【2‐1】 𝛬 = 0, 𝑘 > 0 のとき

$$\int \frac{\sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}-𝑘𝑎}}=\pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\text{←}\text{(47)式}$$ の左辺の被積分関数の分母の根号の中身は正でなければならないから、 𝑎 は $0\leqq 𝑎<\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}$ を満たす範囲を動くことができる。そこで新しい変数を 𝑢 として $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑎& =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}{\cos }^2\frac{𝑢}{2}& \text{(48)}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}\cdot \frac{\cos 𝑢+1}{2}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}(\cos 𝑢+1)& \text{(49)}\end{array}$$ とおく。ただし 𝑢 は 0 < 𝑢 ≦ 𝜋 の範囲から選ぶこととする（したがって $\sin \frac{𝑢}{2}>0$ , $\cos \frac{𝑢}{2}\geqq 0$ ）。(48)式の両辺を微分すると $$\mathrm{d𝑎}=-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}\cos \frac{𝑢}{2}\sin \frac{𝑢}{2}\mathrm{d𝑢}\text{(50)}$$ であるから、これらを(47)式に代入すると $$\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{\sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}-𝑘𝑎}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(47)式}\\ \hfill \int \frac{\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}{\cos }^2\frac{𝑢}{2}}(-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}\cos \frac{𝑢}{2}\sin \frac{𝑢}{2}\mathrm{d𝑢})}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}-{𝐾}_{𝑚}{\cos }^2\frac{𝑢}{2}}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(48)}\text{・}\text{(50)式}\text{を代入した。}\\ \hfill \int \frac{\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}}\cos \frac{𝑢}{2}(-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}\cos \frac{𝑢}{2}\sin \frac{𝑢}{2}\mathrm{d𝑢})}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{1-{\cos }^2\frac{𝑢}{2}}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \int \frac{-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}}{\cos }^2\frac{𝑢}{2}\sin \frac{𝑢}{2}\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sin \frac{𝑢}{2}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill -\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘\sqrt{𝑘}}\int {\cos }^2\frac{𝑢}{2}\mathrm{d𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill -\frac{{𝐾}_{𝑚}}{{𝑘}^{\frac{3}{2}}}\int \frac{\cos 𝑢+1}{2}\mathrm{d𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill -\frac{{𝐾}_{𝑚}}{{𝑘}^{\frac{3}{2}}}\cdot \frac{\sin 𝑢+𝑢}{2}& =& \pm 𝑐𝑡& \text{（積分定数を0とした。）}\\ \hfill \mp \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{𝑘}^{\frac{3}{2}}}(\sin 𝑢+𝑢)& =& 𝑡& \text{(51)}\end{array}$$ のようになる。(51)・(49)式が媒介変数表示による解である。ところでここまでは 𝑢 を正に限っていたが、(49)式は 𝑢 を符号反転しても何も変わらず、(51)式は 𝑢 の符号反転は複号を逆にすることと等価である。ということは 𝑢 が負でもよいことにする代わりに(51)式の左辺の複号を取り払っても同じことである。また、 𝑢 = 0 すなわち 𝑡 = 0 のときに(48)式を使うと(47)式の左辺の被積分関数の分母が0になってしまうので除外して考えてきたが、(44)式までさかのぼってみるとそのときも 0 = 0 となってちゃんと成り立っている。よって 𝑡 = 0 のときも(51)・(49)式は解である。したがって解の媒介変数表示は $$\begin{array}{l}\{\begin{array}{ll}𝑡=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{𝑘}^{\frac{3}{2}}}(\sin 𝑢+𝑢)& \text{(52)}\\ 𝑎=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}(\cos 𝑢+1)& \text{(53)}\end{array}\\ \text{（ただし}-𝜋\leqq 𝑢\leqq 𝜋\text{）}\end{array}$$ とすることができる。時間座標 𝑐𝑡 と曲率半径 $\frac{𝑎}{\sqrt{𝑘}}$ の関係をグラフに描けばサイクロイドになる。数学的には 𝑢 が取り得る範囲はすべての実数にまで広げて構わない。これは時刻 $𝑡=-\frac{𝜋{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{𝑘}^{\frac{3}{2}}}$ に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、時刻 𝑡 = 0 に最大値 $𝑎=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑘}$ になって加速収縮に転じ、時刻 $𝑡=\frac{𝜋{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{𝑘}^{\frac{3}{2}}}$ に 𝑎 = 0 になって終わる宇宙である。 −𝜋 < 𝑢 < 0 の範囲が膨張期であり、 0 < 𝑢 < 𝜋 の範囲が収縮期である。文献によっては sin 𝑢 と cos 𝑢 の符号が負になっているものもあるが、位相 𝑢 が 𝜋 ずれている（それに伴って時間座標 𝑡 の原点もずれている）だけで実体は同じである。どちらかが間違っているわけではない。そのような文献は媒介変数 𝑢 と時刻 𝑡 とスケール因子 𝑎 が同時に 0 になるように媒介変数と積分定数を調整しているのである。

