不思議な積分

突然だが、次のような複素関数の不定積分がある。 $$\int \frac{𝑧\mathrm{d𝑧}}{\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}=\frac{1}{5}\log \{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}\}+𝐶\text{（}𝐶\text{は積分定数）}\text{(198)}$$ ここで log は e を底とする複素数の対数関数であり、一般に多価関数である。また、√も1価でなく複素数の2価関数であるが、両辺にある同一の√は同じ値を取ることとする。いきなりこんな式を見せられてもすぐには信じられないかもしれないが、これを確認するのは簡単である。(198)式の右辺を微分すれば $$\begin{array}{ll}& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝑧}}\left[\frac{1}{5}\log \{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}\}+𝐶\right]\\ =& \frac{1}{5}\cdot \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝑧}}\{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}\}}{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}\\ =& \frac{1}{5}\cdot \frac{5{𝑧}^4+15{𝑧}^2-20𝑧+(3{𝑧}^2+3)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}+({𝑧}^3+3𝑧-4)\frac{4{𝑧}^3+8𝑧-12}{2\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}}{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}\\ =& \frac{1}{5}\cdot \frac{5{𝑧}^4+15{𝑧}^2-20𝑧+\frac{(3{𝑧}^2+3)({𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8)+({𝑧}^3+3𝑧-4)(2{𝑧}^3+4𝑧-6)}{\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}}{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}\\ =& \frac{1}{5}\cdot \frac{5{𝑧}^4+15{𝑧}^2-20𝑧+\frac{5{𝑧}^6+25{𝑧}^4-50{𝑧}^3-70𝑧}{\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}}{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}\\ =& \frac{1}{5}\cdot \frac{5𝑧({𝑧}^3+3𝑧-4+\frac{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14}{\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}})}{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}\\ =& \frac{1}{5}\cdot \frac{5𝑧\cdot \frac{({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}+{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14}{\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}}{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}\\ =& \frac{𝑧}{\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}}\end{array}$$ となるから確かに成り立っていることがわかる。このように(198)式が成り立つこと自体はそれほど不思議ではない。だが、(198)式の左辺の被積分関数に着目したときに、なぜ分母の根号内の4次式がこれのときだけこんな積分できるのかと聞かれても、私にはよくわからないので、計算するとそうなっているからとしか答えられない。例えば定数項の−8が−7になったらもう初等的に積分できないはずだ（たぶん）。そういう意味では不思議な感じがする。なお補足しておくと、(198)式の 𝑧 を定数倍するような変数変換をしてできる式は当然成り立っている。たとえば(198)式の 𝑧 を $-\frac{1}{10}𝑧$ に置き換えると左辺は $\int \frac{𝑧\mathrm{d𝑧}}{\sqrt{{𝑧}^4+400{𝑧}^2+12000𝑧-80000}}$ になり、右辺に対しても同じ置き換えをすれば不定積分が求まるから、そのようにして作られる4次式の場合なら同様に積分できる。

さて、(198)式の被積分関数は分子が 𝑧 であり分母は根号の中が4次式でその3次の項は0である。いかにも(103)式の積分（の特別な場合）に応用できそうな形をしている。だがよく見ると定数項が負になっているから、そのままでは(103)式に当てはめることはできない。そこで(198)式は複素関数であったことを思い出そう。√自体もその中の式も複素数であるから $\sqrt{{𝑧}^4+4{𝑧}^2-12𝑧-8}=\mathrm{i}\sqrt{-{𝑧}^4-4{𝑧}^2+12𝑧+8}$ （i は虚数単位）と書くことができる。これを(198)式に代入した上でさらに変形すると $$\begin{array}{lll}\hfill \int \frac{𝑧\mathrm{d𝑧}}{\mathrm{i}\sqrt{-{𝑧}^4-4{𝑧}^2+12𝑧+8}}& =& \frac{1}{5}\log \{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+\mathrm{i}({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{-{𝑧}^4-4{𝑧}^2+12𝑧+8}\}+𝐶\\ \hfill \int \frac{𝑧\mathrm{d𝑧}}{\sqrt{-{𝑧}^4-4{𝑧}^2+12𝑧+8}}& =& \frac{\mathrm{i}}{5}\log \{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+\mathrm{i}({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{-{𝑧}^4-4{𝑧}^2+12𝑧+8}\}+\mathrm{i}𝐶\\ & =& \frac{\mathrm{i}}{5}[\ln |{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+\mathrm{i}({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{-{𝑧}^4-4{𝑧}^2+12𝑧+8}|\\ & & +\mathrm{i}\cdot \arg \{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+\mathrm{i}({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{-{𝑧}^4-4{𝑧}^2+12𝑧+8}\}]+\mathrm{i}𝐶\\ & =& \frac{\mathrm{i}}{5}\ln |{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+\mathrm{i}({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{-{𝑧}^4-4{𝑧}^2+12𝑧+8}|\\ & & -\frac{1}{5}\arg \{{𝑧}^5+5{𝑧}^3-10{𝑧}^2-14+\mathrm{i}({𝑧}^3+3𝑧-4)\sqrt{-{𝑧}^4-4{𝑧}^2+12𝑧+8}\}+\mathrm{i}𝐶& \text{(199)}\end{array}$$ となる。ここで arg は偏角であり、一般に多価関数である。また、 ln は実数の対数関数（普通の自然対数で1価関数）であり、複素数の多価関数の log と区別してある。 log と ln をこのような意味で使い分けることが一般的かどうか知らないが、私が持っている複素関数論の教科書（犬井鉄郎・石津武彦 「複素函数論」 東京大学出版会 (1966)）ではそうなっているので、この記事もそれにならうことにする。

