重力場の方程式

重力場の方程式は一般に $${𝐺}^{𝜇𝜈}+𝛬{𝑔}^{𝜇𝜈}=𝜅{𝑇}^{𝜇𝜈}\text{(1)}$$ のような形で書かれる（ただしどれかの項の符号が逆になる流儀もある）。 𝐺^𝜇𝜈 はアインシュタインテンソル、 𝑔^𝜇𝜈 は計量テンソル、 𝑇^𝜇𝜈 はエネルギー運動量テンソルである。 𝛬 と 𝜅 は定数である。

シュバルツシルト解（外部解）のときは真空であるから恒等的に 𝑇^𝜇𝜈 = 0 と置いたのだった。今回は真空とは限らないので 𝑇^𝜇𝜈 は恒等的にゼロではない。宇宙定数 𝛬 はシュバルツシルト解のときと同様にゼロとする。定数 𝜅 の中身は $𝜅=\frac{8𝜋𝐺}{{𝑐}^4}$ であり、 𝐺 は万有引力定数、 𝑐 は光速である。したがって(1)式は $${𝐺}^{𝜇𝜈}=\frac{8𝜋𝐺}{{𝑐}^4}{𝑇}^{𝜇𝜈}\text{(2)}$$ という形になる。ただし、シュバルツシルト解のときと同様に、ここでは実際には反変テンソルではなく片方の添え字をおろした混合テンソルによる方程式 $$𝐺^{𝜇}{}_{𝜈}=\frac{8𝜋𝐺}{{𝑐}^4}𝑇^{𝜇}{}_{𝜈}\text{(3)}$$ を解くことにする。今回はシュバルツシルト解（内部解）のときと違って定数 𝜅 の中身を最初から代入したが、これはたまたまそうしただけの気分の問題である。いつでも好きなタイミングで代入すればよい。

座標系

座標系の形はシュバルツシルト解のときと同様に次のように仮定する。

𝑥^⁰ = 𝑤

時間座標（未来方向が正）

𝑥^¹ = 𝑟

動径座標

𝑥^² = 𝜃

角度座標（緯度:北極が0）

𝑥^³ = 𝜑

角度座標（経度）

𝑟 = 0 は天体の中心であり、 𝑟 = 𝑟_𝑐 を天体の表面とする。今から求めたいのは 0 ≦ 𝑟 の全域で成り立つ解である。ただし 𝜃 = 0, 𝜋 ではすべての 𝜑 が（さらに 𝑟 = 0 ではすべての 𝜃 と 𝜑 が）1点に集まり座標特異点となり得るので、そのせいで何かの量のいずれかの成分がその場所で形式的に発散することは構わないこととする。

計量テンソル

計量テンソルの形もシュバルツシルト解のときと同様に、 $$\left({𝑔}_{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-𝐴\left(𝑟\right)& 0& 0& 0\\ 0& 𝐵\left(𝑟\right)& 0& 0\\ 0& 0& {𝑟}^2& 0\\ 0& 0& 0& {𝑟}^2{\sin }^2𝜃\end{array}\right)\text{(4)}$$ と仮定する。 𝐴(𝑟) および 𝐵(𝑟) は 𝑟 のみに依存する未知関数である。したがって線素の式は $${\mathrm{d𝑠}}^2=-𝐴\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑤}}^2+𝐵\left(𝑟\right){\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\text{(5)}$$ となる。

物質場

天体を構成する物質は完全流体だと仮定し、その質量密度を 𝑟 の関数として 𝜌(𝑟) と置き、圧力を 𝑟 の関数として 𝑝(𝑟) と置く。この 𝜌(𝑟) と 𝑝(𝑟) は流体要素が瞬間的に静止する局所慣性系で測った値である。だからスカラーであり、先ほど仮定した座標系の目盛り間隔には依存しない。また、これらは負にはならないものとする。宇宙論では圧力が負であるようなダークエネルギーが登場することがあるが、今は圧力が正となる普通の物質だけを考える。

天体の外部では密度と圧力はゼロであるから、 𝑟 > 𝑟_𝑐 のとき 𝜌(𝑟) = 0 , 𝑝(𝑟) = 0 である。

境界条件

今回の解のことしか考えないなら特にないが、あとでシュバルツシルト解と比較して天体の外部で計量がシュバルツシルト解（外部解）と一致するような条件を追加する。

アインシュタインテンソル 𝐺^𝜇_𝜈

(4)式の計量テンソルはシュバルツシルト解のときとまったく同じであるから、それを元にしてアインシュタインテンソルの表式を求めるまでの手順も同じである。つまり、まず添え字が上にある 𝑔^𝜇𝜈 は $$\left({𝑔}^{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-\frac{1}{𝐴}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{1}{𝐵}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{{𝑟}^2}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{{𝑟}^2{\sin }^2𝜃}\end{array}\right)$$ となり、次にクリストッフェル記号の0でない成分は $$\begin{array}{llll}& 𝛤^1{}_0{}_0=\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐵}\text{,}& & \\ 𝛤^0{}_1{}_0=𝛤^0{}_0{}_1=\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴}\text{,}& 𝛤^1{}_1{}_1=\frac{{𝐵}^{\prime }}{2𝐵}\text{,}& 𝛤^2{}_1{}_2=𝛤^2{}_2{}_1=\frac{1}{𝑟}\text{,}& 𝛤^3{}_1{}_3=𝛤^3{}_3{}_1=\frac{1}{𝑟}\text{,}\\ & 𝛤^1{}_2{}_2=-\frac{𝑟}{𝐵}\text{,}& & 𝛤^3{}_2{}_3=𝛤^3{}_3{}_2=\cot 𝜃\text{,}\\ & 𝛤^1{}_3{}_3=-\frac{𝑟}{𝐵}{\sin }^2𝜃\text{,}& 𝛤^2{}_3{}_3=-\sin 𝜃\cos 𝜃& \end{array}\text{(5-2)}$$ となる。このようにしてアインシュタインテンソルの表式を求めるまでの計算過程はシュバルツシルト（外部解）の記事の2.2節を見てもらうこととしてここでは結果だけを書くと、対角成分は $$\begin{array}{llll}\hfill 𝐺^0{}_0& =& -\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}& \text{(6)}\\ \hfill 𝐺^1{}_1& =& \frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}& \text{(7)}\\ \hfill 𝐺^2{}_2=𝐺^3{}_3& =& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}& \text{(8)}\end{array}$$ であり、非対角成分はすべて0である。ただし 𝑟 以外の文字についているプライム ′ は座標 𝑟 による微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝑟}}$ を表す。