媒介変数を使わずに1個の式で表したければ、(53)式より $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑎& =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}(\cos 𝑢+1)& \text{←}\text{(53)式}\\ \hfill \frac{2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}& =& \cos 𝑢+1\\ \hfill \frac{2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}-1& =& \cos 𝑢\\ \hfill \frac{2𝑘𝑎-{𝐾}_{𝑚}}{{𝐾}_{𝑚}}& =& \cos 𝑢\\ \hfill \pm \arccos \frac{2𝑘𝑎-{𝐾}_{𝑚}}{{𝐾}_{𝑚}}& =& 𝑢& \text{(54)}\end{array}$$ $$\begin{array}{lll}\hfill \sin 𝑢& =& \pm \sqrt{1-{\cos }^2𝑢}\\ & =& \pm \sqrt{1-{(\frac{2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}-1)}^2}\\ & =& \pm \sqrt{-\frac{4{𝑘}^2{𝑎}^2}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+\frac{4𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}}\\ & =& \pm \frac{2\sqrt{𝑘}}{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎}& \text{(55)}\\ & & \text{（}\text{(54)式}\text{と}\text{(55)式}\text{は複号同順）}\end{array}$$ だから、これらを(52)式に代入すれば $$\begin{array}{lllll}\hfill 𝑡& =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{𝑘}^{\frac{3}{2}}}(\sin 𝑢+𝑢)& & \text{←}\text{(52)式}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{𝑘}^{\frac{3}{2}}}(\pm \frac{2\sqrt{𝑘}}{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎}\pm \arccos \frac{2𝑘𝑎-{𝐾}_{𝑚}}{{𝐾}_{𝑚}})& \text{（複号同順）}& \text{←}\text{(54)}\text{・}\text{(55)式}\text{を代入した。}\\ & =& \pm \frac{1}{𝑐\sqrt{𝑘}}(\sqrt{\frac{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎}{𝑘}}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\arccos \frac{2𝑘𝑎-{𝐾}_{𝑚}}{{𝐾}_{𝑚}})\end{array}$$ のように書くこともできる。複号の−が膨張期であり、複号の+が収縮期である。逆に 𝑎 を 𝑡 の初等関数で書くことはできないだろう。

