シュバルツシルト解(内部解)の導出(1)

重力場の方程式の自明でない厳密解の中で最も単純なものとして、別の記事で球対称・定常・真空の解であるシュバルツシルト解(外部解)を導出した。それは物理的には、孤立した球対称・定常の天体の外部で成り立つ解である。それに対して、この記事では天体の内部で成り立つ解を求めたい。ここではその中でも最も単純な状況として、天体の内部が一様密度の完全流体だと仮定した場合の解であるシュバルツシルト解(内部解)を導出する。

目次

第1章 シュバルツシルト解(内部解)を求める方法

内部解を求める流れは、外部解の場合とほとんど同じである。ただ真空でない分だけ変数の数が少し増えるだけだ。

1.1 条件を式で表す

重力場の方程式

重力場の方程式は一般に 𝐺𝜇𝜈+𝛬𝑔𝜇𝜈 =𝜅𝑇𝜇𝜈 (1) のような形で書かれる(ただしどれかの項の符号が逆になる流儀もある)。 𝐺𝜇𝜈 はアインシュタインテンソル、 𝑔𝜇𝜈 は計量テンソル、 𝑇𝜇𝜈 はエネルギー運動量テンソルである。 𝛬 と 𝜅 は定数である。

外部解のときは真空であるから 𝑇𝜇𝜈 = 0 と置いたのだった。内部解では真空ではないので 𝑇𝜇𝜈 はゼロではない。宇宙定数 𝛬 は外部解のときと同様にゼロとする。したがって(1)式 𝐺𝜇𝜈=𝜅𝑇𝜇𝜈 (2) という形になる。ただし、外部解のときと同様に、ここでは実際には反変テンソルではなく片方の添え字をおろした混合テンソルによる方程式 𝐺𝜇𝜈 =𝜅𝑇𝜇𝜈 (3) を解くことにする。定数 𝜅 の中身は 𝜅=8𝜋𝐺𝑐4 であり、 𝐺 は万有引力定数、 𝑐 は光速であるが、最初からこれを代入すると計算の途中で文字をたくさん書かなければならず面倒であるから終盤になってから代入する。

座標系

座標系の形は外部解のときと同様に次のように仮定する。

𝑥⁰ = 𝑤 (= 𝑐𝑡)
時間座標(未来方向が正)
𝑥¹ = 𝑟
動径座標
𝑥² = 𝜃
角度座標(緯度:北極が0)
𝑥³ = 𝜑
角度座標(経度)

𝑟 = 0 は天体の中心であり、 𝑟 = 𝑟𝑐 を天体の表面とする。今から求めたいのは 0 ≦ 𝑟 ≦ 𝑟𝑐 の全域で成り立つ解である。ただし 𝜃 = 0, 𝜋 ではすべての 𝜑 が(さらに 𝑟 = 0 ではすべての 𝜃 と 𝜑 が)1点に集まり座標特異点となり得るので、そのせいで何かの量のいずれかの成分がその場所で形式的に発散することは構わないこととする。

計量テンソル

計量テンソルの形も外部解のときと同様に、 (𝑔𝜇𝜈)= ( 𝐴(𝑟)000 0𝐵(𝑟)00 00𝑟20 000𝑟2sin2𝜃 ) (4) と仮定する。 𝐴(𝑟) および 𝐵(𝑟) は 𝑟 のみに依存する未知関数である。したがって線素の式は d𝑠2 = 𝐴(𝑟)d𝑤2 +𝐵(𝑟)d𝑟2 +𝑟2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) (5) となる。

物質場

天体を構成する物質は一様密度の完全流体だと仮定し、その質量密度を 𝜌𝑐 と置く。圧力は場所によって異なるので 𝑟 の関数として 𝑝(𝑟) と置く。この 𝜌𝑐 と 𝑝(𝑟) は流体要素が瞬間的に静止する局所慣性系で測った値である。だからスカラーであり、先ほど仮定した座標系の目盛り間隔には依存しない。また、これらは負にはならないものとする。宇宙論では圧力が負であるようなダークエネルギーが登場することがあるが、今は圧力が正となる普通の物質だけを考える。

現実には圧力にかかわらず密度が一定となることはあり得ない。だが、とても密度が大きい中性子星などでは近似的に密度が一定とみなせるので、これはそのような場合に対する大まかな近似のモデルである。

