁₃ = 𝑔_₂₃ = 0 であることが言える。そうでなかったら東方向と西方向で時空の性質が違うことになってしまって球対称でなくなるからだ。同様に 𝑥^² = 𝜃 についても同じことが言えて、 𝑔_₀₂ = 𝑔_₁₂ = 𝑔_₂₃ = 0 である。

ところで3次元ユークリッド空間に埋め込まれた半径 𝐷 の2次元球面に普通の角度座標 (𝜃, 𝜑) を張った場合の計量テンソルは $$\left({𝑔}_{𝑖𝑗}\right)=\left(\begin{array}{cc}{𝐷}^2& 0\\ 0& {𝐷}^2{\sin }^2𝜃\end{array}\right)$$ である。今から求めるシュバルツシルト解も、 𝑥^⁰ = 𝑤 と 𝑥^¹ = 𝑟 を固定した球面上で円周方向のみを考えればこれと同じになっているはずで、ただ半径がいくらの球面と同じなのかはまだわからないから、 $$\left(\begin{array}{cc}{𝑔}_{22}& {𝑔}_{23}\\ {𝑔}_{23}& {𝑔}_{33}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2& 0\\ 0& {\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2{\sin }^2𝜃\end{array}\right)$$ のように置く。0でないかもしれない残りの3成分を 𝑔_₀₀ = −𝐹(𝑟) 、 𝑔_₁₁ = 𝐺(𝑟) 、 𝑔_₀₁ = 𝐻(𝑟) と置けば、計量テンソルは $$\left({𝑔}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-𝐹\left(𝑟\right)& 𝐻\left(𝑟\right)& 0& 0\\ 𝐻\left(𝑟\right)& 𝐺\left(𝑟\right)& 0& 0\\ 0& 0& {\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2& 0\\ 0& 0& 0& {\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2{\sin }^2𝜃\end{array}\right)\text{(5)}$$ のように表される。 𝑥^⁰ = 𝑤 は時間だと仮定したので、 𝑔_₀₀ には最初からマイナスをつけておいた。これが球対称・定常な時空の計量テンソルである。線素の式は $${\mathrm{d𝑠}}^2=-𝐹\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑤}}^2+2𝐻\left(𝑟\right)\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝑟}+𝐺\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑟}}^2+{\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\text{(6)}$$ のようになる。10個あった未知関数がこれで4個にまで減った。

