2.1 方程式を作る

第1章では未知関数 𝐴(𝑟) , 𝐵(𝑟) , 𝐸(𝑟) は 𝑟 のみの関数だった。ここでは時間にも依存するとして、 𝐴(𝑤, 𝑟) , 𝐵(𝑤, 𝑟) , 𝐸(𝑤, 𝑟) としておく。このとき、解くべき方程式である $$𝐺^{𝜇}{}_{𝜈}=\frac{8𝜋𝐺}{{𝑐}^4}𝑇^{𝜇}{}_{𝜈}\text{←}\text{(1)式}$$ はどのように変わるだろうか。

(1)式の左辺のアインシュタインテンソル 𝐺^𝜇_𝜈 は「バーコフの定理」のときと同じになるから、その記事の「アインシュタインテンソル」のところに書いてある式をそのままもってくればよくて、 $$\begin{array}{llll}\hfill 𝐺^0{}_0& =& -\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}& \text{(41)}\\ \hfill 𝐺^1{}_1& =& \frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}& \text{(42)}\\ \hfill 𝐺^2{}_2=𝐺^3{}_3& =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}-\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}+\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}& \text{(43)}\\ \hfill 𝐺^0{}_1& =& -\frac{\dot{𝐵}}{𝐴𝐵𝑟}& \text{(44)}\\ \hfill 𝐺^1{}_0& =& \frac{\dot{𝐵}}{{𝐵}^2𝑟}& \text{(45)}\end{array}$$ であり、これら以外の成分は0である。ただしドット ˙ は座標 𝑤 による微分 $\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑤}}$ を表し、プライム ′ は座標 𝑟 による微分 $\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}$ を表す。

(1)式の右辺のエネルギー運動量テンソル 𝑇^𝜇_𝜈 は、それを求めるときに 𝐸 を微分するような操作はないから 𝐸 が 𝐸(𝑟) だろうと 𝐸(𝑤, 𝑟) だろうと式の形は何も変わらないから、第1章の(12)〜(14)式をそのままもってくればよくて、 $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑇^0{}_0& =& -\frac{{𝜀}_0{𝐸}^2}{2𝐴𝐵}& \text{←}\text{(12)式}\\ \hfill 𝑇^1{}_1& =& -\frac{{𝜀}_0{𝐸}^2}{2𝐴𝐵}& \text{←}\text{(13)式}\\ \hfill 𝑇^2{}_2=𝑇^3{}_3& =& \frac{{𝜀}_0{𝐸}^2}{2𝐴𝐵}& \text{←}\text{(14)式}\end{array}$$ であり、これら以外の成分は0である。

(41)〜(45)・(12)〜(14)式を(1)式に代入すると、解くべき方程式は $$\begin{array}{lll}\hfill \text{第(0, 0)成分:}& -\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}=-\frac{4𝜋𝐺{𝜀}_0{𝐸}^2}{{𝑐}^4𝐴𝐵}& \text{(46)}\\ \hfill \text{第(1, 1)成分:}& \frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}=-\frac{4𝜋𝐺{𝜀}_0{𝐸}^2}{{𝑐}^4𝐴𝐵}& \text{(47)}\\ \hfill \text{第(2, 2), (3, 3)成分:}& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}-\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}+\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}=\frac{4𝜋𝐺{𝜀}_0{𝐸}^2}{{𝑐}^4𝐴𝐵}& \text{(48)}\\ \hfill \text{第(0, 1)成分:}& -\frac{\dot{𝐵}}{𝐴𝐵𝑟}=0& \text{(49)}\\ \hfill \text{第(1, 0)成分:}& \frac{\dot{𝐵}}{{𝐵}^2𝑟}=0& \text{(50)}\end{array}$$ である。

2.2 方程式を解く

話の展開は「バーコフの定理」のときと同じである。(49)・(50)式より、 $$\dot{𝐵}=0\text{(51)}$$ となる。そして(51)式を(48)式に代入すると $\dot{𝐵}$ が消えるとともに $\dot{𝐴}$ も消えて、第1章の(17)式と同じ形の式になる。(46)・(47)式は元から第1章の(15)・(16)式と同じ形である。したがって出てくる解もほぼ同じであり、ただ唯一の違いは第1章で任意定数 𝑏 だったものが今度は 𝑤 の任意関数 𝑏(𝑤) になることである（1.4節のやり方だと 𝑞 も 𝑞(𝑤) になるが、積分定数の名付け方の違いに起因する見かけ上だけの違いである）。だがそれも「バーコフの定理」のときと同様に、座標系をうまく張ることで 𝑏(𝑤) = 1 とすることができる。結局、定常の条件を課したときと同じ解しか出てこないのだ。

以上により、物体が電荷をもっているときでも、そうでないときと同様に、物体の外部は球対称なら定常解に限られる。今のように電荷がある場合でも「バーコフの定理」と呼ぶのかどうかは知らない。