(199)式は複素関数だが、今は実関数が欲しいので、ここからは変数の取りうる範囲を実数に限定し、さらに両辺の√の中が正になる範囲のみに制限しよう。ここまで変数は複素数であるという気持ちを込めて 𝑧 という文字を使ってきたが、ここからは実数だから 𝑥 を使うことにする（これは単に気分の問題である）。√の中の式は $$-{𝑥}^4-4{𝑥}^2+12𝑥+8=-(𝑥-2)({𝑥}^3+2{𝑥}^2+8𝑥+4)$$ のように因数分解できるからこれが正になるような 𝑥 の変域は $$\frac{4\sqrt{5}}{3}\sinh \left(\frac{1}{6}\mathrm{arcosh}\frac{41}{40}\right)-\frac{2}{3}<𝑥<2\text{(200)}$$ である。(199)式の 𝑧 をただ 𝑥 に置き換えただけの式を書くと $$\begin{array}{lll}\hfill \int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{-{𝑥}^4-4{𝑥}^2+12𝑥+8}}& =& \frac{\mathrm{i}}{5}\ln |{𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14+\mathrm{i}({𝑥}^3+3𝑥-4)\sqrt{-{𝑥}^4-4{𝑥}^2+12𝑥+8}|\\ & & -\frac{1}{5}\arg \{{𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14+\mathrm{i}({𝑥}^3+3𝑥-4)\sqrt{-{𝑥}^4-4{𝑥}^2+12𝑥+8}\}+\mathrm{i}𝐶& \text{(201)}\end{array}$$ である。(198)式の下で√は複素数の2価関数だと言ったが、ここからは√は非負の実数の1価関数と考えてもらってよい。そうすると本来なら(201)式の両辺の√の前の符号を負にした場合も考慮すべきだが、今の場合はどちらも最終的に同じ結果になるので正の方だけ書くことにする。ここで 𝑥 は実数であり√の中は正の実数だから(201)式の右辺第1項の ln は $$\begin{array}{ll}& \ln |{𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14+\mathrm{i}({𝑥}^3+3𝑥-4)\sqrt{-{𝑥}^4-4{𝑥}^2+12𝑥+8}|\\ =& \ln \sqrt{{({𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14)}^2+{({𝑥}^3+3𝑥-4)}^2(-{𝑥}^4-4{𝑥}^2+12𝑥+8)}\\ =& \ln \sqrt{\mathrm{}{𝑥}^{10}+10{𝑥}^8-20{𝑥}^7+25{𝑥}^6-128{𝑥}^5+100{𝑥}^4-140{𝑥}^3+280{𝑥}^2+196-{𝑥}^{10}-10{𝑥}^8+20{𝑥}^7-25{𝑥}^6+128{𝑥}^5-100{𝑥}^4+140{𝑥}^3-280{𝑥}^2+128}\\ =& \ln \sqrt{324}\\ =& \ln 18\end{array}$$ となって定数になる。(201)式の右辺第2項の arg は逆三角関数を使って例えば $$\begin{array}{lll}\hfill \arg \{{𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14+\mathrm{i}({𝑥}^3+3𝑥-4)\sqrt{-{𝑥}^4-4{𝑥}^2+12𝑥+8}\}& =& \{\begin{array}{ll}2𝜋-\arccos \frac{{𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14}{18}& \hfill (\frac{4\sqrt{5}}{3}\sinh \left(\frac{1}{6}\mathrm{arcosh}\frac{41}{40}\right)-\frac{2}{3}<𝑥\leqq 1)\hfill \\ \arccos \frac{{𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14}{18}& \hfill (1\leqq 𝑥<2)\hfill \end{array}\end{array}$$ のように書ける。 arcsin や arctan を使って書くこともできるが、ここでは arccos を使うと便利だからそのようにした。 𝑥 = 1 を境に場合分けが生じる理由は、 arg の中身の虚部の符号がそこを境に変わるからだ。 arg は多価関数であったが、今考えている 𝑥 の変域では「ぐるっと回って元の 𝑥 に戻ってきたら arg の値が 2𝜋 ずれていた」なんてことは起こらないので多価性は気にしなくても（積分定数に押し付けておけば）よい。これらより、(201)式の不定積分は右辺第1項と第3項を足した定数を 𝐷 とでも置けば $$\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{-{𝑥}^4-4{𝑥}^2+12𝑥+8}}& =& \{\begin{array}{ll}-\frac{1}{5}(2𝜋-\arccos \frac{{𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14}{18})+𝐷& \hfill (\frac{4\sqrt{5}}{3}\sinh \left(\frac{1}{6}\mathrm{arcosh}\frac{41}{40}\right)-\frac{2}{3}<𝑥\leqq 1)\hfill \\ -\frac{1}{5}\arccos \frac{{𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14}{18}+𝐷& \hfill (1\leqq 𝑥<2)\hfill \end{array}& \text{（}𝐷\text{は積分定数）}\text{(202)}\end{array}$$ と書ける。1行目の 𝐷 と2行目の 𝐷 は共通であるから、1行目の括弧内第1項の 2𝜋 を定数だからと言って消してはいけない（消したら 𝑥 = 1 において不連続になってしまう）。これで虚数が出てこない実関数の不定積分になった。ここまで長々と話してきたが、要は変数の変域が(200)式のとき(198)式の虚部が(202)式になるというだけの話である。