計量テンソルの簡略化

未知関数の数を4個よりもっと減らしたい。そのためには次のように考えればよい。

仮に(3)式が解けて(5)式の未知関数がすべて求まったとしよう。ここで次のような座標変換をする。 $$𝑤\to {𝑤}^{\prime }=𝑤-\int \frac{𝐻\left(𝑟\right)}{𝐹\left(𝑟\right)}\mathrm{d𝑟}\text{(7)}$$ 旧座標 𝑤 で表された量を新座標 𝑤′ で表すと $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑤& =& {𝑤}^{\prime }+\int \frac{𝐻\left(𝑟\right)}{𝐹\left(𝑟\right)}\mathrm{d𝑟}& \text{(8)}\\ \hfill \mathrm{d𝑤}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{{\mathrm{\partial 𝑤}}^{\prime }}{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }+\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑟}}\mathrm{d𝑟}\\ & =& {\mathrm{d𝑤}}^{\prime }+\frac{𝐻\left(𝑟\right)}{𝐹\left(𝑟\right)}\mathrm{d𝑟}\\ \hfill {\mathrm{d𝑤}}^2& =& {\{{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }+\frac{𝐻\left(𝑟\right)}{𝐹\left(𝑟\right)}\mathrm{d𝑟}\}}^2\\ & =& {{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }}^2+2\frac{𝐻\left(𝑟\right)}{𝐹\left(𝑟\right)}{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }\mathrm{d𝑟}+{\left\{\frac{𝐻\left(𝑟\right)}{𝐹\left(𝑟\right)}\right\}}^2{\mathrm{d𝑟}}^2\end{array}$$ であるから、これらを(6)式に代入すると線素は $$\begin{array}{lll}\hfill {\mathrm{d𝑠}}^2& =& -𝐹\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑤}}^2+2𝐻\left(𝑟\right)\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝑟}+𝐺\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑟}}^2+{\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -𝐹\left(𝑟\right)[{{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }}^2+2\frac{𝐻\left(𝑟\right)}{𝐹\left(𝑟\right)}{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }\mathrm{d𝑟}+{\left\{\frac{𝐻\left(𝑟\right)}{𝐹\left(𝑟\right)}\right\}}^2{\mathrm{d𝑟}}^2]+2𝐻\left(𝑟\right)\{{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }+\frac{𝐻\left(𝑟\right)}{𝐹\left(𝑟\right)}\mathrm{d𝑟}\}\mathrm{d𝑟}+𝐺\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑟}}^2+{\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -𝐹\left(𝑟\right){{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }}^2-2𝐻\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑤}}^{\prime }\mathrm{d𝑟}-\frac{{\left\{𝐻\right(𝑟\left)\right\}}^2}{𝐹\left(𝑟\right)}{\mathrm{d𝑟}}^2+2𝐻\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑤}}^{\prime }\mathrm{d𝑟}+2\frac{{\left\{𝐻\right(𝑟\left)\right\}}^2}{𝐹\left(𝑟\right)}{\mathrm{d𝑟}}^2+𝐺\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑟}}^2+{\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -𝐹\left(𝑟\right){{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }}^2+[\frac{{\left\{𝐻\right(𝑟\left)\right\}}^2}{𝐹\left(𝑟\right)}+𝐺\left(𝑟\right)]{\mathrm{d𝑟}}^2+{\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\end{array}$$ のようになる。最後の第2項の角括弧内は 𝑟 のみの関数であるから、これを 𝐶(𝑟) と書き直せば $${\mathrm{d𝑠}}^2=-𝐹\left(𝑟\right){{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }}^2+𝐶\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑟}}^2+{\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\text{(9)}$$ である。座標変換によってこの形に変形できるなら、最初から 𝑤 でなく 𝑤′ を使って解くことにすれば計量テンソルの非対角成分はすべて最初からゼロにできるのだ。

さらに次のような座標変換をする。 $$𝑟\to {𝑟}^{\prime }=𝐷\left(𝑟\right)$$ 旧座標 𝑟 で表された量を新座標 𝑟′ で表すと $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑟& =& {𝐷}^{-1}\left({𝑟}^{\prime }\right)& \text{(10)}\\ \hfill \mathrm{d𝑟}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝑟}}{{\mathrm{\partial 𝑟}}^{\prime }}{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }\\ & =& \frac{\partial {𝐷}^{-1}\left({𝑟}^{\prime }\right)}{{\mathrm{\partial 𝑟}}^{\prime }}{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }\\ \hfill {\mathrm{d𝑟}}^2& =& {\left\{\frac{\partial {𝐷}^{-1}\left({𝑟}^{\prime }\right)}{{\mathrm{\partial 𝑟}}^{\prime }}\right\}}^2{{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }}^2\end{array}$$ （ただし 𝐷^⁻¹ は 𝐷 の逆関数）であるから、これらを(9)式に代入すると線素は $$\begin{array}{lll}\hfill {\mathrm{d𝑠}}^2& =& -𝐹\left(𝑟\right){{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }}^2+𝐶\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑟}}^2+{\left\{𝐷\right(𝑟\left)\right\}}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -𝐹\left({𝐷}^{-1}\right({𝑟}^{\prime }\left)\right){{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }}^2+𝐶\left({𝐷}^{-1}\right({𝑟}^{\prime }\left)\right){\left\{\frac{\partial {𝐷}^{-1}\left({𝑟}^{\prime }\right)}{{\mathrm{\partial 𝑟}}^{\prime }}\right\}}^2{{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }}^2+{{𝑟}^{\prime }}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -\left[𝐹\right({𝐷}^{-1}\left({𝑟}^{\prime }\right)\left)\right]{{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }}^2+\left[𝐶\left({𝐷}^{-1}\right({𝑟}^{\prime }\left)\right){\left\{\frac{\partial {𝐷}^{-1}\left({𝑟}^{\prime }\right)}{{\mathrm{\partial 𝑟}}^{\prime }}\right\}}^2\right]{{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }}^2+{{𝑟}^{\prime }}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\end{array}$$ のようになる。最後の2個の角括弧内は 𝑟′ のみの関数であるから、これらをそれぞれ 𝐴(𝑟′) および 𝐵(𝑟′) と書き直せば $${\mathrm{d𝑠}}^2=-𝐴\left({𝑟}^{\prime }\right){{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }}^2+𝐵\left({𝑟}^{\prime }\right){{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }}^2+{{𝑟}^{\prime }}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\text{(11)}$$ である。座標変換によってこの形に変形できるなら、最初から 𝑟 でなく 𝑟′ を使って解くことにすれば 𝑔_₂₂ と 𝑔_₃₃ から未知関数を排除できるのだ。

