ライスナー・ノルドシュトルム解の導出(1)

重力場の方程式の自明でない厳密解の中で最も単純なものとして、別の記事で球対称・定常・真空の解であるシュバルツシルト解(外部解)を導出した。それは物理的には、孤立した球対称・定常の物体の外部で成り立つ解である。そのときは電荷や電磁場はゼロとしていた。では物体が電荷をもっていると解はどう変わるのか、この記事ではそのような状況の解を求めたい。しかし帯電した物体の内部の解を求めるのは面倒なので、球対称の物体が電荷をもっていると仮定して外部の重力場や電磁場がどのようになるかを求める。重力や電磁気力の源である物体が球対称なのだから、外部の重力場や電磁場も球対称になっているはずだ。この解をライスナー・ノルドシュトルム解 (Reissner–Nordström solution) と呼ぶ。

目次

第1章 ライスナー・ノルドシュトルム解を求める方法

シュバルツシルト解(外部解・内部解)の導き方を知っていれば、ライスナー・ノルドシュトルム解を導くのも簡単である。巧妙な計算テクニックや他の物理法則の関係式を動員する必要はなく、重力場の方程式に対して単純な式変形をするだけで解ける。

1.1 条件を式で表す

重力場の方程式

今までのシュバルツシルト解のときと同様に、重力場の方程式は宇宙定数 𝛬 をゼロとして混合テンソルによる方程式 𝐺𝜇𝜈= 8𝜋𝐺𝑐4 𝑇𝜇𝜈 (1) を解くことにする。 𝐺𝜇𝜈 はアインシュタインテンソル、 𝑇𝜇𝜈 はエネルギー運動量テンソル、 𝐺 は万有引力定数、 𝑐 は光速である。

座標系

座標系の形はシュバルツシルト解のときと同様に次のように仮定する。

𝑥⁰ = 𝑤
時間座標(未来方向が正)
𝑥¹ = 𝑟
動径座標
𝑥² = 𝜃
角度座標(緯度:北極が0)
𝑥³ = 𝜑
角度座標(経度)

ただし、まだ方程式が解けたわけではないので、上に書いた座標の意味は仮定である。

計量テンソル

計量テンソルの形もシュバルツシルト解のときと同様に、 (𝑔𝜇𝜈)= ( 𝐴(𝑟)000 0𝐵(𝑟)00 00𝑟20 000𝑟2sin2𝜃 ) (2) と仮定する。 𝐴(𝑟) および 𝐵(𝑟) は 𝑟 のみに依存する未知関数である。したがって線素の式は d𝑠2 = 𝐴(𝑟)d𝑤2 +𝐵(𝑟)d𝑟2 +𝑟2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) となる。

電磁場テンソル

電磁場テンソル 𝐹𝜇𝜈 は反対称テンソルであるから (𝐹𝜇𝜈)= ( 0 𝐹01 𝐹02 𝐹03 𝐹01 0 𝐹12 𝐹13 𝐹02 𝐹12 0 𝐹23 𝐹03 𝐹13 𝐹23 0 ) という形の6個の独立成分で書くことができる。これらはすべて定常であるから 𝑤 には依存しない。しかしこのままでは未知関数が多すぎて手に負えない。球対称だという条件を使って簡単にする方法を考えてみよう。

もし 𝐹₀₂ や 𝐹₀₃ が0でなかったら、荷電粒子が円周方向に力を受けることになる。もし 𝐹₁₂ や 𝐹₁₃ が0でなかったら、動径方向に運動している荷電粒子が円周方向に力を受けることになる。もし 𝐹₂₃ が0でなかったら、円周方向に運動している荷電粒子が右か左に力を受けることになる。しかし今は球対称だから円周方向に特別な方向が存在しては困るので、これらの5個はすべて0でなければならない。その結果、0でなくても良いのは 𝐹₀₁ だけだ。そして電磁場は球対称であり、 𝑤, 𝑟 座標の基底も角度座標 𝜃, 𝜑 に依存せず球対称であるから、 𝐹₀₁ も 𝜃, 𝜑 には依存せず 𝑟 のみの関数になるはずだ。