フリードマン方程式への応用

(202)式を(103)式の積分（の特別な場合）に応用してみよう。それができるのは $$\begin{array}{l}𝛬=-\frac{2{{𝐾}_{𝑚}}^4}{27{{𝐾}_{𝑟}}^3}\\ 𝑘=\frac{2{{𝐾}_{𝑚}}^2}{9{𝐾}_{𝑟}}\end{array}$$ という関係が成り立っているときである。このとき(103)式は $$\pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}=\int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+{𝐾}_{𝑚}𝑎-\frac{2{{𝐾}_{𝑚}}^2}{9{𝐾}_{𝑟}}{𝑎}^2-\frac{2{{𝐾}_{𝑚}}^4}{81{{𝐾}_{𝑟}}^3}{𝑎}^4}}\text{(203)}$$ となる（都合により両辺を入れ替えてある）。ここで新しい変数を 𝑥 として $𝑎=\frac{3{𝐾}_{𝑟}}{2{𝐾}_{𝑚}}𝑥$ と置く。すると $\mathrm{d𝑎}=\frac{3{𝐾}_{𝑟}}{2{𝐾}_{𝑚}}\mathrm{d𝑥}$ であるからこれらを代入すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& =& \int \frac{\frac{3{𝐾}_{𝑟}}{2{𝐾}_{𝑚}}𝑥\cdot \frac{3{𝐾}_{𝑟}}{2{𝐾}_{𝑚}}\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{3{𝐾}_{𝑟}}{2}𝑥-\frac{{𝐾}_{𝑟}}{2}{𝑥}^2-\frac{{𝐾}_{𝑟}}{8}{𝑥}^4}}\\ & =& \int \frac{\frac{9{{𝐾}_{𝑟}}^2}{4{{𝐾}_{𝑚}}^2}𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑟}}{8}}\sqrt{8+12𝑥-4{𝑥}^2-{𝑥}^4}}\\ & =& \sqrt{\frac{81{{𝐾}_{𝑟}}^3}{2{{𝐾}_{𝑚}}^4}}\int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{8+12𝑥-4{𝑥}^2-{𝑥}^4}}\\ & =& \sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{-{𝑥}^4-4{𝑥}^2+12𝑥+8}}\end{array}$$ となって、(202)式の左辺と同じものが現れた。よってこれを積分すれば $$\begin{array}{llll}\hfill \pm 𝑐𝑡& =& \{\begin{array}{ll}-\frac{1}{5}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}(2𝜋-\arccos \frac{{𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14}{18})& \hfill (\frac{4\sqrt{5}}{3}\sinh \left(\frac{1}{6}\mathrm{arcosh}\frac{41}{40}\right)-\frac{2}{3}<𝑥\leqq 1)\hfill \\ -\frac{1}{5}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\arccos \frac{{𝑥}^5+5{𝑥}^3-10{𝑥}^2-14}{18}& \hfill (1\leqq 𝑥<2)\hfill \end{array}& \text{（積分定数を0とした。）}\end{array}$$ となる。 𝑥 を元に戻せば $$\begin{array}{llll}\hfill \pm 𝑐𝑡& =& \{\begin{array}{ll}-\frac{1}{5}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}[2𝜋-\arccos \left\{\frac{1}{9}\right(\frac{16{{𝐾}_{𝑚}}^5}{243{{𝐾}_{𝑟}}^5}{𝑎}^5+\frac{20{{𝐾}_{𝑚}}^3}{27{{𝐾}_{𝑟}}^3}{𝑎}^3-\frac{20{{𝐾}_{𝑚}}^2}{9{{𝐾}_{𝑟}}^2}{𝑎}^2-7\left)\right\}]& \hfill (\left\{2\sqrt{5}\sinh \right(\frac{1}{6}\mathrm{arcosh}\frac{41}{40})-1\}\frac{{𝐾}_{𝑟}}{{𝐾}_{𝑚}}<𝑎\leqq \frac{3{𝐾}_{𝑟}}{2{𝐾}_{𝑚}})\hfill \\ -\frac{1}{5}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\arccos \left\{\frac{1}{9}\right(\frac{16{{𝐾}_{𝑚}}^5}{243{{𝐾}_{𝑟}}^5}{𝑎}^5+\frac{20{{𝐾}_{𝑚}}^3}{27{{𝐾}_{𝑟}}^3}{𝑎}^3-\frac{20{{𝐾}_{𝑚}}^2}{9{{𝐾}_{𝑟}}^2}{𝑎}^2-7\left)\right\}& \hfill (\frac{3{𝐾}_{𝑟}}{2{𝐾}_{𝑚}}\leqq 𝑎\leqq \frac{3{𝐾}_{𝑟}}{{𝐾}_{𝑚}})\hfill \end{array}& \text{(204)}\end{array}$$ のようになって解が求まる。 𝑥 = 2 すなわち $𝑎=\frac{3{𝐾}_{𝑟}}{{𝐾}_{𝑚}}$ のときには(203)式の右辺の被積分関数の分母が0になってしまうので除外して考えてきたが、(102)式までさかのぼってみるとそのときも 0 = 0 となってちゃんと成り立っている。よって $𝑎=\frac{3{𝐾}_{𝑟}}{{𝐾}_{𝑚}}$ のときも(204)式は解である（2行目の変域にすでに入れてある）。(204)式のうち $\left\{2\sqrt{5}\sinh \right(\frac{1}{6}\mathrm{arcosh}\frac{41}{40})-1\}\frac{{𝐾}_{𝑟}}{{𝐾}_{𝑚}}<𝑎<0$ の部分は物理的に無意味である。 $0\leqq 𝑎\leqq \frac{3{𝐾}_{𝑟}}{{𝐾}_{𝑚}}$ の部分は時刻 $𝑡=-\frac{1}{5𝑐}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}(𝜋+\arccos \frac{7}{9})$ に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、時刻 𝑡 = 0 に最大値 $𝑎=\frac{3{𝐾}_{𝑟}}{{𝐾}_{𝑚}}$ になって加速収縮に転じ、時刻 $𝑡=\frac{1}{5𝑐}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}(𝜋+\arccos \frac{7}{9})$ に 𝑎 = 0 になって終わる宇宙である。複号の+が膨張期であり、複号の−が収縮期である。

(204)式の両辺を $-5\sqrt{\frac{-𝛬}{3}}$ 倍して cos を取れば $$\cos \left(5\sqrt{\frac{-𝛬}{3}}𝑐𝑡\right)=\frac{1}{9}(\frac{16{{𝐾}_{𝑚}}^5}{243{{𝐾}_{𝑟}}^5}{𝑎}^5+\frac{20{{𝐾}_{𝑚}}^3}{27{{𝐾}_{𝑟}}^3}{𝑎}^3-\frac{20{{𝐾}_{𝑚}}^2}{9{{𝐾}_{𝑟}}^2}{𝑎}^2-7)$$ となってだいぶ見やすくなる。 $\frac{𝛬}{𝑘}=-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{3{{𝐾}_{𝑟}}^2}$ より $𝑥=\frac{2{𝐾}_{𝑚}}{3{𝐾}_{𝑟}}𝑎=2\sqrt{\frac{-𝛬}{3𝑘}}𝑎$ だから $$\cos \left(5\sqrt{\frac{-𝛬}{3}}𝑐𝑡\right)=\frac{1}{9}(\frac{16{𝛬}^2}{9{𝑘}^2}\sqrt{\frac{-𝛬}{3𝑘}}{𝑎}^5-\frac{20𝛬}{3𝑘}\sqrt{\frac{-𝛬}{3𝑘}}{𝑎}^3+\frac{20𝛬}{3𝑘}{𝑎}^2-7)$$ と書くこともできる。この式が表す曲線は周期的に 𝑎 の符号を変えながら 𝑡 → −∞ から 𝑡 → ∞ まで無限に続く。その中から一続きの 𝑎 ≧ 0 の部分だけを取り出したものが物理的な解である。

