宇宙項があったらシュバルツシルト解はどう変わるか(1)

重力場の方程式の自明でない厳密解の中で最も単純なものとして、別の記事で球対称・定常・真空の解であるシュバルツシルト解(外部解)を導出した。あれは宇宙項を無視したもの(あるいは同じことだが、宇宙定数をゼロとしたもの)だった。シュバルツシルト先生がシュバルツシルト解を発見したのは1915年(出版は1916年)のことであり、それはアインシュタイン先生がアインシュタイン方程式に宇宙項を書き加えた1917年より過去の出来事だから、宇宙項が考慮されていないのは当たり前だ。

では宇宙項を考慮したらシュバルツシルト解はどう変わるのだろうか。現実の宇宙では宇宙定数の値は極めてゼロに近く、考える範囲が(宇宙全体に比べて)狭いときは宇宙項の影響はとても小さいからたいていは気にしない。だが、「厳密解」というからには宇宙項が厳密にはどのように解に影響するのか知りたくなる。それを計算してみよう。

目次

第1章 宇宙項を含む重力場の方程式を解く

非線形2階偏微分方程式である重力場の方程式(アインシュタイン方程式)に宇宙項なんかが付いていたらさらにややこしくなりそうである。しかし心配する必要はない。今までと同じようなやり方で解いていけばあっさりと厳密解が求まるのだ。

1.1 条件を式で表す

重力場の方程式

重力場の方程式は一般に 𝐺𝜇𝜈+𝛬𝑔𝜇𝜈 =𝜅𝑇𝜇𝜈 (1) のような形で書かれる(ただしどれかの項の符号が逆になる流儀もある)。 𝐺𝜇𝜈 はアインシュタインテンソル、 𝑔𝜇𝜈 は計量テンソル、 𝑇𝜇𝜈 はエネルギー運動量テンソルである。 𝛬 と 𝜅 は定数である。

シュバルツシルト解(外部解)のときと同様、真空であるから 𝑇𝜇𝜈 = 0 と置く。宇宙定数 𝛬 は今回はそのまま残しておく。したがって(1)式 𝐺𝜇𝜈+𝛬𝑔𝜇𝜈=0 (2) という形になる。そして今までと同じように、反変テンソルではなく片方の添え字をおろした混合テンソルによる方程式 𝐺𝜇𝜈 +𝛬𝛿𝜇𝜈 =0 (3) を解くことにする。 𝛿𝜇𝜈 はクロネッカーのデルタである。

前提条件

さて、宇宙定数がゼロでないとき、時空は定常になるのだろうか。それは方程式を解いてみないとわからない。

シュバルツシルト解(外部解)のときはまず定常の条件で方程式を解いた後、「バーコフの定理」の記事で条件を緩めて定常でなくてもよいことにして改めて方程式を解いたのだった。電荷があるライスナー・ノルドシュトルム解のときも同じような手順をたどった。

今回も同じようにしても構わないが、もう慣れてきただろうし二度手間になると面倒なので、最初から定常の条件は無しで時間変化しても構わない条件で方程式を解くことにしよう。

座標系

座標系の形はシュバルツシルト解やバーコフの定理のときと同様に次のように仮定する。

𝑥⁰ = 𝑤
時間座標(未来方向が正)
𝑥¹ = 𝑟
動径座標
𝑥² = 𝜃
角度座標(緯度:北極が0)
𝑥³ = 𝜑
角度座標(経度)

ただし、まだ方程式が解けたわけではないので、上に書いた座標の意味は仮定である。

計量テンソル

計量テンソルはバーコフの定理のときと同様に、 (𝑔𝜇𝜈)= ( 𝐴(𝑤,𝑟)000 0𝐵(𝑤,𝑟)00 00𝑟20 000𝑟2sin2𝜃 ) (4) と仮定すればよい。 𝐴(𝑤, 𝑟) および 𝐵(𝑤, 𝑟) は 𝑤 と 𝑟 に依存する未知関数である。したがって線素の式は d𝑠2 = 𝐴(𝑤,𝑟)d𝑤2 +𝐵(𝑤,𝑟)d𝑟2 +𝑟2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) (5) となる。これはシュバルツシルト解(外部解)を導出したときに仮定した計量と同じ形であり、ただ未知関数の引数に 𝑤 が追加されたところだけが違う。

解の条件

シュバルツシルト解やバーコフの定理のときと同様に、恒等的に 𝐴(𝑤, 𝑟) = 0 や 𝐵(𝑤, 𝑟) = 0 ではないこととする。境界条件は現段階では特に定めない。もし必要になったらそのときに考える。