【2‐2】 𝛬 = 0, 𝑘 < 0 のとき

$$\int \frac{\sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}-𝑘𝑎}}=\pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\text{←}\text{(47)式}$$ の左辺の被積分関数の分母の根号の中身は 𝑎 (≧ 0) の値にかかわらず正である。そこで新しい変数を 𝑢 として $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑎& =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-𝑘}{\sinh }^2\frac{𝑢}{2}& \text{(56)}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-𝑘}\cdot \frac{\cosh 𝑢-1}{2}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\cosh 𝑢-1)& \text{(57)}\end{array}$$ とおく。ただし 𝑢 は非負のものを選ぶこととする（したがって $\sinh \frac{𝑢}{2}\geqq 0$ ）。(56)式の両辺を微分すると $$\mathrm{d𝑎}=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-𝑘}\sinh \frac{𝑢}{2}\cosh \frac{𝑢}{2}\mathrm{d𝑢}\text{(58)}$$ であるから、これらを(47)式に代入すると $$\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{\sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}-𝑘𝑎}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(47)式}\\ \hfill \int \frac{\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-𝑘}{\sinh }^2\frac{𝑢}{2}}\cdot \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-𝑘}\sinh \frac{𝑢}{2}\cosh \frac{𝑢}{2}\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}+{𝐾}_{𝑚}{\sinh }^2\frac{𝑢}{2}}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(56)}\text{・}\text{(58)式}\text{を代入した。}\\ \hfill \int \frac{\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-𝑘}}\sinh \frac{𝑢}{2}\cdot \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-𝑘}\sinh \frac{𝑢}{2}\cosh \frac{𝑢}{2}\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{1+{\sinh }^2\frac{𝑢}{2}}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \int \frac{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-𝑘}\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-𝑘}}{\sinh }^2\frac{𝑢}{2}\cosh \frac{𝑢}{2}\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\cosh \frac{𝑢}{2}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-𝑘\sqrt{-𝑘}}\int {\sinh }^2\frac{𝑢}{2}\mathrm{d𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{{𝐾}_{𝑚}}{{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}\int \frac{\cosh 𝑢-1}{2}\mathrm{d𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{{𝐾}_{𝑚}}{{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}\cdot \frac{\sinh 𝑢-𝑢}{2}& =& \pm 𝑐𝑡& \text{（積分定数を0とした。）}\\ \hfill \pm \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\sinh 𝑢-𝑢)& =& 𝑡& \text{(59)}\end{array}$$ のようになる。(59)・(57)式が媒介変数表示による解である。ところでここまでは 𝑢 を非負に限っていたが、(57)式は 𝑢 を符号反転しても何も変わらず、(59)式は 𝑢 の符号反転は複号を逆にすることと等価である。ということは 𝑢 が負でもよいことにする代わりに(59)式の左辺の複号を取り払っても同じことである。したがって解の媒介変数表示は $$\begin{array}{l}\{\begin{array}{ll}𝑡=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\sinh 𝑢-𝑢)& \text{(60)}\\ 𝑎=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\cosh 𝑢-1)& \text{(61)}\end{array}\\ \text{（ただし}-\infty <𝑢<\infty \text{）}\end{array}$$ とすることができる。時間座標 𝑐𝑡 と曲率半径 $\frac{𝑎}{\sqrt{-𝑘}}$ の関係をグラフに描いた曲線は、サイクロイドの三角関数を双曲線関数に置き換えたようなものだが、この曲線に名前がついているかどうかは知らない。この解には物理的には2つの解が含まれている。 𝑢 ≧ 0 の部分は時刻 𝑡 = 0 に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、無限の未来に等速膨張になり 𝑎 → ∞ になる宇宙である。 𝑢 ≦ 0 の部分はその時間反転である。