同様の例

同様の例として、次のような複素関数の不定積分がある。 $$\begin{array}{lll}\hfill \int \frac{𝑧\mathrm{d𝑧}}{\sqrt{{𝑧}^4+10{𝑧}^2-96𝑧-71}}& =& \frac{1}{8}\log \{{𝑧}^8+20{𝑧}^6-128{𝑧}^5+54{𝑧}^4-1408{𝑧}^3+3124{𝑧}^2+10001\\ & & +({𝑧}^6+15{𝑧}^4-80{𝑧}^3+27{𝑧}^2-528𝑧+781)\sqrt{{𝑧}^4+10{𝑧}^2-96𝑧-71}\}+𝐶& & \text{（}𝐶\text{は積分定数）}\text{(205)}\end{array}$$ この積分は2024年2月現在、Wikipedia 英語版の “Risch algorithm” というページに載っている例と同じである（日本語版の「リッシュのアルゴリズム」のページには載っていない）。リンク先にある式と(205)式を比べると2か所で符号が異なっているので同じ式に見えないかもしれないが同じである。リンク先の式の対数の外のマイナスを中に放り込んで（つまり対数の中を逆数にして）分母を有理化して定数を対数の外に出すと、積分定数分の違いを除いて同じ式であることがわかる。あるいは別の考え方として、√は複素数の2価関数だったから両辺の√の前の符号をマイナスに変えても式の意味は同じであり、そうしてから対数の中の−1を外に出すことでも同じ式であることがわかる。

(198)式のときと同じように、(205)式の根号の中を符号反転した実関数を求めたい。 𝑥 を実変数として、符号反転した根号の中の式は $$-{𝑥}^4-10{𝑥}^2+96𝑥+71=-({𝑥}^2-2\sqrt{3}𝑥+11-8\sqrt{3})({𝑥}^2+2\sqrt{3}𝑥+11+8\sqrt{3})$$ のように因数分解できるからこれが正になるような 𝑥 の変域は $$\sqrt{3}-2\sqrt{-2+2\sqrt{3}}<𝑥<\sqrt{3}+2\sqrt{-2+2\sqrt{3}}$$ である。この範囲内で(205)式の虚部は $$\begin{array}{l}\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{-{𝑥}^4-10{𝑥}^2+96𝑥+71}}& =& \{\begin{array}{ll}-\frac{1}{8}(2𝜋+\arccos \frac{{𝑥}^8+20{𝑥}^6-128{𝑥}^5+54{𝑥}^4-1408{𝑥}^3+3124{𝑥}^2+10001}{6912\sqrt{3}})+𝐷& ({𝑋}_0<𝑥\leqq {𝑋}_1)\\ -\frac{1}{8}(2𝜋-\arccos \frac{{𝑥}^8+20{𝑥}^6-128{𝑥}^5+54{𝑥}^4-1408{𝑥}^3+3124{𝑥}^2+10001}{6912\sqrt{3}})+𝐷& ({𝑋}_1\leqq 𝑥\leqq {𝑋}_2)\\ -\frac{1}{8}\arccos \frac{{𝑥}^8+20{𝑥}^6-128{𝑥}^5+54{𝑥}^4-1408{𝑥}^3+3124{𝑥}^2+10001}{6912\sqrt{3}}+𝐷& ({𝑋}_2\leqq 𝑥<{𝑋}_3)\end{array}& \text{(206)}\end{array}\\ \begin{array}{ll}\text{ただし}& 𝐷\text{は積分定数}\\ & {𝑋}_0=\sqrt{3}-2\sqrt{-2+2\sqrt{3}}\\ & {𝑋}_1=2\sqrt{2}(1+\frac{1}{\sqrt{3}})\sinh \left(\frac{1}{3}\mathrm{arsinh}\frac{49-27\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)-\frac{1}{\sqrt{3}}=2(\sqrt[3]{2+\frac{1}{3\sqrt{3}}+\sqrt{5+\sqrt{3}}}-\sqrt[3]{-2-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\sqrt{5+\sqrt{3}}})-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ & {𝑋}_2=2\sqrt{2}(1-\frac{1}{\sqrt{3}})\sinh \left(\frac{1}{3}\mathrm{arsinh}\frac{49+27\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)+\frac{1}{\sqrt{3}}=2(\sqrt[3]{2-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\sqrt{5-\sqrt{3}}}-\sqrt[3]{-2+\frac{1}{3\sqrt{3}}+\sqrt{5-\sqrt{3}}})+\frac{1}{\sqrt{3}}\\ & {𝑋}_3=\sqrt{3}+2\sqrt{-2+2\sqrt{3}}\end{array}\end{array}$$ のようになる。なお 𝑋_₀ < 0 < 𝑋_₁ < 𝑋_₂ < 𝑋_₃ である。 𝑥 = 𝑋_₀ , 𝑋_₁ , 𝑋_₃ のとき arccos の中身は1であり、 𝑥 = 𝑋_₂ のとき arccos の中身は−1である。