そういうわけで、 𝑤′ および 𝑟′ を改めて 𝑤 および 𝑟 と置けば線素は $${\mathrm{d𝑠}}^2=-𝐴\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑤}}^2+𝐵\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)$$ であり、計量テンソルは $$\left({𝑔}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-𝐴\left(𝑟\right)& 0& 0& 0\\ 0& 𝐵\left(𝑟\right)& 0& 0\\ 0& 0& {𝑟}^2& 0\\ 0& 0& 0& {𝑟}^2{\sin }^2𝜃\end{array}\right)\text{(12)}$$ のように表される。これを(3)式に代入したものを解いて 𝐴(𝑟) および 𝐵(𝑟) を求めればよいというわけである。

ところでここまでの話で論理に抜けはないだろうか。(6)式を座標変換することで(11)式に変形できるというが、仮に恒等的に 𝐹(𝑟) = 0 だったら(7)・(8)式の座標変換はできないし、 𝐷(𝑟) の逆関数が存在しなかったら(10)式の座標変換はできないではないか。だからもしそんな解が存在していたら、(12)式から出発したらそれらの解を見落としてしまうかもしれない。しかしそこまで気にする必要はないだろう。今は有るか無いかもわからない厳密解を1個でもいいから見つけたいのであって、網羅的に解を求めようとしているのではないからだ。よってとりあえず(12)式を出発点としよう。（(6)式を(11)式に座標変換できないような特殊な場合については、条件を緩めた「バーコフの定理」の記事で後で考えることにする。）

解の条件

未知関数 𝐴(𝑟) や 𝐵(𝑟) に何か条件はあるだろうか。仮に恒等的に 𝐴(𝑟) = 0 だとすると、計量テンソルの0行目と0列目がすべて0になるので 𝑥^⁰ (= 𝑤) 座標がまったく意味を持たなくなり、3次元になってしまう。これは4次元時空の解を求めたい前提に反する。 𝐵(𝑟) も同様である。したがって恒等的に 𝐴(𝑟) = 0 や 𝐵(𝑟) = 0 ではないこととする。それ以外には特に条件は付けないでおこう。

境界条件に関しては、無限遠で時空が平坦になるという境界条件を課している教科書もあるが、今の段階ではそれほど気にしなくてよい。まだ解が存在するかどうかもわからないうちに解の可能性を狭めてしまうのは得策ではないだろう。境界条件を定めないと先に進めないような状況になったら考えればよいのである。あらかじめ結果を言っておくと、今の問題ではわざわざ「無限遠で平坦」という条件を課さなくてもその条件に合う解しか出てこないのだ。