エネルギー運動量テンソル 𝑇^𝜇_𝜈

完全流体であるからエネルギー運動量テンソルは $${𝑇}^{𝜇𝜈}=(𝜌+\frac{𝑝}{{𝑐}^2}){𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}+𝑝{𝑔}^{𝜇𝜈}$$ のようになる（ただしどれかの項の符号が逆になる流儀もある）。ここで 𝑢^𝜇 は流体要素の4元速度である。しかし今は混合テンソルが欲しいので、片方の添え字をおろして $$𝑇^{𝜇}{}_{𝜈}=(𝜌+\frac{𝑝}{{𝑐}^2}){𝑢}^{𝜇}{𝑢}_{𝜈}+𝑝𝛿^{𝜇}{}_{𝜈}\text{(9)}$$ のようにしておく。 𝛿^𝜇_𝜈 はクロネッカーのデルタである。

𝑢^𝜇 については、空間成分 (𝜇 = 1, 2, 3) はすべて0である。その理由は、もし 𝑢^¹ が0でなかったら天体が膨らむか縮むかして定常でなくなってしまうし、 𝑢^² または 𝑢^³ が0でなかったら円周方向に特定の方向が存在することになって球対称でなくなってしまい、「球対称・定常」という仮定に反するからだ。すると、今は計量テンソルの非対角成分は0であるから、 𝑢_𝜈 = 𝑔_𝜆𝜈𝑢^𝜆 も空間成分はすべて0になる。そして4元速度はいつでも $${𝑔}_{𝜇𝜈}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}=-{𝑐}^2$$ を満たしているから、その結果 $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑢}^{𝜇}{𝑢}_{𝜇}& =& -{𝑐}^2\\ \hfill {𝑢}^0{𝑢}_0+{𝑢}^1{𝑢}_1+{𝑢}^2{𝑢}_2+{𝑢}^3{𝑢}_3& =& -{𝑐}^2\\ \hfill {𝑢}^0{𝑢}_0+0+0+0& =& -{𝑐}^2\\ \hfill {𝑢}^0{𝑢}_0& =& -{𝑐}^2\end{array}$$ となる。したがって(9)式よりエネルギー運動量テンソルの第(0, 0)成分は $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑇^0{}_0& =& (𝜌+\frac{𝑝}{{𝑐}^2}){𝑢}^0{𝑢}_0+𝑝𝛿^0{}_0\\ & =& (𝜌+\frac{𝑝}{{𝑐}^2})(-{𝑐}^2)+𝑝\\ & =& -{𝑐}^2𝜌-𝑝+𝑝\\ & =& -{𝑐}^2𝜌\end{array}$$ である。その他の対角成分は(9)式の右辺の第1項が0になるから $𝑇^{𝜇}{}_{𝜈}=𝑝$ (𝜇 = 𝜈 ≠ 0) であり、非対角成分は(9)式の右辺の第1項も第2項も0になるからすべて0である。まとめて書けば $$\left(𝑇^{𝜇}{}_{𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-{𝑐}^2𝜌& 0& 0& 0\\ 0& 𝑝& 0& 0\\ 0& 0& 𝑝& 0\\ 0& 0& 0& 𝑝\end{array}\right)\text{(10)}$$ である。

方程式の完成

ここまででアインシュタインテンソル 𝐺^𝜇_𝜈 とエネルギー運動量テンソル 𝑇^𝜇_𝜈 を未知関数で表すことができたので、これらを(3)式に代入すれば方程式が完成する。対角成分は次のようになる。 $$\begin{array}{lll}\hfill \text{第(0, 0)成分:}& -\frac{{𝐵}^{\prime }}{{𝐵}^2𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}=-\frac{8𝜋𝐺𝜌}{{𝑐}^2}& \text{(11)}\\ \hfill \text{第(1, 1)成分:}& \frac{{𝐴}^{\prime }}{𝐴𝐵𝑟}+\frac{1}{𝐵{𝑟}^2}-\frac{1}{{𝑟}^2}=\frac{8𝜋𝐺𝑝}{{𝑐}^4}& \text{(12)}\\ \hfill \text{第(2, 2), (3, 3)成分:}& \frac{{𝐴}^{″}}{2𝐴𝐵}-\frac{{𝐴}^{\prime }{𝐵}^{\prime }}{4𝐴{𝐵}^2}+\frac{{𝐴}^{\prime }}{2𝐴𝐵𝑟}-\frac{{{𝐴}^{\prime }}^2}{4{𝐴}^2𝐵}-\frac{{𝐵}^{\prime }}{2{𝐵}^2𝑟}=\frac{8𝜋𝐺𝑝}{{𝑐}^4}& \text{(13)}\end{array}$$ そして非対角成分は 0 = 0 となり何もしなくても最初から成り立っている。したがって(11)〜(13)式から成る連立方程式を解けばよいことになる。