計量テンソル

計量テンソル 𝑔_𝜇𝜈 は(13)式のとおりで、もう一度書くと $$\left({𝑔}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-𝐴& 0& 0& 0\\ 0& 𝐵& 0& 0\\ 0& 0& {𝑟}^2& 0\\ 0& 0& 0& {𝑟}^2{\sin }^2𝜃\end{array}\right)\text{(13)}$$ である。ここからは別途定める場合を除いて 𝐴 や 𝐵 の引数を表す (𝑤, 𝑟) は省略することにする。

この後の計算で添え字が上にある 𝑔^𝜇𝜈 が必要になるので計算しておく。それは 𝑔_𝜇𝜈 の逆行列であるが、今は対角行列であるから対角成分を逆数にするだけでよいので $$\left({𝑔}^{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-\frac{1}{𝐴}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{𝐵}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{{𝑟}^2}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{{𝑟}^2{\sin }^2𝜃}\end{array}\right)\text{(14)}$$ である。

計量テンソルの微分

この後でクリストッフェル記号を求める際に 𝑔_𝜇𝜈 の微分が必要になるので計算しておく。0でない成分は $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{00}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑤}}(-𝐴)\\ & =& -\dot{𝐴}& \text{(15)}\\ \hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{11}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑤}}𝐵\\ & =& \dot{𝐵}& \text{(16)}\end{array}$$ $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{00}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}(-𝐴)\\ & =& -{𝐴}^{\prime }& \text{(17)}\\ \hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{11}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}𝐵\\ & =& {𝐵}^{\prime }& \text{(18)}\\ \hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{22}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}{𝑟}^2\\ & =& 2𝑟& \text{(19)}\\ \hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\left({𝑟}^2{\sin }^2𝜃\right)\\ & =& 2𝑟{\sin }^2𝜃& \text{(20)}\end{array}$$ $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝜃}}\left({𝑟}^2{\sin }^2𝜃\right)\\ & =& 2{𝑟}^2\sin 𝜃\cos 𝜃& \text{(21)}\end{array}$$ である。ただしドット ˙ は座標 𝑤 による微分 $\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑤}}$ を表し、プライム ′ は座標 𝑟 による微分 $\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}$ を表す。これら以外の成分はすべて0である。

計量が対角行列のときに限って使えるクリストッフェル記号の公式

クリストッフェル記号の定義は一般に $$𝛤^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}=\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜆𝜌}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}})$$ である。だが、「シュバルツシルト解（外部解）の導出」の記事の「計量が対角行列のときに限って使えるクリストッフェル記号の公式」のところに書いたように、計量が対角行列のときに限りクリストッフェル記号の公式は3つの添え字のパターンに応じて次のように簡略化される。以下①〜④の欄に限り、アインシュタインの縮約記法を使っておらず、同じ添え字が2回現れても和を取ってはならない。

