第4章 解の定性的な分類

第2章・第3章でいろいろな条件の下でフリードマン方程式の解を求めてきた。多くの異なる解が現れたが、それらの細かい違いは無視して大まかな定性的な特徴を考えてみよう。ここで言う定性的な特徴とは、具体的には 𝑎 がとりうる範囲と $\dot{𝑎}$ および $\ddot{𝑎}$ の符号のことである。

第3章で考えたフリードマン方程式は $$\begin{array}{llll}\hfill \text{3.1節}& \frac{{\dot{𝑎}}^2}{{𝑎}^2}=\frac{{𝐾}_{𝑟}}{{𝑎}^4}-\frac{𝑘}{{𝑎}^2}+\frac{𝛬}{3}& ({𝐾}_{𝑟}>0)& \text{←}\text{(13)式}\\ \hfill \text{3.2節}& \frac{{\dot{𝑎}}^2}{{𝑎}^2}=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{{𝑎}^3}-\frac{𝑘}{{𝑎}^2}+\frac{𝛬}{3}& ({𝐾}_{𝑚}>0)& \text{←}\text{(42)式}\\ \hfill \text{3.3節}& \frac{{\dot{𝑎}}^2}{{𝑎}^2}=\frac{{𝐾}_{𝑟}}{{𝑎}^4}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{{𝑎}^3}-\frac{𝑘}{{𝑎}^2}+\frac{𝛬}{3}& ({𝐾}_{𝑟}>0,{𝐾}_{𝑚}>0)& \text{←}\text{(100)式}\end{array}$$ であった。3種類の式があるが、(100)式で仮に 𝐾_𝑚 = 0 とすれば(13)式と同じになるし、 𝐾_𝑟 = 0 とすれば(42)式と同じになる。だから(100)式で 𝐾_𝑚 か 𝐾_𝑟 が0でもよいことにしておけば(100)式だけを考えれば済むので、ここからはそのようにしよう。ただし 𝐾_𝑚 と 𝐾_𝑟 の両方が同時に0である場合は考えないこととする（それは別の記事「真空の宇宙に対するフリードマン方程式を解く」と同じ状況であるからそっちを見てほしい）。

ここでは(100)式が初等的に積分できる場合も含めて、改めて解の特徴を記述する。やることは3.3節の【5】の焼き直しであるから、説明は簡単に済ませることにする。(100)式より、 $${\dot{𝑎}}^2=\frac{{𝐾}_{𝑟}}{{𝑎}^2}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑎}-𝑘+\frac{𝛬}{3}{𝑎}^2\text{(223)}$$ である。ここで $$𝑓\left(𝑎\right)=\frac{{𝐾}_{𝑟}}{{𝑎}^2}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{𝑎}+\frac{𝛬}{3}{𝑎}^2$$ と置くと(223)式は $${\dot{𝑎}}^2=𝑓\left(𝑎\right)-𝑘\text{(224)}$$ となる。(224)式の左辺は2乗だから0以上なので、右辺も0以上でなければならない。したがって 𝑎 は 𝑓(𝑎) ≧ 𝑘 を満たす範囲のみを動くことができる。

𝛬 の符号に応じて、 𝑎 と 𝑓(𝑎) の関係は図6のようになる。

図6は 𝐾_𝑚 と 𝐾_𝑟 のうちどちらか一方が0でも定性的な性質は変わらない。これに基づき、解は 𝛬 と 𝑘 の値に従って次のように分類される。

𝛬 > 0 のときに③〜⑤の境界となる 𝑘 = 𝑓(𝑎_𝐿) という条件の具体的な表式は、「𝑘 = …」という形で書くのは面倒だから「𝛬 = …」という形で書けば $$𝛬=\frac{24{𝑘}^3(4{𝐾}_{𝑟}𝑘+{{𝐾}_{𝑚}}^2)}{128{{𝐾}_{𝑟}}^2{𝑘}^2+144{𝐾}_{𝑟}{{𝐾}_{𝑚}}^2𝑘+27{{𝐾}_{𝑚}}^4+{𝐾}_{𝑚}{(32{𝐾}_{𝑟}𝑘+9{{𝐾}_{𝑚}}^2)}^{\frac{3}{2}}},𝑘>0\text{(225)}$$ である。分母に無理式があるのが気に入らないかもしれないが、分母を有理化すると 𝐾_𝑟 = 0 のときに分子も分母も0になってしまい別扱いを要するから、それを避けるために意図的にこうしているのである。 𝛬 > 0, 𝑘 > 0 のとき、 𝛬 が(225)式より小さければ③、大きければ⑤である。 𝛬 > 0 , 𝑘 ≦ 0 のときはいつでも⑤である。(225)式は 𝐾_𝑚 = 0 ならば(31)式の 𝑘 > 0 の範囲と同じであり、 𝐾_𝑟 = 0 ならば(74)式の 𝑘 > 0 の範囲と同じであり、 𝐾_𝑟 も 𝐾_𝑚 も正ならば(161)式で複号を−にした式の 𝑘 > 0 の範囲（図3のピンク色の曲線）と同じである。

①〜⑤のすべての解の概略図を図7に示す。

𝛬 が負ならば1種類の解しかない。 𝛬 が正ならば多様な解の可能性が生まれる。④以外の解は過去や未来を見ると、有限の時刻に 𝑎 = 0 となって解の端に達するか無限の過去・未来に 𝑎 → ∞ に発散するかのどちらかである。無限に過去や未来に行っても 𝑎 が0にならず発散もしない場合があるのは④だけである。だが④の解は、 𝑘 = 𝑓(𝑎_𝐿) すなわち(225)式がぴったり成り立っていなければならないから、実現するのは難しそうだ。第2章・第3章の各節で求めた解がこの分類どおりになっていることは読者自ら確認されたい。

今回は状態方程式として、普通の物質と光（放射）のものを用いた。その場合に出てくるフリードマン方程式の解はこれですべてである。比較的おとなしい解ばかりだ。 𝑎 が正の値を保ったまま膨張と収縮を交互に繰り返すような解とか、有限の時刻に 𝑎 → ∞ に発散してしまうような激しい解は出てこなかった。もっと奇妙な性質をもつ別の状態方程式を採用すれば異なる解が出てくる可能性はある。

これらの解の中で、現実のこの宇宙に当てはまる解がどれなのか（あるいはどれも当てはまらないのか）は、観測した結果と比較して決められることになる。

索引

光や物質で満たされた宇宙に対するフリードマン方程式 $$\frac{{\dot{𝑎}}^2}{{𝑎}^2}=\frac{{𝐾}_{𝑟}}{{𝑎}^4}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{{𝑎}^3}-\frac{𝑘}{{𝑎}^2}+\frac{𝛬}{3}({𝐾}_{𝑟}\geqq 0,{𝐾}_{𝑚}\geqq 0)$$ に対して様々な条件を付けた場合の解の導出をどこに書いたかわかるように索引として表1にまとめておく。

表1の▲印がついたマスの数だけを見ると、多くの場合は初等的に積分ができるのだと錯覚しそうになるが、上や左の見出しをよく見ると▲印がついていないマスはどれも特殊な条件が課されていることがわかる。残念ながら一般にはたいていの場合は初等的に積分できない。