重力場の方程式

今までのシュバルツシルト解のときと同様に、重力場の方程式は宇宙定数 𝛬 をゼロとして混合テンソルによる方程式 $$𝐺^{𝜇}{}_{𝜈}=\frac{8𝜋𝐺}{{𝑐}^4}𝑇^{𝜇}{}_{𝜈}\text{(1)}$$ を解くことにする。 𝐺^𝜇_𝜈 はアインシュタインテンソル、 𝑇^𝜇_𝜈 はエネルギー運動量テンソル、 𝐺 は万有引力定数、 𝑐 は光速である。

座標系

座標系の形はシュバルツシルト解のときと同様に次のように仮定する。

𝑥^⁰ = 𝑤

時間座標（未来方向が正）

𝑥^¹ = 𝑟

動径座標

𝑥^² = 𝜃

角度座標（緯度:北極が0）

𝑥^³ = 𝜑

角度座標（経度）

ただし、まだ方程式が解けたわけではないので、上に書いた座標の意味は仮定である。

計量テンソル

計量テンソルの形もシュバルツシルト解のときと同様に、 $$\left({𝑔}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-𝐴\left(𝑟\right)& 0& 0& 0\\ 0& 𝐵\left(𝑟\right)& 0& 0\\ 0& 0& {𝑟}^2& 0\\ 0& 0& 0& {𝑟}^2{\sin }^2𝜃\end{array}\right)\text{(2)}$$ と仮定する。 𝐴(𝑟) および 𝐵(𝑟) は 𝑟 のみに依存する未知関数である。したがって線素の式は $${\mathrm{d𝑠}}^2=-𝐴\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑤}}^2+𝐵\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)$$ となる。

電磁場テンソル

電磁場テンソル 𝐹_𝜇𝜈 は反対称テンソルであるから $$\left({𝐹}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& {𝐹}_{01}& {𝐹}_{02}& {𝐹}_{03}\\ -{𝐹}_{01}& 0& {𝐹}_{12}& {𝐹}_{13}\\ -{𝐹}_{02}& -{𝐹}_{12}& 0& {𝐹}_{23}\\ -{𝐹}_{03}& -{𝐹}_{13}& -{𝐹}_{23}& 0\end{array}\right)$$ という形の6個の独立成分で書くことができる。これらはすべて定常であるから 𝑤 には依存しない。しかしこのままでは未知関数が多すぎて手に負えない。球対称だという条件を使って簡単にする方法を考えてみよう。

もし 𝐹_₀₂ や 𝐹_₀₃ が0でなかったら、荷電粒子が特定の円周方向に力を受けることになる。もし 𝐹_₁₂ や 𝐹_₁₃ が0でなかったら、動径方向に運動している荷電粒子が特定の円周方向に力を受けることになる。しかし今は球対称だから円周方向に特別な方向が存在しては困るので、これらの4個はすべて0でなければならない。 𝐹_₂₃ については、これの値をうまく調整すれば球対称の（0でない）磁場になるが、そのようなものは磁場のガウスの法則に違反しそうである。だから 𝐹_₂₃ も0にしておくのがよさそうだ。その結果、0でなくても良いのは 𝐹_₀₁ だけになる。そして電磁場は球対称であり、 𝑤, 𝑟 座標の基底も角度座標 𝜃, 𝜑 に依存せず球対称であるから、 𝐹_₀₁ も 𝜃, 𝜑 には依存せず 𝑟 のみの関数になるはずだ。

上ではまわりくどく説明したが、もっと雑に考えると、今は電荷はあるけど（3次元的な）電流はないから磁場もないだろうし、電場は動径方向の成分しかないはずだから、 𝐹_₀₁ 以外は0だろう、ということである。ただ、曲がった時空でそのような雑な考え方でいいのか心配だったから1成分ずつ丁寧に考えてみただけだ。

それで ${𝐹}_{01}=-\frac{𝐸\left(𝑟\right)}{𝑐}$ と置けば、電磁場テンソルは $$\left({𝐹}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& -\frac{𝐸\left(𝑟\right)}{𝑐}& 0& 0\\ \frac{𝐸\left(𝑟\right)}{𝑐}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\text{(3)}$$ のように表される。 𝐸(𝑟) は 𝑟 のみに依存する未知関数である。

解の条件

シュバルツシルト解のときと同様に、恒等的に 𝐴(𝑟) = 0 や 𝐵(𝑟) = 0 ではないこととする。境界条件は現段階では特に定めない。もし必要になったらそのときに考える。