クリストッフェル記号

ではクリストッフェル記号の各成分の表式を求めよう。(14)〜(21)式を(22)〜(25)式の公式に代入する。

①のパターンは、 $\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}$ が0でないのは(15)・(18)式の場合であるから、 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝛤^0{}_0{}_0& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{00}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{00}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}\\ & =& \frac{1}{2}(-\frac{1}{𝐴})(-\dot{𝐴})\\ & =& \frac{\dot{𝐴}}{2𝐴}\\ \hfill 𝛤^1{}_1{}_1& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{11}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{11}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{𝐵}\cdot {𝐵}^{\prime }\\ & =& \frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵}\end{array}$$ であり、これら以外の場合は0である。②のパターンは、 $\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}$ が0でないのは(16)・(17)・(19)〜(21)式の場合であるから、 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝛤^0{}_1{}_1& =& -\frac{1}{2}{𝑔}^{00}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{11}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}\\ & =& -\frac{1}{2}(-\frac{1}{𝐴})\cdot \dot{𝐵}\\ & =& \frac{\dot{𝐵}}{2𝐴}\\ \hfill 𝛤^1{}_0{}_0& =& -\frac{1}{2}{𝑔}^{11}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{00}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{𝐵}\cdot (-{𝐴}^{\prime })\\ & =& \frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐵}\\ \hfill 𝛤^1{}_2{}_2& =& -\frac{1}{2}{𝑔}^{11}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{22}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{𝐵}\cdot 2𝑟\\ & =& -\frac{𝑟}{𝐵}\\ \hfill 𝛤^1{}_3{}_3& =& -\frac{1}{2}{𝑔}^{11}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{𝐵}\cdot 2𝑟{\sin }^2𝜃\\ & =& -\frac{𝑟}{𝐵}{\sin }^2𝜃\\ \hfill 𝛤^2{}_3{}_3& =& -\frac{1}{2}{𝑔}^{22}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}\\ & =& -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{𝑟}^2}\cdot 2{𝑟}^2\sin 𝜃\cos 𝜃\\ & =& -\sin 𝜃\cos 𝜃\end{array}$$ であり、これら以外の場合は0である。③のパターンは、 $\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}$ が0でないのは(16)・(17)・(19)〜(21)式の場合であるから、 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝛤^1{}_1{}_0=𝛤^1{}_0{}_1& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{11}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{11}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}\\ & =& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{𝐵}\cdot \dot{𝐵}\\ & =& \frac{\dot{𝐵}}{2𝐵}\\ \hfill 𝛤^0{}_0{}_1=𝛤^0{}_1{}_0& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{00}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{00}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& \frac{1}{2}(-\frac{1}{𝐴})(-{𝐴}^{\prime })\\ & =& \frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}\\ \hfill 𝛤^2{}_2{}_1=𝛤^2{}_1{}_2& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{22}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{22}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{𝑟}^2}\cdot 2𝑟\\ & =& \frac{1}{𝑟}\\ \hfill 𝛤^3{}_3{}_1=𝛤^3{}_1{}_3& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{33}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{𝑟}^2{\sin }^2𝜃}\cdot 2𝑟{\sin }^2𝜃\\ & =& \frac{1}{𝑟}\\ \hfill 𝛤^3{}_3{}_2=𝛤^3{}_2{}_3& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{33}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}\\ & =& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{{𝑟}^2{\sin }^2𝜃}\cdot 2{𝑟}^2\sin 𝜃\cos 𝜃\\ & =& \frac{\cos 𝜃}{\sin 𝜃}\\ & =& \cot 𝜃\end{array}$$ であり、これら以外の場合は0である。④のパターンはすべて0である。以上でクリストッフェル記号のすべての成分が求まった。まとめてもう一度書いておくと、0でない成分は以下である。

クリストッフェル記号の微分

この後でリッチテンソルを求める際にクリストッフェル記号の微分が必要になるので計算しておく。ただし $\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}$ のすべての成分がいるわけではなく、 𝜆 = 𝜌 または 𝜆 = 𝜈 である成分が求まれば十分であるから、それらだけを計算する。(26)式をただ微分するだけなので、結果だけを書くと、0でない成分は以下である。 $$\begin{array}{llll}\hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}& =& \frac{\ddot{𝐴}}{2𝐴}-\frac{{\dot{𝐴}}^2}{2{𝐴}^2}& \text{(27)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_1{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}& =& \frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{2{𝐴}^2}& \text{(28)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_1{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}=\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}& =& \frac{{\dot{𝐴}}^{\prime }}{2𝐴}-\frac{\dot{𝐴}{𝐴}^{\prime }}{2{𝐴}^2}& \text{(29)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_1{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}& =& \frac{{\dot{𝐵}}^{\prime }}{2𝐵}-\frac{\dot{𝐵}{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2}& \text{(30)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_0{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}& =& \frac{\ddot{𝐵}}{2𝐵}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{2{𝐵}^2}& \text{(31)}\end{array}$$ $$\begin{array}{llll}\hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{{\dot{𝐴}}^{\prime }}{2𝐴}-\frac{\dot{𝐴}{𝐴}^{\prime }}{2{𝐴}^2}& \text{(32)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_1{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{2{𝐴}^2}& \text{(33)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_1{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{{𝐵}^{″}}{2𝐵}-\frac{{{𝐵}^{\prime }}^2}{2{𝐵}^2}& \text{(34)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2}& \text{(35)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_0{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}=\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_1{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{{\dot{𝐵}}^{\prime }}{2𝐵}-\frac{\dot{𝐵}{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2}& \text{(36)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_2{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& -\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{{𝐵}^2}& \text{(37)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^2{}_1{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& -\frac{1}{{𝑟}^2}& \text{(38)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_3{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& (-\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{{𝐵}^2}){\sin }^2𝜃& \text{(39)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^3{}_1{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& -\frac{1}{{𝑟}^2}& \text{(40)}\end{array}$$ $$\begin{array}{llll}\hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^2{}_3{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}& =& -{\cos }^2𝜃+{\sin }^2𝜃& \text{(41)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^3{}_2{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}& =& -\frac{1}{{\sin }^2𝜃}& \text{(42)}\end{array}$$ 実は(27)・(30)・(34)・(36)式はこの後で使わないので計算する必要はなかったのだがついでに書いておいた。だったら必要になった成分だけをその都度計算すればいいと思うかもしれないが、具体的な表式はともかく、どの成分がゼロでないかは先にまとめて列挙しておく方が楽だと思う。

