5.1 第一の座標変換ができない場合

(5)・(6)式で表される第一の座標変換は 𝑟 の代わりに 𝑟′ を使うようにする変換である。 𝐷(𝑤, 𝑟) が 𝑟 に対して単調増加または単調減少であれば、問題なく変換や逆変換ができる。増えたり減ったりする関数であっても、増えるところと減るところに区切って区分的に考えれば（範囲は制限されるが）座標変換できるはずだ。問題なのは 𝐷(𝑤, 𝑟) が実は 𝑟 に依存しない場合である。 𝑟 を動径座標だと考えるならば、これは同時刻であれば内側の球面も外側の球面も大きさが同じだという、ちょっと変わった時空であるが、球対称という条件は満たしているだろう。

5.2 第二の座標変換ができない場合

続いて、第一の座標変換はできるが第二の座標変換ができない場合を考えよう。この場合は(7)式の形までは簡略化できる。

(8)〜(11)式で表される第二の座標変換は 𝑤 の代わりに 𝑤′ を使うようにする変換である。1節で書いたように、恒等的に 𝐽(𝑤, 𝑟′) = 0 だとこの変換はできない。そのとき(7)式は $${\mathrm{d𝑠}}^2=2𝐾(𝑤,{𝑟}^{\prime })\mathrm{d𝑤}{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }+𝐿(𝑤,{𝑟}^{\prime }){{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }}^2+{{𝑟}^{\prime }}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)$$ と書けるが、第一の座標変換をする前のことはもう忘れて構わないから、面倒だしこの後で微分と紛らわしいので 𝑟 についているプライム ′ は撤去して $${\mathrm{d𝑠}}^2=2𝐾(𝑤,𝑟)\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝑟}+𝐿(𝑤,𝑟){\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\text{(77)}$$ と書くことにしよう。この計量は 𝑔_₀₀ = 0 なので 𝑤 方向が時間的でなく光的になっている。仮に 𝐿 > 0 ならば、 𝐾 > 0 の場所ではあらゆる物体は 𝑟 が減少する方向にしか動けないし 𝐾 < 0 の場所ではあらゆる物体は 𝑟 が増加する方向にしか動けないという、ちょっと変わった時空であるが、球対称という条件は満たしているだろう。

この場合、計量テンソル 𝑔_𝜇𝜈 は $$\left({𝑔}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}0& 𝐾& 0& 0\\ 𝐾& 𝐿& 0& 0\\ 0& 0& {𝑟}^2& 0\\ 0& 0& 0& {𝑟}^2{\sin }^2𝜃\end{array}\right)\text{(78)}$$ であり、 𝑔^𝜇𝜈 は $$\left({𝑔}^{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-\frac{𝐿}{{𝐾}^2}& \frac{1}{𝐾}& 0& 0\\ \frac{1}{𝐾}& 0& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{{𝑟}^2}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{{𝑟}^2{\sin }^2𝜃}\end{array}\right)\text{(79)}$$ である。そして計量テンソルの微分のうち0でないものは $$\begin{array}{ll}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{01}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}=\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{10}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}=\dot{𝐾},& \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{11}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}=\dot{𝐿},\\ \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{01}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}=\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{10}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}={𝐾}^{\prime },& \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{11}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}={𝐿}^{\prime },& \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{22}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}=2𝑟,& \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}=2𝑟{\sin }^2𝜃,\\ & & & \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}=2{𝑟}^2\sin 𝜃\cos 𝜃\end{array}\text{(80)}$$ である。