媒介変数を使わずに1個の式で表したければ、(61)式より $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑎& =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\cosh 𝑢-1)& \text{←}\text{(61)式}\\ \hfill \frac{-2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}& =& \cosh 𝑢-1\\ \hfill \frac{-2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}+1& =& \cosh 𝑢\\ \hfill \frac{-2𝑘𝑎+{𝐾}_{𝑚}}{{𝐾}_{𝑚}}& =& \cosh 𝑢\\ \hfill \pm \mathrm{arcosh}\frac{-2𝑘𝑎+{𝐾}_{𝑚}}{{𝐾}_{𝑚}}& =& 𝑢& \text{(62)}\end{array}$$ $$\begin{array}{lll}\hfill \sinh 𝑢& =& \pm \sqrt{{\cosh }^2𝑢-1}\\ & =& \pm \sqrt{{(\frac{-2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}+1)}^2-1}\\ & =& \pm \sqrt{\frac{4{𝑘}^2{𝑎}^2}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+\frac{-4𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}}\\ & =& \pm \frac{2\sqrt{-𝑘}}{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎}& \text{(63)}\\ & & \text{（}\text{(62)式}\text{と}\text{(63)式}\text{は複号同順）}\end{array}$$ だから、これらを(60)式に代入すれば $$\begin{array}{lllll}\hfill 𝑡& =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\sinh 𝑢-𝑢)& & \text{←}\text{(60)式}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\pm \frac{2\sqrt{-𝑘}}{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎}\mp \mathrm{arcosh}\frac{-2𝑘𝑎+{𝐾}_{𝑚}}{{𝐾}_{𝑚}})& \text{（複号同順）}& \text{←}\text{(62)}\text{・}\text{(63)式}\text{を代入した。}\\ & =& \pm \frac{1}{𝑐\sqrt{-𝑘}}(\sqrt{\frac{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎}{-𝑘}}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\mathrm{arcosh}\frac{-2𝑘𝑎+{𝐾}_{𝑚}}{{𝐾}_{𝑚}})\end{array}$$ のように書くこともできる。複号が+の解は膨張宇宙、複号が−の解は収縮宇宙である。逆に 𝑎 を 𝑡 の初等関数で書くことはできないだろう。

【3‐1】 𝛬 < 0, 𝑘 = 0 のとき

$$\int \frac{\sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}+\frac{𝛬}{3}{𝑎}^3}}=\pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\text{←}\text{(64)式}$$ の左辺の被積分関数の分母の根号の中身は正でなければならないから、 𝑎 は $0\leqq \frac{-𝛬}{3}{𝑎}^3<{𝐾}_{𝑚}$ すなわち $0\leqq \sqrt{\frac{-𝛬}{3}}{𝑎}^{\frac{3}{2}}<\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}$ を満たす範囲を動くことができる。そこで新しい変数を 𝑢 として $$\sqrt{\frac{-𝛬}{3}}{𝑎}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\cos 𝑢\text{(65)}$$ とおく。ただし 𝑢 は $0<𝑢\leqq \frac{𝜋}{2}$ の範囲から選ぶこととする（したがって sin 𝑢 > 0）。すると $$\begin{array}{llll}\hfill {𝑎}^{\frac{3}{2}}& =& \sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\cos 𝑢& \text{(66)}\\ \hfill \frac{3}{2}\sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}& =& -\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sin 𝑢\mathrm{d𝑢}& \text{←両辺を微分した。}\\ \hfill \sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}& =& -\frac{2}{\sqrt{-3𝛬}}\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sin 𝑢\mathrm{d𝑢}& \text{(67)}\end{array}$$ であるから、これらを(64)式に代入すると $$\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{\sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}+\frac{𝛬}{3}{𝑎}^3}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(64)式}\\ \hfill \int \frac{-\frac{2}{\sqrt{-3𝛬}}\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sin 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}-{𝐾}_{𝑚}{\cos }^2𝑢}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(65)}\text{・}\text{(67)式}\text{を代入した。}\\ \hfill -\frac{2}{\sqrt{-3𝛬}}\int \frac{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sin 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{1-{\cos }^2𝑢}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill -\frac{2}{\sqrt{-3𝛬}}\int \frac{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sin 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sin 𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill -\frac{2}{\sqrt{-3𝛬}}\int \mathrm{d𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill -\frac{2}{\sqrt{-3𝛬}}𝑢& =& \pm 𝑐𝑡& \text{（積分定数を0とした。）}\\ \hfill 𝑢& =& \mp \frac{1}{2}\sqrt{-3𝛬}𝑐𝑡& \text{(68)}\end{array}$$ のようになる。(65)式で 𝑢 の符号は正に限られていたので、(68)式の右辺の複号は 𝑡 < 0 のときは−を、 𝑡 > 0 のときは+を採用するべきである。(68)式を(66)式に代入すれば $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑎}^{\frac{3}{2}}& =& \sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\cos (\mp \frac{1}{2}\sqrt{-3𝛬}𝑐𝑡)\\ \hfill 𝑎& =& \sqrt[3]{\frac{3{𝐾}_{𝑚}}{-𝛬}}{\cos }^{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{2}\sqrt{-3𝛬}𝑐𝑡\right)& \text{(69)}\end{array}$$ となる。 𝑢 = 0 すなわち 𝑡 = 0 のときに(65)式を使うと(64)式の左辺の被積分関数の分母が0になってしまうので除外して考えてきたが、(44)式までさかのぼってみると 0 = 0 となってちゃんと成り立っている。よって 𝑡 = 0 のときも(69)式は解である。これは時刻 $𝑡=-\frac{𝜋}{𝑐\sqrt{-3𝛬}}$ に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、時刻 𝑡 = 0 に最大値 $𝑎=\sqrt[3]{\frac{3{𝐾}_{𝑚}}{-𝛬}}$ になって加速収縮に転じ、時刻 $𝑡=\frac{𝜋}{𝑐\sqrt{-3𝛬}}$ に 𝑎 = 0 になって終わる宇宙である。