リッチテンソル 𝑅_𝜇𝜈

リーマンテンソル 𝑅^𝜌_𝜇𝜆𝜈 およびリッチテンソル 𝑅_𝜇𝜈 の定義は $$\begin{array}{ll}𝑅^{𝜌}{}_{𝜇}{}_{𝜆}{}_{𝜈}=\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜌}{}_{𝜇}{}_{𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜌}{}_{𝜇}{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}+𝛤^{𝜎}{}_{𝜇}{}_{𝜈}𝛤^{𝜌}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_{𝜇}{}_{𝜆}𝛤^{𝜌}{}_{𝜎}{}_{𝜈}& \text{(43)}\\ {𝑅}_{𝜇𝜈}=𝑅^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜆}{}_{𝜈}& \text{(44)}\end{array}$$ である（ただし符号を逆に定義する流儀もある）。そこで(43)式を(44)式に代入すれば $${𝑅}_{𝜇𝜈}=\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}+𝛤^{𝜎}{}_{𝜇}{}_{𝜈}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_{𝜇}{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜈}\text{(45)}$$ のようになる。

ではリッチテンソルの各成分の表式を求めよう。(45)式を使って、(26)〜(42)式と見比べながら0でない成分を代入していくだけである。この下の式変形では、添え字に具体的な数字（0〜3）を代入する段階で、項の値が0でないものだけを残すようにしている。クリストッフェル記号の縮約 𝛤^𝜆_𝜇𝜆 を求める公式を知っている人は使いたくなるかもしれないが、今あれを使うとかえって繁雑になってめんどくさいのでやめた方がよいと思う。