アインシュタインテンソル 𝐺^𝜇_𝜈

(2)式の計量テンソルはシュバルツシルト解のときとまったく同じであるから、それを元にしてアインシュタインテンソルの表式を求めるまでの手順も同じである。つまり、まず添え字が上にある 𝑔^𝜇𝜈 は $$\left({𝑔}^{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-\frac{1}{𝐴}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{𝐵}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{{𝑟}^2}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{{𝑟}^2{\sin }^2𝜃}\end{array}\right)\text{(4)}$$ となり、次にクリストッフェル記号の0でない成分は $$\begin{array}{llll}& 𝛤^1{}_0{}_0=\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐵}\text{,}& & \\ 𝛤^0{}_1{}_0=𝛤^0{}_0{}_1=\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}\text{,}& 𝛤^1{}_1{}_1=\frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵}\text{,}& 𝛤^2{}_1{}_2=𝛤^2{}_2{}_1=\frac{1}{𝑟}\text{,}& 𝛤^3{}_1{}_3=𝛤^3{}_3{}_1=\frac{1}{𝑟}\text{,}\\ & 𝛤^1{}_2{}_2=-\frac{𝑟}{𝐵}\text{,}& & 𝛤^3{}_2{}_3=𝛤^3{}_3{}_2=\cot 𝜃\text{,}\\ & 𝛤^1{}_3{}_3=-\frac{𝑟}{𝐵}{\sin }^2𝜃\text{,}& 𝛤^2{}_3{}_3=-\sin 𝜃\cos 𝜃& \end{array}\text{(5)}$$ となる。このようにしてアインシュタインテンソルの表式を求めるまでの計算過程はシュバルツシルト（外部解）の記事の2.2節を見てもらうこととしてここでは結果だけを書くと、対角成分は $$\begin{array}{llll}\hfill 𝐺^0{}_0& =& -\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}& \text{(6)}\\ \hfill 𝐺^1{}_1& =& \frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}& \text{(7)}\\ \hfill 𝐺^2{}_2=𝐺^3{}_3& =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}& \text{(8)}\end{array}$$ であり、非対角成分はすべて0である。ただしプライム ′ は座標 𝑟 による微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝑟}}$ を表す。

エネルギー運動量テンソル 𝑇^𝜇_𝜈

電磁場のエネルギー運動量テンソルは、混合テンソルで書けば $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑇^{𝜇}{}_{𝜈}& =& \frac{1}{{𝜇}_0}({𝐹}^{𝜇𝛼}{𝐹}_{𝜈𝛼}-\frac{1}{4}𝛿^{𝜇}{}_{𝜈}{𝐹}^{𝛼𝛽}{𝐹}_{𝛼𝛽})\\ & =& {𝜀}_0{𝑐}^2({𝐹}^{𝜇𝛼}{𝐹}_{𝜈𝛼}-\frac{1}{4}𝛿^{𝜇}{}_{𝜈}{𝐹}^{𝛼𝛽}{𝐹}_{𝛼𝛽})& \text{(9)}\end{array}$$ である（ただし符号が逆になる流儀もある）。 𝜇_₀ は真空の透磁率、 𝜀_₀ は真空の誘電率、 𝛿^𝜇_𝜈 はクロネッカーのデルタである。この量はたいてい1行目のように 𝜇_₀ を使って書かれることが多いが、今回は都合により 𝜀_₀ を使って表しておく。

