前回の記事は「真空の宇宙に対するフリードマン方程式を解く」であった。今回は一歩進んで、一様に光や物質で満たされているような宇宙に対して、状態方程式の具体的な形を仮定してフリードマン方程式の解を求めてみる。現実の宇宙と合うか合わないかといった検討は後回しにして、計算上出てくる解は全部出してみよう。今の段階では宇宙定数は特に意味を考えずに単なる定数とみなす。とりあえず数学的にただ方程式を解くことに集中し、観測データとの関係とか宇宙項の意味といった話はまだここでは扱わない。
フリードマン方程式およびそれに付随する方程式の一般的な形は であった。 𝑎 と 𝜀 と 𝑝 は時間の関数であり、 𝑎 はスケール因子、 𝜀 は宇宙を満たす完全流体のエネルギー密度、 𝑝 は宇宙を満たす完全流体の圧力である。ドット˙は時間座標 𝑐𝑡 による微分 である。その他の文字は定数であり、 𝐺 は万有引力定数、 𝑐 は光速、 𝛬 は宇宙定数、 𝑘 は空間の曲率である。
4個の式を書いたが独立な条件は3個である。解が恒等的に （𝑎 が定数）でない限り、フリードマン方程式(1)式が成り立っている条件の下で、加速度方程式(2)式とエネルギー保存則(3)式は一方が成り立てば自動的に他方も成り立つのでどちらか一方は無視してよい。ただし解が恒等的に （𝑎 が定数）であるときは、フリードマン方程式(1)式が成り立てば自動的にエネルギー保存則(3)式も成り立つけれども、加速度方程式(2)式は独立になるので無視してはならない。ここまでは「フリードマン方程式の導出」の記事でやったことだ。
具体的にこの連立方程式を解こうとすると、 𝑎 が定数関数であるか否かによってやることが異なってくる。そこで第2章で 𝑎 が定数関数の場合を扱い、第3章でそうでない場合を扱う。
なお、仮定により 𝑎 ≧ 0 （等号成立は宇宙の始まりと終わりの瞬間だけ）である。
スケール因子 𝑎 が一定の場合、 であるから解くべき方程式は である。フリードマン方程式(5)式が成り立てばエネルギー保存則の式は自動的に成り立つ。(5)・(6)式はもはや微分方程式でなくただの代数方程式であり、とても簡単な式変形により であることがわかる。 𝑎 の他に 𝜀 と 𝑝 が未知関数だったのでそれらについて解けば となり、当然ながら定数関数になる。ここで 𝑎 と 𝑘 に関してはその値を単独で見てもあまり意味はなく、2つを組み合わせた が空間の曲率半径の実際の大きさである。だから式の中に現れる が曲率半径の−2乗を表しているということだ。
もしも(8)・(9)式の 𝜀 と 𝑝 が状態方程式(7)式を満たしていれば、これらは解である。満たしていなければ、スケール因子 𝑎 が一定となる解は存在しない。
ここでは状態方程式の例として1つだけ挙げておく。それは流体のエネルギー密度に比べて圧力が無視できる場合、すなわち宇宙にある物質の速度が光速に比べて十分に小さい場合で、そのときは近似的に とすることができる（この状態方程式については3.2節の冒頭で再度説明する）。このとき空間の曲率半径は であり、エネルギー密度 𝜀 に着目すれば となっていればよい。このようになっている宇宙を「アインシュタインの静止宇宙」とか単に「アインシュタイン宇宙」と呼ぶ。
ほかの状態方程式も試したければ、(7)式を好きな形に仮定してそこに(8)・(9)式を代入すれば良い。特に難しいことはなく と 𝛬 が満たすべき関係が出てくるはずだ。 𝑎 が一定の解についてはこれくらいにしておこう。