まず対角成分は次のようになる。 $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑅}_{00}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_0{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}+𝛤^{𝜎}{}_0{}_0𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_0{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_0\\ & =& (\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}+\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1})-(\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}+\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_0{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0})\\ & & +\left\{𝛤^0{}_0{}_0\right(𝛤^0{}_0{}_0+𝛤^1{}_0{}_1)+𝛤^1{}_0{}_0(𝛤^0{}_1{}_0+𝛤^1{}_1{}_1+𝛤^2{}_1{}_2+𝛤^3{}_1{}_3\left)\right\}\\ & & -(𝛤^0{}_0{}_0𝛤^0{}_0{}_0+𝛤^1{}_0{}_0𝛤^0{}_1{}_0+𝛤^0{}_0{}_1𝛤^1{}_0{}_0+𝛤^1{}_0{}_1𝛤^1{}_1{}_0)\\ & =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_0{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}+𝛤^0{}_0{}_0𝛤^1{}_0{}_1+𝛤^1{}_0{}_0(𝛤^1{}_1{}_1+𝛤^2{}_1{}_2+𝛤^3{}_1{}_3-𝛤^0{}_0{}_1)-{\left(𝛤^1{}_0{}_1\right)}^2\\ & =& (\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2})-(\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐵}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{2{𝐵}^2})+\frac{\dot{𝐴}}{2𝐴}\cdot \frac{\dot{𝐵}}{2𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐵}(\frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵}+\frac{1}{𝑟}+\frac{1}{𝑟}-\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴})-{\left(\frac{\dot{𝐵}}{2𝐵}\right)}^2\\ & =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2}-\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐵}+\frac{{\dot{𝐵}}^2}{2{𝐵}^2}+\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4𝐴𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐵}(\frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵}+\frac{2}{𝑟}-\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴})-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4{𝐵}^2}\\ & =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2}-\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐵}+\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4{𝐵}^2}+\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4𝐴𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4{𝐵}^2}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4𝐴𝐵}\\ & =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4{𝐵}^2}-\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐵}+\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4{𝐵}^2}+\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4𝐴𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4𝐴𝐵}& \text{(46)}\\ \hfill {𝑅}_{11}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_1{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_1{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}+𝛤^{𝜎}{}_1{}_1𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_1{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_1\\ & =& (\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_1{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}+\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_1{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1})-(\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_1{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}+\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_1{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}+\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^2{}_1{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}+\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^3{}_1{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1})\\ & & +\left\{𝛤^0{}_1{}_1\right(𝛤^0{}_0{}_0+𝛤^1{}_0{}_1)+𝛤^1{}_1{}_1(𝛤^0{}_1{}_0+𝛤^1{}_1{}_1+𝛤^2{}_1{}_2+𝛤^3{}_1{}_3\left)\right\}\\ & & -(𝛤^0{}_1{}_0𝛤^0{}_0{}_1+𝛤^0{}_1{}_1𝛤^1{}_0{}_1+𝛤^1{}_1{}_0𝛤^0{}_1{}_1+𝛤^1{}_1{}_1𝛤^1{}_1{}_1+𝛤^2{}_1{}_2𝛤^2{}_2{}_1+𝛤^3{}_1{}_3𝛤^3{}_3{}_1)\\ & =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_1{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_1{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^2{}_1{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^3{}_1{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & & +𝛤^0{}_1{}_1𝛤^0{}_0{}_0+𝛤^1{}_1{}_1(𝛤^0{}_1{}_0+𝛤^2{}_1{}_2+𝛤^3{}_1{}_3)-{\left(𝛤^0{}_1{}_0\right)}^2-𝛤^1{}_1{}_0𝛤^0{}_1{}_1-{\left(𝛤^2{}_1{}_2\right)}^2-{\left(𝛤^3{}_1{}_3\right)}^2\\ & =& (\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{2{𝐴}^2})-(\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{2{𝐴}^2})-(-\frac{1}{{𝑟}^2})-(-\frac{1}{{𝑟}^2})\\ & & +\frac{\dot{𝐵}}{2𝐴}\cdot \frac{\dot{𝐴}}{2𝐴}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵}(\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}+\frac{1}{𝑟}+\frac{1}{𝑟})-{\left(\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}\right)}^2-\frac{\dot{𝐵}}{2𝐵}\cdot \frac{\dot{𝐵}}{2𝐴}-{\left(\frac{1}{𝑟}\right)}^2-{\left(\frac{1}{𝑟}\right)}^2\\ & =& \frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{2{𝐴}^2}-\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{2{𝐴}^2}+\frac{1}{{𝑟}^2}+\frac{1}{{𝑟}^2}+\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵}(\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}+\frac{2}{𝑟})-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴𝐵}-\frac{1}{{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}\\ & =& \frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2}-\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2}+\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{𝐵𝑟}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴𝐵}& \text{(47)}\\ \hfill {𝑅}_{22}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_2{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_2{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}+𝛤^{𝜎}{}_2{}_2𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_2{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_2\\ & =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_2{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^3{}_2{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}+𝛤^1{}_2{}_2(𝛤^0{}_1{}_0+𝛤^1{}_1{}_1+𝛤^2{}_1{}_2+𝛤^3{}_1{}_3)-(𝛤^2{}_2{}_1𝛤^1{}_2{}_2+𝛤^1{}_2{}_2𝛤^2{}_1{}_2+𝛤^3{}_2{}_3𝛤^3{}_3{}_2)\\ & =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_2{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^3{}_2{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}+𝛤^1{}_2{}_2(𝛤^0{}_1{}_0+𝛤^1{}_1{}_1+𝛤^3{}_1{}_3-𝛤^2{}_2{}_1)-{\left(𝛤^3{}_2{}_3\right)}^2\\ & =& (-\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{{𝐵}^2})-(-\frac{1}{{\sin }^2𝜃})+(-\frac{𝑟}{𝐵})(\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵}+\frac{1}{𝑟}-\frac{1}{𝑟})-{\cot }^2𝜃\\ & =& -\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{{𝐵}^2}+\frac{1}{{\sin }^2𝜃}-\frac{𝑟}{𝐵}(\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵})-\frac{{\cos }^2𝜃}{{\sin }^2𝜃}\\ & =& -\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{{𝐵}^2}+\frac{1-{\cos }^2𝜃}{{\sin }^2𝜃}-\frac{{𝐴}^{\prime }𝑟}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{2{𝐵}^2}\\ & =& -\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{2{𝐵}^2}+1-\frac{{𝐴}^{\prime }𝑟}{2𝐴𝐵}& \text{(48)}\\ \hfill {𝑅}_{33}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_3{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_3{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^3}+𝛤^{𝜎}{}_3{}_3𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_3{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_3\\ & =& (\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_3{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}+\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^2{}_3{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2})-0+\left\{𝛤^1{}_3{}_3\right(𝛤^0{}_1{}_0+𝛤^1{}_1{}_1+𝛤^2{}_1{}_2+𝛤^3{}_1{}_3)+𝛤^2{}_3{}_3𝛤^3{}_2{}_3\}\\ & & -(𝛤^3{}_3{}_1𝛤^1{}_3{}_3+𝛤^3{}_3{}_2𝛤^2{}_3{}_3+𝛤^1{}_3{}_3𝛤^3{}_1{}_3+𝛤^2{}_3{}_3𝛤^3{}_2{}_3)\\ & =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_3{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}+\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^2{}_3{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}+𝛤^1{}_3{}_3(𝛤^0{}_1{}_0+𝛤^1{}_1{}_1+𝛤^2{}_1{}_2-𝛤^3{}_3{}_1)-𝛤^3{}_3{}_2𝛤^2{}_3{}_3\\ & =& (-\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{{𝐵}^2}){\sin }^2𝜃+(-{\cos }^2𝜃+{\sin }^2𝜃)+(-\frac{𝑟}{𝐵}{\sin }^2𝜃)(\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵}+\frac{1}{𝑟}-\frac{1}{𝑟})-\cot 𝜃(-\sin 𝜃\cos 𝜃)\\ & =& (-\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{{𝐵}^2}){\sin }^2𝜃-{\cos }^2𝜃+{\sin }^2𝜃-\frac{𝑟}{𝐵}{\sin }^2𝜃(\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵})+{\cos }^2𝜃\\ & =& (-\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{{𝐵}^2}+1-\frac{{𝐴}^{\prime }𝑟}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{2{𝐵}^2}){\sin }^2𝜃\\ & =& (-\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{2{𝐵}^2}+1-\frac{{𝐴}^{\prime }𝑟}{2𝐴𝐵}){\sin }^2𝜃\\ & =& {𝑅}_{22}{\sin }^2𝜃& \text{(49)}\end{array}$$ いちばん最後は、 𝑅_₃₃ を計算した結果を 𝑅_₂₂ と見比べてみたら 𝑅_₂₂ sin^² 𝜃 に等しいことがわかった、という意味である。