【3‐2】 𝛬 > 0, 𝑘 = 0 のとき

$$\int \frac{\sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}+\frac{𝛬}{3}{𝑎}^3}}=\pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\text{←}\text{(64)式}$$ の左辺の被積分関数の分母の根号の中身は 𝑎 (≧ 0) の値にかかわらず正である。そこで新しい変数を 𝑢 として $$\sqrt{\frac{𝛬}{3}}{𝑎}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sinh 𝑢\text{(70)}$$ とおく。すると $$\begin{array}{llll}\hfill {𝑎}^{\frac{3}{2}}& =& \sqrt{\frac{3}{𝛬}}\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sinh 𝑢& \text{(71)}\\ \hfill \frac{3}{2}\sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}& =& \sqrt{\frac{3}{𝛬}}\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\cosh 𝑢\mathrm{d𝑢}& \text{←両辺を微分した。}\\ \hfill \sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}& =& \frac{2}{\sqrt{3𝛬}}\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\cosh 𝑢\mathrm{d𝑢}& \text{(72)}\end{array}$$ であるから、これらを(64)式に代入すると $$\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{\sqrt{𝑎}\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}+\frac{𝛬}{3}{𝑎}^3}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(64)式}\\ \hfill \int \frac{\frac{2}{\sqrt{3𝛬}}\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\cosh 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}+{𝐾}_{𝑚}{\sinh }^2𝑢}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(70)}\text{・}\text{(72)式}\text{を代入した。}\\ \hfill \frac{2}{\sqrt{3𝛬}}\int \frac{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\cosh 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{1+{\sinh }^2𝑢}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{2}{\sqrt{3𝛬}}\int \frac{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\cosh 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\cosh 𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{2}{\sqrt{3𝛬}}\int \mathrm{d𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{2}{\sqrt{3𝛬}}𝑢& =& \pm 𝑐𝑡& \text{（積分定数を0とした。）}\\ \hfill 𝑢& =& \pm \frac{1}{2}\sqrt{3𝛬}𝑐𝑡& \text{(73)}\end{array}$$ のようになる。(73)式を(71)式に代入すれば $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑎}^{\frac{3}{2}}& =& \sqrt{\frac{3}{𝛬}}\sqrt{{𝐾}_{𝑚}}\sinh (\pm \frac{1}{2}\sqrt{3𝛬}𝑐𝑡)\\ \hfill 𝑎& =& \sqrt[3]{\frac{3{𝐾}_{𝑚}}{𝛬}}{\sinh }^{\frac{2}{3}}(\pm \frac{1}{2}\sqrt{3𝛬}𝑐𝑡)\end{array}$$ となる。複号が+の解は、時刻 𝑡 = 0 に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、時刻 $𝑡=\frac{2}{𝑐\sqrt{3𝛬}}\mathrm{arsinh}\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{𝑐\sqrt{3𝛬}}\ln \frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ に $𝑎=\sqrt[3]{\frac{3{𝐾}_{𝑚}}{2𝛬}}$ になって加速膨張に転じ、無限の未来に 𝑎 → ∞ になる宇宙である。複号が−の解はその時間反転である。