上ではまわりくどく説明したが、もっと雑に考えると、今は電荷はあるけど(3次元的な)電流はないから磁場もないだろうし、電場は動径方向の成分しかないはずだから、 𝐹₀₁ 以外は0だろう、ということである。ただ、曲がった時空でそのような雑な考え方でいいのか心配だったから1成分ずつ丁寧に考えてみただけだ。

それで 𝐹01=𝐸(𝑟)𝑐 と置けば、電磁場テンソルは (𝐹𝜇𝜈)= ( 0 𝐸(𝑟)𝑐 0 0 𝐸(𝑟)𝑐 0 0 0 0000 0000 ) (3) のように表される。 𝐸(𝑟) は 𝑟 のみに依存する未知関数である。

解の条件

シュバルツシルト解のときと同様に、恒等的に 𝐴(𝑟) = 0 や 𝐵(𝑟) = 0 ではないこととする。境界条件は現段階では特に定めない。もし必要になったらそのときに考える。

1.2 方程式を作る

解くべき方程式である(1)式の具体的な表式を求めよう。ここからは 𝐴 や 𝐵 や 𝐸 の引数を表す (𝑟) は省略することにする。

アインシュタインテンソル 𝐺𝜇𝜈

(2)式の計量テンソルはシュバルツシルト解のときとまったく同じであるから、それを元にしてアインシュタインテンソルの表式を求めるまでの手順も同じである。つまり、まず添え字が上にある 𝑔𝜇𝜈 は (𝑔𝜇𝜈)= ( 1𝐴000 01𝐵00 001𝑟20 0 0 0 1𝑟2sin2𝜃 ) (4) となり、クリストッフェル記号の0でない成分は 𝛤100= 𝐴2𝐵 , 𝛤010= 𝛤001= 𝐴2𝐴 , 𝛤111= 𝐵2𝐵 , 𝛤212= 𝛤221= 1𝑟 , 𝛤313= 𝛤331= 1𝑟 , 𝛤122= 𝑟𝐵 , 𝛤323= 𝛤332= cot𝜃 , 𝛤133= 𝑟𝐵sin2𝜃 , 𝛤233 = sin𝜃cos𝜃 (5) となる。このようにしてアインシュタインテンソルの表式を求めるまでの計算過程はシュバルツシルト解の記事を見てもらうこととしてここでは結果だけを書くと、対角成分は 𝐺00 = 𝐵𝐵2𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 (6) 𝐺11 = 𝐴𝐴𝐵𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 (7) 𝐺22= 𝐺33 = 𝐴2𝐴𝐵 𝐴𝐵4𝐴𝐵2 +𝐴2𝐴𝐵𝑟 𝐴24𝐴2𝐵 𝐵2𝐵2𝑟 (8) であり、非対角成分はすべて0である。ただしプライム ′ は座標 𝑟 による微分 dd𝑟 を表す。

エネルギー運動量テンソル 𝑇𝜇𝜈

電磁場のエネルギー運動量テンソルは、混合テンソルで書けば 𝑇𝜇𝜈 = 1𝜇0 ( 𝐹𝜇𝛼𝐹𝜈𝛼 14𝛿𝜇𝜈 𝐹𝛼𝛽𝐹𝛼𝛽 ) = 𝜀0𝑐2 ( 𝐹𝜇𝛼𝐹𝜈𝛼 14𝛿𝜇𝜈 𝐹𝛼𝛽𝐹𝛼𝛽 ) (9) である(ただし符号が逆になる流儀もある)。 𝜇 は真空の透磁率、 𝜀 は真空の誘電率、 𝛿𝜇𝜈 はクロネッカーのデルタである。この量はたいてい1行目のように 𝜇 を使って書かれることが多いが、今回は都合により 𝜀 を使って表しておく。