続いて非対角成分は、 $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑅}_{01}={𝑅}_{10}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_0{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_0{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}+𝛤^{𝜎}{}_0{}_1𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_0{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_1\\ & =& (\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}+\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_0{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1})-(\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}+\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^1{}_0{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1})\\ & & +\left\{𝛤^0{}_0{}_1\right(𝛤^0{}_0{}_0+𝛤^1{}_0{}_1)+𝛤^1{}_0{}_1(𝛤^0{}_1{}_0+𝛤^1{}_1{}_1+𝛤^2{}_1{}_2+𝛤^3{}_1{}_3\left)\right\}\\ & & -(𝛤^0{}_0{}_0𝛤^0{}_0{}_1+𝛤^1{}_0{}_0𝛤^0{}_1{}_1+𝛤^0{}_0{}_1𝛤^1{}_0{}_1+𝛤^1{}_0{}_1𝛤^1{}_1{}_1)\\ & =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_1}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}+𝛤^1{}_0{}_1(𝛤^0{}_1{}_0+𝛤^2{}_1{}_2+𝛤^3{}_1{}_3)-𝛤^1{}_0{}_0𝛤^0{}_1{}_1\\ & =& (\frac{{\dot{𝐴}}^{\prime }}{2𝐴}-\frac{\dot{𝐴}{𝐴}^{\prime }}{2{𝐴}^2})-(\frac{{\dot{𝐴}}^{\prime }}{2𝐴}-\frac{\dot{𝐴}{𝐴}^{\prime }}{2{𝐴}^2})+\frac{\dot{𝐵}}{2𝐵}(\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}+\frac{1}{𝑟}+\frac{1}{𝑟})-\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐵}\cdot \frac{\dot{𝐵}}{2𝐴}\\ & =& \frac{\dot{𝐵}}{2𝐵}(\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}+\frac{2}{𝑟})-\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐵}\cdot \frac{\dot{𝐵}}{2𝐴}\\ & =& \frac{{𝐴}^{\prime }\dot{𝐵}}{4𝐴𝐵}+\frac{\dot{𝐵}}{𝐵𝑟}-\frac{{𝐴}^{\prime }\dot{𝐵}}{4𝐴𝐵}\\ & =& \frac{\dot{𝐵}}{𝐵𝑟}& \text{(50)}\\ \hfill {𝑅}_{02}={𝑅}_{20}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_0{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_0{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}+𝛤^{𝜎}{}_0{}_2𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_0{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_2\\ & =& 0-0+0-0\\ & =& 0& \text{(51)}\\ \hfill {𝑅}_{03}={𝑅}_{30}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_0{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_0{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^3}+𝛤^{𝜎}{}_0{}_3𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_0{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_3\\ & =& 0-0+0-0\\ & =& 0& \text{(52)}\\ \hfill {𝑅}_{12}={𝑅}_{21}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_1{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_1{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}+𝛤^{𝜎}{}_1{}_2𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_1{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_2\\ & =& 0-0+𝛤^2{}_1{}_2𝛤^3{}_2{}_3-𝛤^3{}_1{}_3𝛤^3{}_3{}_2\\ & =& \frac{1}{𝑟}\cot 𝜃-\frac{1}{𝑟}\cot 𝜃\\ & =& 0& \text{(53)}\\ \hfill {𝑅}_{13}={𝑅}_{31}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_1{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_1{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^3}+𝛤^{𝜎}{}_1{}_3𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_1{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_3\\ & =& 0-0+0-0\\ & =& 0& \text{(54)}\\ \hfill {𝑅}_{23}={𝑅}_{32}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_2{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_2{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^3}+𝛤^{𝜎}{}_2{}_3𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_2{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_3\\ & =& 0-0+0-0\\ & =& 0& \text{(55)}\end{array}$$ のようになる。(50)式以外は0である。