これを(103)式の積分（の特別な場合）に応用してみよう。それができるのは $$\begin{array}{l}𝛬=-\frac{357911{{𝐾}_{𝑚}}^4}{28311552{{𝐾}_{𝑟}}^3}(=-\frac{{71}^3{{𝐾}_{𝑚}}^4}{2^{20}\cdot 3^3{{𝐾}_{𝑟}}^3})\\ 𝑘=\frac{355{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4608{𝐾}_{𝑟}}(=\frac{5\cdot 71{{𝐾}_{𝑚}}^2}{2^9\cdot 3^2{𝐾}_{𝑟}})\end{array}$$ という関係が成り立っているときである。このとき(103)式は $$\pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}=\int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+{𝐾}_{𝑚}𝑎-\frac{355{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4608{𝐾}_{𝑟}}{𝑎}^2-\frac{357911{{𝐾}_{𝑚}}^4}{84934656{{𝐾}_{𝑟}}^3}{𝑎}^4}}\text{(207)}$$ となる（都合により両辺を入れ替えてある）。ここで新しい変数を 𝑥 として $𝑎=\frac{96{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}𝑥$ と置く。すると $\mathrm{d𝑎}=\frac{96{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}\mathrm{d𝑥}$ であるからこれらを代入すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& =& \int \frac{\frac{96{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}𝑥\cdot \frac{96{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{96{𝐾}_{𝑟}}{71}𝑥-\frac{10{𝐾}_{𝑟}}{71}{𝑥}^2-\frac{{𝐾}_{𝑟}}{71}{𝑥}^4}}\\ & =& \int \frac{\frac{9216{{𝐾}_{𝑟}}^2}{5041{{𝐾}_{𝑚}}^2}𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑟}}{71}}\sqrt{71+96𝑥-10{𝑥}^2-{𝑥}^4}}\\ & =& \sqrt{\frac{84934656{{𝐾}_{𝑟}}^3}{357911{{𝐾}_{𝑚}}^4}}\int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{71+96𝑥-10{𝑥}^2-{𝑥}^4}}\\ & =& \sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{-{𝑥}^4-10{𝑥}^2+96𝑥+71}}\end{array}$$ となって、(206)式の左辺と同じものが現れた。よってこれを積分すれば $$\begin{array}{llll}\hfill \pm 𝑐𝑡& =& \{\begin{array}{ll}-\frac{1}{8}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}(2𝜋+\arccos \frac{{𝑥}^8+20{𝑥}^6-128{𝑥}^5+54{𝑥}^4-1408{𝑥}^3+3124{𝑥}^2+10001}{6912\sqrt{3}})& ({𝑋}_0<𝑥\leqq {𝑋}_1)\\ -\frac{1}{8}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}(2𝜋-\arccos \frac{{𝑥}^8+20{𝑥}^6-128{𝑥}^5+54{𝑥}^4-1408{𝑥}^3+3124{𝑥}^2+10001}{6912\sqrt{3}})& ({𝑋}_1\leqq 𝑥\leqq {𝑋}_2)\\ -\frac{1}{8}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\arccos \frac{{𝑥}^8+20{𝑥}^6-128{𝑥}^5+54{𝑥}^4-1408{𝑥}^3+3124{𝑥}^2+10001}{6912\sqrt{3}}& ({𝑋}_2\leqq 𝑥<{𝑋}_3)\end{array}& \text{（積分定数を0とした。）}\end{array}$$ となる。 𝑥 を元に戻せば $$\begin{array}{l}\begin{array}{llll}\hfill \pm 𝑐𝑡& =& \{\begin{array}{ll}-\frac{1}{8}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\{2𝜋+\arccos 𝑈(𝑎\left)\right\}& (\frac{96{𝑋}_0{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}<𝑎\leqq \frac{96{𝑋}_1{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}})\\ -\frac{1}{8}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\{2𝜋-\arccos 𝑈(𝑎\left)\right\}& (\frac{96{𝑋}_1{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}\leqq 𝑎\leqq \frac{96{𝑋}_2{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}})\\ -\frac{1}{8}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}\arccos 𝑈\left(𝑎\right)& (\frac{96{𝑋}_2{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}\leqq 𝑎\leqq \frac{96{𝑋}_3{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}})\end{array}& \text{(208)}\end{array}\\ \text{ただし}\\ 𝑈\left(𝑎\right)=\frac{1}{2^8\cdot 3^3\cdot \sqrt{3}}(\frac{{71}^8{{𝐾}_{𝑚}}^8}{2^{40}\cdot 3^8{{𝐾}_{𝑟}}^8}{𝑎}^8+\frac{5\cdot {71}^6{{𝐾}_{𝑚}}^6}{2^{28}\cdot 3^6{{𝐾}_{𝑟}}^6}{𝑎}^6-\frac{{71}^5{{𝐾}_{𝑚}}^5}{2^{18}\cdot 3^5{{𝐾}_{𝑟}}^5}{𝑎}^5+\frac{{71}^4{{𝐾}_{𝑚}}^4}{2^{19}\cdot 3{{𝐾}_{𝑟}}^4}{𝑎}^4-\frac{11\cdot {71}^3{{𝐾}_{𝑚}}^3}{2^8\cdot 3^3{{𝐾}_{𝑟}}^3}{𝑎}^3+\frac{11\cdot {71}^3{{𝐾}_{𝑚}}^2}{2^8\cdot 3^2{{𝐾}_{𝑟}}^2}{𝑎}^2+73\cdot 137)\end{array}$$ のようになって解が求まる。 𝑈(𝑎) は数値係数にかなり大きな数値が表れて10進表記しても意味がわかりにくいので素因数の積の形で書いておいた。分子と分母が同じくらい大きいので分数全体としては並の大きさの値である。2次の項の分子の「71^³」は「71^²」の書き間違いではなく、これで正しい。4次の項の分母の「3」は「3^⁴」の書き間違いではなく、これで正しい。 $\frac{𝛬}{𝑘}=-\frac{{71}^2{{𝐾}_{𝑚}}^2}{2^{11}\cdot 3\cdot 5{{𝐾}_{𝑟}}^2}$ より $𝑥=\frac{71{𝐾}_{𝑚}}{96{𝐾}_{𝑟}}𝑎=\sqrt{\frac{-10𝛬}{3𝑘}}𝑎$ だから $$𝑈\left(𝑎\right)=\frac{1}{27\sqrt{3}}(\frac{625{𝛬}^4}{1296{𝑘}^4}{𝑎}^8-\frac{625{𝛬}^3}{216{𝑘}^3}{𝑎}^6-\frac{50{𝛬}^2}{9{𝑘}^2}\sqrt{\frac{-10𝛬}{3𝑘}}{𝑎}^5+\frac{75{𝛬}^2}{32{𝑘}^2}{𝑎}^4+\frac{55𝛬}{3𝑘}\sqrt{\frac{-10𝛬}{3𝑘}}{𝑎}^3-\frac{3905𝛬}{96𝑘}{𝑎}^2+\frac{10001}{256})$$ と書くこともできる。これだと係数に大きな数値が現れずに済むけれども根号が増える。

