1.1 条件を式で表す

1.2 方程式を作る

解くべき方程式である(3)式の具体的な表式を求めよう。ここからは別途定める場合を除いて 𝐴 や 𝐵 の引数を表す (𝑤, 𝑟) は省略することにする。

アインシュタインテンソル 𝐺^𝜇_𝜈 は「バーコフの定理」のときと同じになるから、計算過程は「バーコフの定理」の記事を見てもらうこととして、結果はその記事の「アインシュタインテンソル」のところに書いてある式をそのままもってくればよくて、 $$\begin{array}{llll}\hfill 𝐺^0{}_0& =& -\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}& \text{(6)}\\ \hfill 𝐺^1{}_1& =& \frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}& \text{(7)}\\ \hfill 𝐺^2{}_2=𝐺^3{}_3& =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}-\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}+\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}& \text{(8)}\\ \hfill 𝐺^0{}_1& =& -\frac{\dot{𝐵}}{𝐴𝐵𝑟}& \text{(9)}\\ \hfill 𝐺^1{}_0& =& \frac{\dot{𝐵}}{{𝐵}^2𝑟}& \text{(10)}\end{array}$$ であり、これら以外の成分は0である。ただしドット ˙ は座標 𝑤 による微分 $\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑤}}$ を表し、プライム ′ は座標 𝑟 による微分 $\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}$ を表す。

(6)〜(10)式を(3)式に代入すると、解くべき方程式は $$\begin{array}{lll}\hfill \text{第(0, 0)成分:}& -\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}+𝛬=0& \text{(11)}\\ \hfill \text{第(1, 1)成分:}& \frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}+𝛬=0& \text{(12)}\\ \hfill \text{第(2, 2), (3, 3)成分:}& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}-\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}+\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}+𝛬=0& \text{(13)}\\ \hfill \text{第(0, 1)成分:}& -\frac{\dot{𝐵}}{𝐴𝐵𝑟}=0& \text{(14)}\\ \hfill \text{第(1, 0)成分:}& \frac{\dot{𝐵}}{{𝐵}^2𝑟}=0& \text{(15)}\end{array}$$ である。

第(0, 1)成分と第(1, 0)成分

(14)・(15)式は実質的に同じ式である。これらより $$\dot{𝐵}=0\text{(16)}$$ となる。これは 𝐵 が 𝑤 に依存せず 𝑟 のみの関数だということであり、つまり 𝐵(𝑤, 𝑟) は 𝐵(𝑟) と書けることになる。

第(0, 0)成分

(11)式には 𝐴 が含まれておらず 𝐵 だけの式なので簡単である。 $$\begin{array}{llll}\hfill -\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}+𝛬& =& 0& \text{←}\text{(11)式}\\ \hfill \frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{{𝐵}^2}-\frac{1}{𝐵}+1-𝛬{𝑟}^2& =& 0\\ \hfill \frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{{𝐵}^2}-\frac{1}{𝐵}& =& -1+𝛬{𝑟}^2\\ \hfill \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}(-\frac{𝑟}{𝐵})& =& -1+𝛬{𝑟}^2\end{array}$$  𝐵 が 𝑟 のみの関数であることはすでにわかっているから、偏微分は常微分と同じになり、引数を明示して書けば $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝑟}}\{-\frac{𝑟}{𝐵\left(𝑟\right)}\}& =& -1+𝛬{𝑟}^2\\ \hfill -\frac{𝑟}{𝐵\left(𝑟\right)}& =& -𝑟+\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^3+{𝑟}_{𝑠}& \text{（}{𝑟}_{𝑠}\text{は積分定数）}\\ \hfill \frac{1}{𝐵\left(𝑟\right)}& =& 1-\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^2-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}& & \text{(17)}\\ \hfill 𝐵\left(𝑟\right)& =& \frac{1}{1-\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^2-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}}& & \text{(18)}\end{array}$$ となって 𝐵 が決まる。

第(1, 1)成分

すでに 𝐵 は決まったので、それを(12)式に代入すれば 𝐴 だけの式になる。直ちに代入してももちろん解けるが、その前に(12)式から(11)式を丸ごと引いてみると、 $$\begin{array}{llll}\hfill \frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}& =& 0& \text{←}\text{(12)式}\text{から}\text{(11)式}\text{を引いた。}\\ \hfill \frac{{𝐴}^{\prime }𝐵+𝐴{𝐵}^{\prime }}{𝐴{𝐵}^2𝑟}& =& 0\\ \hfill {𝐴}^{\prime }𝐵+𝐴{𝐵}^{\prime }& =& 0\\ \hfill \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\left(𝐴𝐵\right)& =& 0\end{array}$$ のようになる。 𝐴 は 𝑤 と 𝑟 の2変数関数であることに注意して、引数を明示して書けば $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\left\{𝐴\right(𝑤,𝑟\left)𝐵\right(𝑟\left)\right\}& =& 0\\ \hfill 𝐴(𝑤,𝑟)𝐵\left(𝑟\right)& =& 𝑏\left(𝑤\right)& \text{（𝑏(𝑤)は𝑤の任意関数）}& \text{(19)}\\ \hfill \frac{𝐴(𝑤,𝑟)}{1-\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^2-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}}& =& 𝑏\left(𝑤\right)& \text{←}\text{(18)式}\text{を代入した。}\\ \hfill 𝐴(𝑤,𝑟)& =& 𝑏\left(𝑤\right)(1-\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^2-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})& & \text{(20)}\end{array}$$ となって 𝐴 も決まる。1.1節の最後に書いたように 𝐴 = 0 は解ではないので、恒等的に 𝑏(𝑤) = 0 ではないものとする。