(9)式の各成分を求めるために $${𝐹}^{𝜇𝜈}={𝑔}^{𝜇𝛼}{𝑔}^{𝜈𝛽}{𝐹}_{𝛼𝛽}$$ が必要であるからそれを計算する。(3)式より 𝐹_𝜇𝜈 の0でない成分は 𝐹_₀₁ と 𝐹_₁₀ だけであり、(4)式より 𝑔^𝜇𝜈 の0でない成分は対角成分だけであるから、 $$\begin{array}{lll}\hfill {𝐹}^{01}& =& {𝑔}^{00}{𝑔}^{11}{𝐹}_{01}\\ & =& -\frac{1}{𝐴}\cdot \frac{1}{𝐵}(-\frac{𝐸}{𝑐})\\ & =& \frac{𝐸}{𝑐𝐴𝐵}\\ \hfill {𝐹}^{10}& =& {𝑔}^{11}{𝑔}^{00}{𝐹}_{10}\\ & =& \frac{1}{𝐵}(-\frac{1}{𝐴})\frac{𝐸}{𝑐}\\ & =& -\frac{𝐸}{𝑐𝐴𝐵}\end{array}$$ であり、これら以外の成分はすべて0である。まとめて書けば $$\left({𝐹}^{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& \frac{𝐸}{𝑐𝐴𝐵}& 0& 0\\ -\frac{𝐸}{𝑐𝐴𝐵}& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\text{(10)}$$ のようになる。また、(9)式の右辺の括弧内第2項の中にある電磁場テンソルの縮約は $$\begin{array}{lll}\hfill {𝐹}^{𝛼𝛽}{𝐹}_{𝛼𝛽}& =& {𝐹}^{01}{𝐹}_{01}+{𝐹}^{10}{𝐹}_{10}\\ & =& \frac{𝐸}{𝑐𝐴𝐵}(-\frac{𝐸}{𝑐})-\frac{𝐸}{𝑐𝐴𝐵}\cdot \frac{𝐸}{𝑐}\\ & =& -\frac{2{𝐸}^2}{{𝑐}^2𝐴𝐵}& \text{(11)}\end{array}$$ である。(3)・(10)・(11)式を使えば、(9)式の各成分は $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑇^0{}_0& =& {𝜀}_0{𝑐}^2({𝐹}^{01}{𝐹}_{01}-\frac{1}{4}{𝐹}^{𝛼𝛽}{𝐹}_{𝛼𝛽})\\ & =& {𝜀}_0{𝑐}^2\left\{\frac{𝐸}{𝑐𝐴𝐵}\right(-\frac{𝐸}{𝑐})-\frac{1}{4}(-\frac{2{𝐸}^2}{{𝑐}^2𝐴𝐵}\left)\right\}\\ & =& {𝜀}_0{𝑐}^2(-\frac{{𝐸}^2}{{𝑐}^2𝐴𝐵}+\frac{{𝐸}^2}{2{𝑐}^2𝐴𝐵})\\ & =& -\frac{{𝜀}_0{𝐸}^2}{2𝐴𝐵}& \text{(12)}\\ \hfill 𝑇^1{}_1& =& {𝜀}_0{𝑐}^2({𝐹}^{10}{𝐹}_{10}-\frac{1}{4}{𝐹}^{𝛼𝛽}{𝐹}_{𝛼𝛽})\\ & =& {𝜀}_0{𝑐}^2\{-\frac{𝐸}{𝑐𝐴𝐵}\cdot \frac{𝐸}{𝑐}-\frac{1}{4}(-\frac{2{𝐸}^2}{{𝑐}^2𝐴𝐵}\left)\right\}\\ & =& {𝜀}_0{𝑐}^2(-\frac{{𝐸}^2}{{𝑐}^2𝐴𝐵}+\frac{{𝐸}^2}{2{𝑐}^2𝐴𝐵})\\ & =& -\frac{{𝜀}_0{𝐸}^2}{2𝐴𝐵}& \text{(13)}\\ \hfill 𝑇^2{}_2=𝑇^3{}_3& =& {𝜀}_0{𝑐}^2(0-\frac{1}{4}{𝐹}^{𝛼𝛽}{𝐹}_{𝛼𝛽})\\ & =& {𝜀}_0{𝑐}^2\{-\frac{1}{4}(-\frac{2{𝐸}^2}{{𝑐}^2𝐴𝐵}\left)\right\}\\ & =& \frac{{𝜀}_0{𝐸}^2}{2𝐴𝐵}& \text{(14)}\end{array}$$ であり、非対角成分はすべて0である。

方程式の完成

ここまででアインシュタインテンソル 𝐺^𝜇_𝜈 は(6)〜(8)式で、エネルギー運動量テンソル 𝑇^𝜇_𝜈 は(12)〜(14)式で、未知関数を使って表すことができたので、これらを(1)式に代入すれば方程式が完成する。対角成分は次のようになる。 $$\begin{array}{lll}\hfill \text{第(0, 0)成分:}& -\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}=-\frac{4𝜋𝐺{𝜀}_0{𝐸}^2}{{𝑐}^4𝐴𝐵}& \text{(15)}\\ \hfill \text{第(1, 1)成分:}& \frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}=-\frac{4𝜋𝐺{𝜀}_0{𝐸}^2}{{𝑐}^4𝐴𝐵}& \text{(16)}\\ \hfill \text{第(2, 2), (3, 3)成分:}& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}=\frac{4𝜋𝐺{𝜀}_0{𝐸}^2}{{𝑐}^4𝐴𝐵}& \text{(17)}\end{array}$$ そして非対角成分は 0 = 0 となり何もしなくても最初から成り立っている。したがって(15)〜(17)式から成る連立方程式を解けばよいことになる。