1.2 方程式を作る

解くべき方程式である(3)式の具体的な表式を求めよう。ここからは別途定める場合を除いて 𝐴 や 𝐵 の引数を表す (𝑤, 𝑟) は省略することにする。

アインシュタインテンソル 𝐺𝜇𝜈 は「バーコフの定理」のときと同じになるから、計算過程は「バーコフの定理」の記事を見てもらうこととして、結果はその記事の「アインシュタインテンソル」のところに書いてある式をそのままもってくればよくて、 𝐺00 = 𝐵𝐵2𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 (6) 𝐺11 = 𝐴𝐴𝐵𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 (7) 𝐺22= 𝐺33 = 𝐴2𝐴𝐵 𝐴𝐵4𝐴𝐵2 𝐵¨2𝐴𝐵 +𝐵˙24𝐴𝐵2 + 𝐴˙𝐵˙4𝐴2𝐵 +𝐴2𝐴𝐵𝑟 𝐴24𝐴2𝐵 𝐵2𝐵2𝑟 (8) 𝐺01 = 𝐵˙𝐴𝐵𝑟 (9) 𝐺10 = 𝐵˙𝐵2𝑟 (10) であり、これら以外の成分は0である。ただしドット ˙ は座標 𝑤 による微分 ∂𝑤 を表し、プライム ′ は座標 𝑟 による微分 ∂𝑟 を表す。

(6)〜(10)式(3)式に代入すると、解くべき方程式は 第(0, 0)成分: 𝐵𝐵2𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 +𝛬 =0 (11) 第(1, 1)成分: 𝐴𝐴𝐵𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 +𝛬 =0 (12) 第(2, 2), (3, 3)成分: 𝐴2𝐴𝐵 𝐴𝐵4𝐴𝐵2 𝐵¨2𝐴𝐵 +𝐵˙24𝐴𝐵2 + 𝐴˙𝐵˙4𝐴2𝐵 +𝐴2𝐴𝐵𝑟 𝐴24𝐴2𝐵 𝐵2𝐵2𝑟 +𝛬 =0 (13) 第(0, 1)成分: 𝐵˙𝐴𝐵𝑟=0 (14) 第(1, 0)成分: 𝐵˙𝐵2𝑟=0 (15) である。

1.3 方程式を解く

では(11)〜(15)式を解いていこう。

第(0, 1)成分と第(1, 0)成分

(14)・(15)式は実質的に同じ式である。これらより 𝐵˙=0(16) となる。これは 𝐵 が 𝑤 に依存せず 𝑟 のみの関数だということであり、つまり 𝐵(𝑤, 𝑟) は 𝐵(𝑟) と書けることになる。

第(0, 0)成分

(11)式には 𝐴 が含まれておらず 𝐵 だけの式なので簡単である。 𝐵𝐵2𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 +𝛬 = 0 (11)式 𝐵𝑟𝐵2 1𝐵 +1 𝛬𝑟2 = 0 𝐵𝑟𝐵21𝐵 = 1+𝛬𝑟2 ∂𝑟(𝑟𝐵) = 1+𝛬𝑟2  𝐵 が 𝑟 のみの関数であることはすでにわかっているから、偏微分は常微分と同じになり、引数を明示して書けば dd𝑟{𝑟𝐵(𝑟)} = 1+𝛬𝑟2 𝑟𝐵(𝑟) = 𝑟+13𝛬𝑟3+𝑟𝑠 𝑟𝑠は積分定数) 1𝐵(𝑟) = 113𝛬𝑟2𝑟𝑠𝑟 (17) 𝐵(𝑟) = 1 113𝛬𝑟2𝑟𝑠𝑟 (18) となって 𝐵 が決まる。

第(1, 1)成分

すでに 𝐵 は決まったので、それを(12)式に代入すれば 𝐴 だけの式になる。直ちに代入してももちろん解けるが、その前に(12)式から(11)式を丸ごと引いてみると、 𝐴𝐴𝐵𝑟 +𝐵𝐵2𝑟 = 0 (12)式から(11)式を引いた。 𝐴𝐵+𝐴𝐵 𝐴𝐵2𝑟 = 0 𝐴𝐵+𝐴𝐵=0 ∂𝑟(𝐴𝐵)=0 のようになる。 𝐴 は 𝑤 と 𝑟 の2変数関数であることに注意して、引数を明示して書けば ∂𝑟{𝐴(𝑤,𝑟)𝐵(𝑟)} = 0 𝐴(𝑤,𝑟)𝐵(𝑟) = 𝑏(𝑤) (𝑏(𝑤)は𝑤の任意関数) (19) 𝐴(𝑤,𝑟) 113𝛬𝑟2𝑟𝑠𝑟 = 𝑏(𝑤) (18)式を代入した。 𝐴(𝑤,𝑟) = 𝑏(𝑤) ( 113𝛬𝑟2𝑟𝑠𝑟 ) (20) となって 𝐴 も決まる。1.1節の最後に書いたように 𝐴 = 0 は解ではないので、恒等的に 𝑏(𝑤) = 0 ではないものとする。