𝑥 = 𝑋_₃ すなわち $𝑎=\frac{96{𝑋}_3{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}$ のときには(207)式の右辺の被積分関数の分母が0になってしまうので除外して考えてきたが、(102)式までさかのぼってみるとそのときも 0 = 0 となってちゃんと成り立っている。よって $𝑎=\frac{96{𝑋}_3{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}$ のときも(208)式は解である（3行目の変域にすでに入れてある）。(208)式のうち $\frac{96{𝑋}_0{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}<𝑎<0$ の部分は物理的に無意味である。 $0\leqq 𝑎\leqq \frac{96{𝑋}_3{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}$ の部分は時刻 $𝑡=-\frac{1}{8𝑐}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}(2𝜋+\arccos \frac{10001}{6912\sqrt{3}})$ に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、時刻 𝑡 = 0 に最大値 $𝑎=\frac{96{𝑋}_3{𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}=\frac{96(\sqrt{3}+2\sqrt{-2+2\sqrt{3}}){𝐾}_{𝑟}}{71{𝐾}_{𝑚}}$ になって加速収縮に転じ、時刻 $𝑡=\frac{1}{8𝑐}\sqrt{\frac{3}{-𝛬}}(2𝜋+\arccos \frac{10001}{6912\sqrt{3}})$ に 𝑎 = 0 になって終わる宇宙である。複号の+が膨張期であり、複号の−が収縮期である。

(208)式の両辺を $-8\sqrt{\frac{-𝛬}{3}}$ 倍して cos を取れば $$\cos \left(8\sqrt{\frac{-𝛬}{3}}𝑐𝑡\right)=𝑈\left(𝑎\right)$$ となってだいぶ見やすくなる。この式が表す曲線は周期的に 𝑎 の符号を変えながら 𝑡 → −∞ から 𝑡 → ∞ まで無限に続く。同じ形の曲線が2本あり、互いに半周期ずれて配置されている。その中から一続きの 𝑎 ≧ 0 の部分だけを取り出したものが物理的な解である。

少し異なる例

前2例と似ているけれど少し異なる例として、次のような複素関数の不定積分がある。 $$\begin{array}{l}\hfill \int \frac{𝑧\mathrm{d𝑧}}{\sqrt{𝑃\left(𝑧\right)}}=\frac{1}{10}\log \{𝑅\left(𝑧\right)+𝑄\left(𝑧\right)\sqrt{𝑃\left(𝑧\right)}\}+𝐶\text{（}𝐶\text{は積分定数）}\text{(209)}\hfill \\ \begin{array}{l}\text{ただし}\\ 𝑃\left(𝑧\right)={𝑧}^4-50{𝑧}^2+960𝑧+1585\\ 𝑄\left(𝑧\right)={𝑧}^8-100{𝑧}^6+1120{𝑧}^5+4470{𝑧}^4-64000{𝑧}^3+183100{𝑧}^2+1351200𝑧-4461775\\ 𝑅\left(𝑧\right)={𝑧}^{10}-125{𝑧}^8+1600{𝑧}^7+7450{𝑧}^6-128000{𝑧}^5+457750{𝑧}^4+4504000{𝑧}^3-22308875{𝑧}^2+274924375\end{array}\end{array}$$ だんだん式が長くなってきて、べた書きすると大変なことになるので、登場する多項式に 𝑃, 𝑄, 𝑅 という名前を付けておいた。前2例と違ってこの 𝑃(𝑧) は定数項が正になっているから、フリードマン方程式（の特別な場合）に応用する際に(209)式を実関数だと思えばほぼそのまま使える。