以上でリッチテンソル 𝑅_𝜇𝜈 の表式が求まった。最初の方で書いたように、ここから下に書いてある計算をやらずに(46)〜(55)式を(2)式に代入して方程式を解く作業に進んでも構わない。

リッチテンソル 𝑅^𝜇_𝜈

次に、1個目の添え字を上にあげた 𝑅^𝜇_𝜈 = 𝑔^𝜇𝜌𝑅_𝜌𝜈 を計算する。(14)式と(46)〜(55)式を代入すればよい。

まず対角成分は次のようになる。 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑅^0{}_0& =& {𝑔}^{0𝜌}{𝑅}_{𝜌0}\\ & =& {𝑔}^{00}{𝑅}_{00}\\ & =& -\frac{1}{𝐴}(\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4{𝐵}^2}-\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐵}+\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4{𝐵}^2}+\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4𝐴𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4𝐴𝐵})\\ & =& -\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}& \text{(56)}\\ \hfill 𝑅^1{}_1& =& {𝑔}^{1𝜌}{𝑅}_{𝜌1}\\ & =& {𝑔}^{11}{𝑅}_{11}\\ & =& \frac{1}{𝐵}(\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2}-\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2}+\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{𝐵𝑟}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴𝐵})\\ & =& \frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2}& \text{(57)}\\ \hfill 𝑅^2{}_2& =& {𝑔}^{2𝜌}{𝑅}_{𝜌2}\\ & =& {𝑔}^{22}{𝑅}_{22}\\ & =& \frac{1}{{𝑟}^2}(-\frac{1}{𝐵}+\frac{{𝐵}^{\prime }𝑟}{2{𝐵}^2}+1-\frac{{𝐴}^{\prime }𝑟}{2𝐴𝐵})\\ & =& -\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{{𝑟}^2}-\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}& \text{(58)}\\ \hfill 𝑅^3{}_3& =& {𝑔}^{3𝜌}{𝑅}_{𝜌3}\\ & =& {𝑔}^{33}{𝑅}_{33}\\ & =& \frac{{𝑔}^{22}}{{\sin }^2𝜃}{𝑅}_{22}{\sin }^2𝜃\\ & =& {𝑔}^{22}{𝑅}_{22}\\ & =& 𝑅^2{}_2& \text{(59)}\end{array}$$ 続いて非対角成分は、 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑅^0{}_1& =& {𝑔}^{0𝜌}{𝑅}_{𝜌1}\\ & =& {𝑔}^{00}{𝑅}_{01}\\ & =& -\frac{1}{𝐴}\cdot \frac{\dot{𝐵}}{𝐵𝑟}\\ & =& -\frac{\dot{𝐵}}{𝐴𝐵𝑟}\\ \hfill 𝑅^1{}_0& =& {𝑔}^{1𝜌}{𝑅}_{𝜌0}\\ & =& {𝑔}^{11}{𝑅}_{10}\\ & =& \frac{1}{𝐵}\cdot \frac{\dot{𝐵}}{𝐵𝑟}\\ & =& \frac{\dot{𝐵}}{{𝐵}^2𝑟}\end{array}$$ であり、これら以外の成分がすべて0になることは少し考えればわかる。

以上でリッチテンソル 𝑅^𝜇_𝜈 の表式が求まった。

スカラー曲率

スカラー曲率（リッチスカラー） 𝑅 の定義は $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑅& =& {𝑔}^{𝜇𝜈}{𝑅}_{𝜇𝜈}\\ & =& 𝑅^{𝜈}{}_{𝜈}\end{array}$$ であるから、(56)〜(59)式を代入して計算すると次のようになる。 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑅& =& 𝑅^{𝜈}{}_{𝜈}\\ & =& 𝑅^0{}_0+𝑅^1{}_1+𝑅^2{}_2+𝑅^3{}_3\\ & =& 𝑅^0{}_0+𝑅^1{}_1+𝑅^2{}_2+𝑅^2{}_2\\ & =& 𝑅^0{}_0+𝑅^1{}_1+2𝑅^2{}_2\\ & =& (-\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵})\\ & & +(\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2})\\ & & +2(-\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{{𝑟}^2}-\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟})\\ & =& -\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}\\ & & +\frac{\ddot{𝐵}}{2𝐴𝐵}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{4𝐴{𝐵}^2}\\ & & -\frac{2}{𝐵{𝑟}^2}+\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}+\frac{2}{{𝑟}^2}-\frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}\\ & =& -\frac{{𝐴}^{″}}{𝐴𝐵}+\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{2𝐴{𝐵}^2}+\frac{\ddot{𝐵}}{𝐴𝐵}-\frac{{\dot{𝐵}}^2}{2𝐴{𝐵}^2}-\frac{\dot{𝐴}\dot{𝐵}}{2{𝐴}^2𝐵}-\frac{2{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{2{𝐴}^2𝐵}+\frac{2{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}-\frac{2}{𝐵{𝑟}^2}+\frac{2}{{𝑟}^2}\end{array}$$

アインシュタインテンソル

アインシュタインテンソル 𝐺^𝜇_𝜈 の定義は $$𝐺^{𝜇}{}_{𝜈}=𝑅^{𝜇}{}_{𝜈}-\frac{1}{2}𝛿^{𝜇}{}_{𝜈}𝑅$$ である。 𝛿^𝜇_𝜈 はクロネッカーのデルタである。では各成分の表式を求めよう。