第(2, 2), (3, 3)成分

(11)・(12)(14)・(15)式から 𝐴 と 𝐵 が決まってしまったが、それらが(13)式をも満たしているか、あるいは任意関数 𝑏(𝑤) に何か制限がつくか等を確認しなければならない。(20)(18)式をそのまま(13)式の左辺に代入しても構わないがそれは式変形が大変である。それよりも(17)式(20)式を比較することにより、あるいは(19)式を変形して、 1𝐵(𝑟) = 𝐴(𝑤,𝑟)𝑏(𝑤) ∂𝑟1𝐵(𝑟) = ∂𝑟 𝐴(𝑤,𝑟)𝑏(𝑤) 𝐵𝐵2 = 𝐴𝑏 (21) であることがわかるので、この関係を先に使うと計算が楽である。(16)(19)(21)式(13)式の左辺に代入すると、 (13)式の左辺 = 𝐴2𝐴𝐵 𝐴𝐵4𝐴𝐵2 𝐵¨2𝐴𝐵 +𝐵˙24𝐴𝐵2 + 𝐴˙𝐵˙4𝐴2𝐵 +𝐴2𝐴𝐵𝑟 𝐴24𝐴2𝐵 𝐵2𝐵2𝑟 +𝛬 = 𝐴2𝐴𝐵 𝐴𝐵4𝐴𝐵2 +𝐴2𝐴𝐵𝑟 𝐴24𝐴2𝐵 𝐵2𝐵2𝑟 +𝛬 (16)式を代入した。 = 𝐴2𝐴𝐵 +𝐴2𝐴𝐵𝑟 𝐴24𝐴2𝐵 𝐴𝐵4𝐴𝐵2 𝐵2𝐵2𝑟 +𝛬 ←項の順番を変えただけ。 = 1𝐴𝐵 ( 𝐴2 +𝐴2𝑟 𝐴24𝐴 ) 𝐵𝐵2 ( 𝐴4𝐴+12𝑟 ) +𝛬 = 1𝑏 ( 𝐴2 +𝐴2𝑟 𝐴24𝐴 ) + 𝐴𝑏 ( 𝐴4𝐴+12𝑟 ) +𝛬 (19)(21)式を代入した。 = 1𝑏 ( 𝐴2 +𝐴2𝑟 𝐴24𝐴 +𝐴24𝐴 +𝐴2𝑟 ) +𝛬 = 1𝑏 ( 𝐴2 +2𝐴2𝑟 ) +𝛬 = 1𝑏 𝑟𝐴+2𝐴2𝑟 +𝛬 = 1𝑏 𝑟2𝐴+2𝑟𝐴 2𝑟2 +𝛬 = (𝑟2𝐴) 2𝑏𝑟2 +𝛬 = ∂𝑟 [ 𝑟2 ∂𝑟 { 𝑏(𝑤) ( 113𝛬𝑟2𝑟𝑠𝑟 ) } ] 2𝑏(𝑤)𝑟2 +𝛬 (20)式を代入した。 = ∂𝑟 [ 𝑟2 𝑏(𝑤) ( 23𝛬𝑟+𝑟𝑠𝑟2 ) ] 2𝑏(𝑤)𝑟2 +𝛬 = 𝑏(𝑤) ∂𝑟 (23𝛬𝑟3+𝑟𝑠) 2𝑏(𝑤)𝑟2 +𝛬 = 2𝛬𝑟22𝑟2+𝛬 =𝛬+𝛬 =0 となって0になるので、(13)式も満たされている。したがって(20)(18)式は連立微分方程式(11)〜(15)式の一般解であることがわかった。これらを(4)式に代入すると計量テンソルは (𝑔𝜇𝜈)= ( 𝑏(𝑤) ( 113𝛬𝑟2𝑟𝑠𝑟 ) 0 0 0 0 1 113𝛬𝑟2𝑟𝑠𝑟 0 0 00𝑟20 000𝑟2sin2𝜃 ) となる。

一般解

任意定数 𝑟𝑠 はシュバルツシルト解のときと同様にシュバルツシルト半径だと考えればよい。

任意関数 𝑏(𝑤) は、「バーコフの定理」の記事で任意関数 𝑏(𝑤) に関して考察したときと同様の理屈により、 𝑤 軸の目盛り間隔を適切な値にすることにより恒等的に 𝑏(𝑤) = 1 とすることができる。したがって解は (𝑔𝜇𝜈)= ( ( 113𝛬𝑟2𝑟𝑠𝑟 ) 0 0 0 0 1 113𝛬𝑟2𝑟𝑠𝑟 0 0 00𝑟20 000𝑟2sin2𝜃 ) (22) と書くことができる。シュバルツシルト解(外部解)との違いは、 𝑔₀₀ の括弧内および 𝑔₁₁ の分母に現れた 13𝛬𝑟2 である。 𝛬 がすごく0に近いならば、原点からすごく離れた遠いところでない限り 𝛬 の影響は考えなくてもよいことがわかる。原点からすごく離れた遠いところでどう影響するのかは次のページで考える。

この計量に 𝑤 依存性はない。今回は計量が 𝑤 に依存しても構わない条件で方程式を解いたが、出てきたのは 𝑤 に依存しない解だけである。つまり 𝛬 ≠ 0 のときでも、 𝛬 = 0 のときの「バーコフの定理」と同様に、真空球対称の解ならば 𝑤 方向に並進対称性をもつ。 𝑤 座標が時間的ならばそれは定常解である。

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