𝑥 を実変数として、 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑃\left(𝑥\right)& =& {𝑥}^4-50{𝑥}^2+960𝑥+1585\\ & =& ({𝑥}^2-4\sqrt{10}𝑥+55+12\sqrt{10})({𝑥}^2+4\sqrt{10}𝑥+55-12\sqrt{10})\end{array}$$ のように因数分解できるからこれが正になるような 𝑥 の変域は $$𝑥<-2\sqrt{10}-\sqrt{-15+12\sqrt{10}},-2\sqrt{10}+\sqrt{-15+12\sqrt{10}}<𝑥$$ である。このとき $𝑅\left(𝑥\right)+𝑄\left(𝑥\right)\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}$ も実数だから(209)式は実関数として $$\int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}}=\frac{1}{10}\ln |𝑅\left(𝑥\right)+𝑄\left(𝑥\right)\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}|+𝐶\text{（}𝐶\text{は積分定数）}$$ のようになるが、今はたまたま $𝑅\left(𝑥\right)+𝑄\left(𝑥\right)\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}$ は常に正だから絶対値記号を外して $$\int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}}=\frac{1}{10}\ln \{𝑅\left(𝑥\right)+𝑄\left(𝑥\right)\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}\}+𝐶\text{（}𝐶\text{は積分定数）}\text{(210)}$$ としてよい。この式をそのまま使ってもよいが、もう少し変形しておこう。 ${\left\{𝑅\right(𝑥\left)\right\}}^2-{\left\{𝑄\right(𝑥\left)\right\}}^2𝑃\left(𝑥\right)$ という量を計算すると $$\begin{array}{lll}\hfill {\left\{𝑅\right(𝑥\left)\right\}}^2-{\left\{𝑄\right(𝑥\left)\right\}}^2𝑃\left(𝑥\right)& =& {({𝑥}^{10}-125{𝑥}^8+1600{𝑥}^7+7450{𝑥}^6-128000{𝑥}^5+457750{𝑥}^4+4504000{𝑥}^3-22308875{𝑥}^2+274924375)}^2\\ & & -{({𝑥}^8-100{𝑥}^6+1120{𝑥}^5+4470{𝑥}^4-64000{𝑥}^3+183100{𝑥}^2+1351200𝑥-4461775)}^2({𝑥}^4-50{𝑥}^2+960𝑥+1585)\\ & =& 2^{31}\cdot 3^8\cdot 5^5\end{array}$$ のように定数になっていて、移項すると $$\begin{array}{lll}\hfill {\left\{𝑄\right(𝑥\left)\right\}}^2𝑃\left(𝑥\right)& =& {\left\{𝑅\right(𝑥\left)\right\}}^2-2^{31}\cdot 3^8\cdot 5^5\\ \hfill \left|𝑄\right(𝑥\left)\right|\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}& =& \sqrt{{\left\{𝑅\right(𝑥\left)\right\}}^2-2^{31}\cdot 3^8\cdot 5^5}\end{array}$$ である。よって $$\begin{array}{lll}𝑄\left(𝑥\right)\geqq 0\text{ならば}& & \\ \hfill \ln \{𝑅\left(𝑥\right)+𝑄\left(𝑥\right)\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}\}& =& \ln \{𝑅\left(𝑥\right)+\left|𝑄\right(𝑥\left)\right|\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}\}\\ & =& \ln [𝑅\left(𝑥\right)+\sqrt{{\left\{𝑅\right(𝑥\left)\right\}}^2-2^{31}\cdot 3^8\cdot 5^5}]\\ & =& \ln [2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}\{\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}+\sqrt{{\left(\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}\right)}^2-1}\}]\\ & =& \ln (2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10})+\ln [\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}+\sqrt{{\left\{\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}\right\}}^2-1}]\\ & =& \ln (2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10})+\mathrm{arcosh}\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}\\ 𝑄\left(𝑥\right)\leqq 0\text{ならば}& & \\ \hfill \ln \{𝑅\left(𝑥\right)+𝑄\left(𝑥\right)\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}\}& =& \ln \{𝑅\left(𝑥\right)-\left|𝑄\right(𝑥\left)\right|\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}\}\\ & =& \ln [𝑅\left(𝑥\right)-\sqrt{{\left\{𝑅\right(𝑥\left)\right\}}^2-2^{31}\cdot 3^8\cdot 5^5}]\\ & =& \ln [2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}\{\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}-\sqrt{{\left(\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}\right)}^2-1}\}]\\ & =& \ln (2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10})+\ln [\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}-\sqrt{{\left\{\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}\right\}}^2-1}]\\ & =& \ln (2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10})-\mathrm{arcosh}\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}\end{array}$$ が成り立つ。それぞれ最後の等号は $$\begin{array}{lll}\hfill \mathrm{arcosh}𝑋& =& \ln (𝑋+\sqrt{{𝑋}^2-1})\\ & =& -\ln (𝑋-\sqrt{{𝑋}^2-1})\end{array}$$ という関係式（というか arcosh の定義そのもの）を使った変形である。このことから、(210)式の不定積分は定数 $\frac{1}{10}\ln (2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10})+𝐶$ を 𝐷 とでも置けば $$\begin{array}{l}\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{𝑃\left(𝑥\right)}}& =& \{\begin{array}{ll}\frac{1}{10}\mathrm{arcosh}\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}+𝐷& \hfill (𝑥<{𝑋}_0,{𝑋}_2\leqq 𝑥)\hfill \\ -\frac{1}{10}\mathrm{arcosh}\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}+𝐷& \hfill ({𝑋}_1<𝑥\leqq {𝑋}_2)\hfill \end{array}& \text{(211)}\end{array}\\ \begin{array}{ll}\text{ただし}& 𝐷\text{は積分定数}\\ & {𝑋}_0=-2\sqrt{10}-\sqrt{-15+12\sqrt{10}}\\ & {𝑋}_1=-2\sqrt{10}+\sqrt{-15+12\sqrt{10}}\\ & {𝑋}_2=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{15}{2}-\sqrt{10}(1+𝑌)}+\sqrt{15-\sqrt{10}(2-𝑌)+\frac{250+25\sqrt{10}}{\sqrt{30-4\sqrt{10}(1+𝑌)}}}\\ & 𝑌=-2\sqrt{-6+4\sqrt{10}}\sinh \left(\frac{1}{6}\mathrm{arcosh}\frac{1676843+574300\sqrt{10}}{59582}\right)\\ & \phantom{𝑌}=\sqrt[3]{6-31\sqrt{10}+5\sqrt{262+28\sqrt{10}}}-\sqrt[3]{-6+31\sqrt{10}+5\sqrt{262+28\sqrt{10}}}\end{array}\end{array}$$ のようになる。なお 𝑋_₀ < 𝑋_₁ < 0 < 𝑋_₂ である。 $𝑅\left({𝑋}_0\right)=𝑅\left({𝑋}_1\right)=𝑅\left({𝑋}_2\right)=2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}$ であり、 𝑃(𝑋_₀) = 𝑃(𝑋_₁) = 𝑄(𝑋_₂) = 0 である。細かいことを言うと、 𝑥 < 𝑋_₀ の領域と 𝑋_₁ < 𝑥 の領域は離れているので積分定数 𝐷 の値はその2つの領域で異なっていてもかまわない（ただし 𝑋_₂ を境に積分定数 𝐷 の値を変えてはならない）。