境界条件

天体の表面では圧力はゼロであるから、 𝑟 = 𝑟𝑐 で 𝑝(𝑟𝑐) = 0 である。

内部のことしか考えないならこれだけだが、あとで外部解と接続するときに天体の表面で内部解と外部解が一致するような条件も追加する。

1.2 方程式を作る

解くべき方程式である(3)式の具体的な表式を求めよう。ここからは 𝐴 や 𝐵 や 𝑝 の引数を表す (𝑟) は省略することにする。

アインシュタインテンソル 𝐺𝜇𝜈

アインシュタインテンソルは外部解のときとまったく同じである。したがって計算過程は外部解の記事を見てもらうこととしてここでは結果だけを書くと、対角成分は 𝐺00 = 𝐵𝐵2𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 (6) 𝐺11 = 𝐴𝐴𝐵𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 (7) 𝐺22= 𝐺33 = 𝐴2𝐴𝐵 𝐴𝐵4𝐴𝐵2 +𝐴2𝐴𝐵𝑟 𝐴24𝐴2𝐵 𝐵2𝐵2𝑟 (8) であり、非対角成分はすべて0である。ただしプライム ′ は座標 𝑟 による微分 dd𝑟 を表す。

エネルギー運動量テンソル 𝑇𝜇𝜈

完全流体であるからエネルギー運動量テンソルは 𝑇𝜇𝜈= (𝜌𝑐+𝑝𝑐2) 𝑢𝜇𝑢𝜈 +𝑝𝑔𝜇𝜈 のようになる(ただしどれかの項の符号が逆になる流儀もある)。ここで 𝑢𝜇 は流体要素の4元速度である。しかし今は混合テンソルが欲しいので、片方の添え字をおろして 𝑇𝜇𝜈= (𝜌𝑐+𝑝𝑐2) 𝑢𝜇𝑢𝜈 +𝑝𝛿𝜇𝜈 (9) のようにしておく。 𝛿𝜇𝜈 はクロネッカーのデルタである。

𝑢𝜇 については、空間成分 (𝜇 = 1, 2, 3) はすべて0である。その理由は、もし 𝑢¹ が0でなかったら天体が膨らむか縮むかして定常でなくなってしまうし、 𝑢² または 𝑢³ が0でなかったら円周方向に特定の方向が存在することになって球対称でなくなってしまい、「球対称・定常」という仮定に反するからだ。すると、今は計量テンソルの非対角成分は0であるから、 𝑢𝜈 = 𝑔𝜆𝜈𝑢𝜆 も空間成分はすべて0になる。そして4元速度はいつでも 𝑔𝜇𝜈𝑢𝜇𝑢𝜈 =𝑐2 を満たしているから、その結果 𝑢𝜇𝑢𝜇 = 𝑐2 𝑢0𝑢0+ 𝑢1𝑢1+ 𝑢2𝑢2+ 𝑢3𝑢3 = 𝑐2 𝑢0𝑢0+0+0+0 = 𝑐2 𝑢0𝑢0 = 𝑐2 となる。したがって(9)式よりエネルギー運動量テンソルの第(0, 0)成分は 𝑇00 = (𝜌𝑐+𝑝𝑐2) 𝑢0𝑢0 +𝑝𝛿00 = (𝜌𝑐+𝑝𝑐2) (𝑐2) +𝑝 =𝑐2𝜌𝑐𝑝+𝑝 =𝑐2𝜌𝑐 である。その他の対角成分は(9)式の右辺の第1項が0になるから 𝑇𝜇𝜈=𝑝 (𝜇 = 𝜈 ≠ 0) であり、非対角成分は(9)式の右辺の第1項も第2項も0になるからすべて0である。まとめて書けば (𝑇𝜇𝜈)= ( 𝑐2𝜌𝑐000 0𝑝00 00𝑝0 000𝑝 ) (10) である。

方程式の完成

ここまででアインシュタインテンソル 𝐺𝜇𝜈 とエネルギー運動量テンソル 𝑇𝜇𝜈 を未知関数で表すことができたので、これらを(3)式に代入すれば方程式が完成する。対角成分は次のようになる。 第(0, 0)成分: 𝐵𝐵2𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 =𝜅𝑐2𝜌𝑐 (11) 第(1, 1)成分: 𝐴𝐴𝐵𝑟 +1𝐵𝑟2 1𝑟2 =𝜅𝑝 (12) 第(2, 2), (3, 3)成分: 𝐴2𝐴𝐵 𝐴𝐵4𝐴𝐵2 +𝐴2𝐴𝐵𝑟 𝐴24𝐴2𝐵 𝐵2𝐵2𝑟 =𝜅𝑝 (13) そして非対角成分は 0 = 0 となり何もしなくても最初から成り立っている。したがって(11)〜(13)式から成る連立方程式を解けばよいことになる。

⛭ 数式の表示設定 (S)