(9)式の各成分を求めるために 𝐹𝜇𝜈 = 𝑔𝜇𝛼𝑔𝜈𝛽𝐹𝛼𝛽 が必要であるからそれを計算する。(3)式より 𝐹𝜇𝜈 の0でない成分は 𝐹₀₁ と 𝐹₁₀ だけであり、(4)式より 𝑔𝜇𝜈 の0でない成分は対角成分だけであるから、 𝐹01 = 𝑔00𝑔11𝐹01 = 1𝐴1𝐵(𝐸𝑐) =𝐸𝑐𝐴𝐵 𝐹10 = 𝑔11𝑔00𝐹10 = 1𝐵(1𝐴)𝐸𝑐 =𝐸𝑐𝐴𝐵 であり、これら以外の成分はすべて0である。まとめて書けば (𝐹𝜇𝜈)= ( 0 𝐸𝑐𝐴𝐵 0 0 𝐸𝑐𝐴𝐵 0 0 0 0000 0000 ) (10) のようになる。また、(9)式の右辺の括弧内第2項の中にある電磁場テンソルの縮約は 𝐹𝛼𝛽𝐹𝛼𝛽 = 𝐹01𝐹01+ 𝐹10𝐹10 = 𝐸𝑐𝐴𝐵(𝐸𝑐) 𝐸𝑐𝐴𝐵𝐸𝑐 = 2𝐸2𝑐2𝐴𝐵 (11) である。(3)(10)(11)式を使えば、(9)式の各成分は 𝑇00 = 𝜀0𝑐2 ( 𝐹01𝐹01 14𝐹𝛼𝛽𝐹𝛼𝛽 ) = 𝜀0𝑐2 { 𝐸𝑐𝐴𝐵(𝐸𝑐) 14 (2𝐸2𝑐2𝐴𝐵) } = 𝜀0𝑐2 ( 𝐸2𝑐2𝐴𝐵 +𝐸22𝑐2𝐴𝐵 ) = 𝜀0𝐸22𝐴𝐵 (12) 𝑇11 = 𝜀0𝑐2 ( 𝐹10𝐹10 14𝐹𝛼𝛽𝐹𝛼𝛽 ) = 𝜀0𝑐2 { 𝐸𝑐𝐴𝐵𝐸𝑐 14 (2𝐸2𝑐2𝐴𝐵) } = 𝜀0𝑐2 ( 𝐸2𝑐2𝐴𝐵 +𝐸22𝑐2𝐴𝐵 ) = 𝜀0𝐸22𝐴𝐵 (13) 𝑇22= 𝑇33 = 𝜀0𝑐2 ( 014𝐹𝛼𝛽𝐹𝛼𝛽 ) = 𝜀0𝑐2 { 14 (2𝐸2𝑐2𝐴𝐵) } = 𝜀0𝐸22𝐴𝐵 (14) であり、非対角成分はすべて0である。

方程式の完成

ここまででアインシュタインテンソル 𝐺𝜇𝜈 は(6)〜(8)式で、エネルギー運動量テンソル 𝑇𝜇𝜈 は(12)〜(14)式で、未知関数を使って表すことができたので、これらを(1)式に代入すれば方程式が完成する。対角成分は次のようになる。 第(0, 0)成分: 𝐵𝐵2𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 = 4𝜋𝐺𝜀0𝐸2 𝑐4𝐴𝐵 (15) 第(1, 1)成分: 𝐴𝐴𝐵𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 = 4𝜋𝐺𝜀0𝐸2 𝑐4𝐴𝐵 (16) 第(2, 2), (3, 3)成分: 𝐴2𝐴𝐵 𝐴𝐵4𝐴𝐵2 +𝐴2𝐴𝐵𝑟 𝐴24𝐴2𝐵 𝐵2𝐵2𝑟 = 4𝜋𝐺𝜀0𝐸2 𝑐4𝐴𝐵 (17) そして非対角成分は 0 = 0 となり何もしなくても最初から成り立っている。したがって(15)〜(17)式から成る連立方程式を解けばよいことになる。

⛭ 数式の表示設定 (S)