続いてクリストッフェル記号を求めるのだが、計量テンソルが対角行列ではないので、「計量が対角行列のときに限って使えるクリストッフェル記号の公式」は使えない。だから定義どおりの式を使って、場合分けして(79)式と見比べながら0でないかもしれない項だけを残して途中まで計算すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝛤^0{}_{𝜇}{}_{𝜈}& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{0𝜌}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}})\\ & =& \frac{1}{2}\left\{{𝑔}^{00}\right(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈0}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇0}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0})+{𝑔}^{01}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈1}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇1}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\left)\right\}\\ \hfill 𝛤^1{}_{𝜇}{}_{𝜈}& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{1𝜌}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}})\\ & =& \frac{1}{2}{𝑔}^{10}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈0}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇0}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0})\\ \hfill 𝛤^2{}_{𝜇}{}_{𝜈}& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{2𝜌}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}})\\ & =& \frac{1}{2}{𝑔}^{22}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈2}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇2}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2})\\ \hfill 𝛤^3{}_{𝜇}{}_{𝜈}& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{3𝜌}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}})\\ & =& \frac{1}{2}{𝑔}^{33}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈3}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇3}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^3})\end{array}$$ のようになる。これらと(80)式を見比べれば、0でないかもしれない成分だけを拾い上げるのはそれほど手間ではない。その結果、クリストッフェル記号のうち0でない成分は以下のようになる。 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝛤^0{}_0{}_0& =& \frac{\dot{𝐾}}{𝐾}\\ \hfill 𝛤^0{}_0{}_1=𝛤^0{}_1{}_0& =& \frac{\dot{𝐿}}{2𝐾}\\ \hfill 𝛤^0{}_1{}_1& =& \text{（面倒なので省略）}\\ \hfill 𝛤^0{}_2{}_2& =& -\frac{𝑟}{𝐾}\\ \hfill 𝛤^0{}_3{}_3& =& -\frac{𝑟}{𝐾}{\sin }^2𝜃\\ \hfill 𝛤^1{}_1{}_1& =& \text{（面倒なので省略）}\\ \hfill 𝛤^2{}_1{}_2=𝛤^2{}_2{}_1& =& \frac{1}{𝑟}\\ \hfill 𝛤^2{}_3{}_3& =& -\sin 𝜃\cos 𝜃\\ \hfill 𝛤^3{}_1{}_3=𝛤^3{}_3{}_1& =& \frac{1}{𝑟}\\ \hfill 𝛤^3{}_2{}_3=𝛤^3{}_3{}_2& =& \cot 𝜃\end{array}$$ これを元にリッチテンソルの第(0, 0)成分と第(2, 2)成分を計算してみよう。 $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑅}_{00}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_0{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}+𝛤^{𝜎}{}_0{}_0𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_0{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_0\\ & =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_0{}_0}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}+0-𝛤^0{}_0{}_0𝛤^0{}_0{}_0\\ & =& -{\left(𝛤^0{}_0{}_0\right)}^2\\ & =& -\frac{{\dot{𝐾}}^2}{{𝐾}^2}& \text{(81)}\\ \hfill {𝑅}_{22}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_2{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜆}{}_2{}_{𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}+𝛤^{𝜎}{}_2{}_2𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_{𝜆}-𝛤^{𝜎}{}_2{}_{𝜆}𝛤^{𝜆}{}_{𝜎}{}_2\\ & =& \frac{\mathrm{\partial 𝛤}^0{}_2{}_2}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^0}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^3{}_2{}_3}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}+0-𝛤^3{}_2{}_3𝛤^3{}_3{}_2\\ & =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑤}}(-\frac{𝑟}{𝐾})-\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝜃}}\cot 𝜃-\cot 𝜃\cot 𝜃\\ & =& \frac{\dot{𝐾}𝑟}{{𝐾}^2}-(-\frac{1}{{\sin }^2𝜃})-{\cot }^2𝜃\\ & =& \frac{\dot{𝐾}𝑟}{{𝐾}^2}+\frac{1}{{\sin }^2𝜃}-\frac{{\cos }^2𝜃}{{\sin }^2𝜃}\\ & =& \frac{\dot{𝐾}𝑟}{{𝐾}^2}+1& \text{(82)}\end{array}$$ 解くべき方程式と等価な方程式は $${𝑅}_{𝜇𝜈}=0\text{←}\text{(2)式}$$ であったから、これと(81)式より、$\dot{𝐾}=0$ となる。しかしそれを(82)式に代入すると 𝑅_₂₂ = 1 になってしまい、これではどうやっても(2)式を満たすことはできない。よって(77)・(78)式の形の解は存在しないことがわかる。