第(2, 2), (3, 3)成分

(11)・(12)・(14)・(15)式から 𝐴 と 𝐵 が決まってしまったが、それらが(13)式をも満たしているか、あるいは任意関数 𝑏(𝑤) に何か制限がつくか等を確認しなければならない。(20)・(18)式をそのまま(13)式の左辺に代入しても構わないがそれは式変形が大変である。それよりも(17)式と(20)式を比較することにより、あるいは(19)式を変形して、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{1}{𝐵\left(𝑟\right)}& =& \frac{𝐴(𝑤,𝑟)}{𝑏\left(𝑤\right)}\\ \hfill \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\frac{1}{𝐵\left(𝑟\right)}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\frac{𝐴(𝑤,𝑟)}{𝑏\left(𝑤\right)}\\ \hfill -\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2}& =& \frac{{𝐴}^{\prime }}{𝑏}& \text{(21)}\end{array}$$ であることがわかるので、この関係を先に使うと計算が楽である。(16)・(19)〜(21)式を(13)式の左辺に代入すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \text{(13)式}\text{の左辺}& =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}-\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}+\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}+𝛬\\ & =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}+𝛬& \text{←}\text{(16)式}\text{を代入した。}\\ & =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}+𝛬& \text{←項の順番を変えただけ。}\\ & =& \frac{1}{𝐴𝐵}(\frac{{𝐴}^{″}}{2}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4𝐴})-\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2}(\frac{{𝐴}^{\prime }}{4𝐴}+\frac{1}{2𝑟})+𝛬\\ & =& \frac{1}{𝑏}(\frac{{𝐴}^{″}}{2}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4𝐴})+\frac{{𝐴}^{\prime }}{𝑏}(\frac{{𝐴}^{\prime }}{4𝐴}+\frac{1}{2𝑟})+𝛬& \text{←}\text{(19)}\text{・}\text{(21)式}\text{を代入した。}\\ & =& \frac{1}{𝑏}(\frac{{𝐴}^{″}}{2}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4𝐴}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4𝐴}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝑟})+𝛬\\ & =& \frac{1}{𝑏}(\frac{{𝐴}^{″}}{2}+\frac{2{𝐴}^{\prime }}{2𝑟})+𝛬\\ & =& \frac{1}{𝑏}\cdot \frac{𝑟{𝐴}^{″}+2{𝐴}^{\prime }}{2𝑟}+𝛬\\ & =& \frac{1}{𝑏}\cdot \frac{{𝑟}^2{𝐴}^{″}+2𝑟{𝐴}^{\prime }}{2{𝑟}^2}+𝛬\\ & =& \frac{{\left({𝑟}^2{𝐴}^{\prime }\right)}^{\prime }}{2𝑏{𝑟}^2}+𝛬\\ & =& \frac{\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\left[{𝑟}^2\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\right\{𝑏\left(𝑤\right)(1-\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^2-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})\left\}\right]}{2𝑏\left(𝑤\right){𝑟}^2}+𝛬& \text{←}\text{(20)式}\text{を代入した。}\\ & =& \frac{\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\left[{𝑟}^2𝑏\left(𝑤\right)\right(-\frac{2}{3}𝛬𝑟+\frac{{𝑟}_{𝑠}}{{𝑟}^2}\left)\right]}{2𝑏\left(𝑤\right){𝑟}^2}+𝛬\\ & =& \frac{𝑏\left(𝑤\right)\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}(-\frac{2}{3}𝛬{𝑟}^3+{𝑟}_{𝑠})}{2𝑏\left(𝑤\right){𝑟}^2}+𝛬\\ & =& \frac{-2𝛬{𝑟}^2}{2{𝑟}^2}+𝛬\\ & =& -𝛬+𝛬\\ & =& 0\end{array}$$ となって0になるので、(13)式も満たされている。したがって(20)・(18)式は連立微分方程式(11)〜(15)式の一般解であることがわかった。これらを(4)式に代入すると計量テンソルは $$\left({𝑔}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-𝑏\left(𝑤\right)(1-\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^2-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{1-\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^2-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}}& 0& 0\\ 0& 0& {𝑟}^2& 0\\ 0& 0& 0& {𝑟}^2{\sin }^2𝜃\end{array}\right)$$ となる。

一般解

任意定数 𝑟_𝑠 はシュバルツシルト解のときと同様にシュバルツシルト半径だと考えればよい。

任意関数 𝑏(𝑤) は、「バーコフの定理」の記事で任意関数 𝑏(𝑤) に関して考察したときと同様の理屈により、 𝑤 軸の目盛り間隔を適切な値にすることにより恒等的に 𝑏(𝑤) = 1 とすることができる。したがって解は $$\left({𝑔}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-(1-\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^2-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{1-\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^2-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}}& 0& 0\\ 0& 0& {𝑟}^2& 0\\ 0& 0& 0& {𝑟}^2{\sin }^2𝜃\end{array}\right)\text{(22)}$$ と書くことができる。シュバルツシルト解（外部解）との違いは、 𝑔_₀₀ の括弧内および 𝑔_₁₁ の分母に現れた $-\frac{1}{3}𝛬{𝑟}^2$ である。 𝛬 がすごく0に近いならば、原点からすごく離れた遠いところでない限り 𝛬 の影響は考えなくてもよいことがわかる。原点からすごく離れた遠いところでどう影響するのかは次のページで考える。

この計量に 𝑤 依存性はない。今回は計量が 𝑤 に依存しても構わない条件で方程式を解いたが、出てきたのは 𝑤 に依存しない解だけである。つまり 𝛬 ≠ 0 のときでも、 𝛬 = 0 のときの「バーコフの定理」と同様に、真空球対称の解ならば 𝑤 方向に並進対称性をもつ。 𝑤 座標が時間的ならばそれは定常解である。