これを(103)式の積分（の特別な場合）に応用してみよう。それができるのは $$\begin{array}{l}𝛬=\frac{31855013{{𝐾}_{𝑚}}^4}{2264924160{{𝐾}_{𝑟}}^3}(=\frac{{317}^3{{𝐾}_{𝑚}}^4}{2^{24}\cdot 3^3\cdot 5{{𝐾}_{𝑟}}^3})\\ 𝑘=\frac{1585{{𝐾}_{𝑚}}^2}{18432{𝐾}_{𝑟}}(=\frac{5\cdot 317{{𝐾}_{𝑚}}^2}{2^{11}\cdot 3^2{𝐾}_{𝑟}})\end{array}$$ という関係が成り立っているときである。このとき(103)式は $$\pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}=\int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+{𝐾}_{𝑚}𝑎-\frac{1585{{𝐾}_{𝑚}}^2}{18432{𝐾}_{𝑟}}{𝑎}^2+\frac{31855013{{𝐾}_{𝑚}}^4}{6794772480{{𝐾}_{𝑟}}^3}{𝑎}^4}}$$ となる（都合により両辺を入れ替えてある）。ここで新しい変数を 𝑥 として $𝑎=\frac{192{𝐾}_{𝑟}}{317{𝐾}_{𝑚}}𝑥$ と置く。すると $\mathrm{d𝑎}=\frac{192{𝐾}_{𝑟}}{317{𝐾}_{𝑚}}\mathrm{d𝑥}$ であるからこれらを代入すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& =& \int \frac{\frac{192{𝐾}_{𝑟}}{317{𝐾}_{𝑚}}𝑥\cdot \frac{192{𝐾}_{𝑟}}{317{𝐾}_{𝑚}}\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{192{𝐾}_{𝑟}}{317}𝑥-\frac{10{𝐾}_{𝑟}}{317}{𝑥}^2+\frac{{𝐾}_{𝑟}}{1585}{𝑥}^4}}\\ & =& \int \frac{\frac{36864{{𝐾}_{𝑟}}^2}{100489{{𝐾}_{𝑚}}^2}𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑟}}{1585}}\sqrt{1585+960𝑥-50{𝑥}^2+{𝑥}^4}}\\ & =& \sqrt{\frac{6794772480{{𝐾}_{𝑟}}^3}{31855013{{𝐾}_{𝑚}}^4}}\int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{1585+960𝑥-50{𝑥}^2+{𝑥}^4}}\\ & =& \sqrt{\frac{3}{𝛬}}\int \frac{𝑥\mathrm{d𝑥}}{\sqrt{{𝑥}^4-50{𝑥}^2+960𝑥+1585}}\end{array}$$ となって、(211)式の左辺と同じものが現れた。よってこれを積分すれば $$\begin{array}{llll}\hfill \pm 𝑐𝑡& =& \{\begin{array}{ll}\frac{1}{10}\sqrt{\frac{3}{𝛬}}\mathrm{arcosh}\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}& \hfill (𝑥<{𝑋}_0,{𝑋}_2\leqq 𝑥)\hfill \\ -\frac{1}{10}\sqrt{\frac{3}{𝛬}}\mathrm{arcosh}\frac{𝑅\left(𝑥\right)}{2^{15}\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot \sqrt{10}}& \hfill ({𝑋}_1<𝑥\leqq {𝑋}_2)\hfill \end{array}& \text{（積分定数を0とした。）}\end{array}$$ となる。 𝑥 を元に戻せば $$\begin{array}{l}\begin{array}{llll}\hfill \pm 𝑐𝑡& =& \{\begin{array}{ll}\frac{1}{10}\sqrt{\frac{3}{𝛬}}\mathrm{arcosh}𝑈\left(𝑎\right)& \hfill (𝑎<\frac{192{𝑋}_0{𝐾}_{𝑟}}{317{𝐾}_{𝑚}},\frac{192{𝑋}_2{𝐾}_{𝑟}}{317{𝐾}_{𝑚}}\leqq 𝑎)\hfill \\ -\frac{1}{10}\sqrt{\frac{3}{𝛬}}\mathrm{arcosh}𝑈\left(𝑎\right)& \hfill (\frac{192{𝑋}_1{𝐾}_{𝑟}}{317{𝐾}_{𝑚}}<𝑎\leqq \frac{192{𝑋}_2{𝐾}_{𝑟}}{317{𝐾}_{𝑚}})\hfill \end{array}& \text{(212)}\end{array}\\ \text{ただし}\\ 𝑈\left(𝑎\right)=\frac{1}{2^{15}\cdot 3^4\cdot \sqrt{10}}(\frac{{317}^{10}{{𝐾}_{𝑚}}^{10}}{2^{60}\cdot 3^{10}\cdot 5^2{{𝐾}_{𝑟}}^{10}}{𝑎}^{10}-\frac{5\cdot {317}^8{{𝐾}_{𝑚}}^8}{2^{48}\cdot 3^8{{𝐾}_{𝑟}}^8}{𝑎}^8+\frac{{317}^7{{𝐾}_{𝑚}}^7}{2^{36}\cdot 3^7{{𝐾}_{𝑟}}^7}{𝑎}^7+\frac{149\cdot {317}^6{{𝐾}_{𝑚}}^6}{2^{35}\cdot 3^6{{𝐾}_{𝑟}}^6}{𝑎}^6-\frac{5\cdot {317}^5{{𝐾}_{𝑚}}^5}{2^{20}\cdot 3^5{{𝐾}_{𝑟}}^5}{𝑎}^5\\ +\frac{5\cdot {317}^4\cdot 1831{{𝐾}_{𝑚}}^4}{2^{23}\cdot 3^4{{𝐾}_{𝑟}}^4}{𝑎}^4+\frac{5\cdot {317}^3\cdot 563{{𝐾}_{𝑚}}^3}{2^{12}\cdot 3^3{{𝐾}_{𝑟}}^3}{𝑎}^3-\frac{5\cdot {317}^3\cdot 563{{𝐾}_{𝑚}}^2}{2^{12}\cdot 3^2{{𝐾}_{𝑟}}^2}{𝑎}^2+5^2\cdot 11\cdot 39989)\end{array}$$ のようになって解が求まる。 𝑈(𝑎) は数値係数にかなり大きな数値が表れて10進表記しても意味がわかりにくいので素因数の積の形で書いておいた。分子と分母が同じくらい大きいので分数全体としては並の大きさの値である。2次の項の分子の「317^³」は「317^²」の書き間違いではなく、これで正しい。 $\frac{𝛬}{𝑘}=\frac{{317}^2{{𝐾}_{𝑚}}^2}{2^{13}\cdot 3\cdot 5^2{{𝐾}_{𝑟}}^2}$ より $𝑥=\frac{317{𝐾}_{𝑚}}{192{𝐾}_{𝑟}}𝑎=5\sqrt{\frac{2𝛬}{3𝑘}}𝑎$ だから $$\begin{array}{l}𝑈\left(𝑎\right)=\frac{5\sqrt{5}}{648}(\frac{15625{𝛬}^5}{31104\sqrt{2}{𝑘}^5}{𝑎}^{10}-\frac{78125{𝛬}^4}{20736\sqrt{2}{𝑘}^4}{𝑎}^8+\frac{3125{𝛬}^3}{216{𝑘}^3}\sqrt{\frac{𝛬}{3𝑘}}{𝑎}^7+\frac{93125{𝛬}^3}{6912\sqrt{2}{𝑘}^3}{𝑎}^6-\frac{625{𝛬}^2}{9{𝑘}^2}\sqrt{\frac{𝛬}{3𝑘}}{𝑎}^5\\ +\frac{228875{𝛬}^2}{4608\sqrt{2}{𝑘}^2}{𝑎}^4+\frac{14075𝛬}{96𝑘}\sqrt{\frac{𝛬}{3𝑘}}{𝑎}^3-\frac{892355𝛬}{6144\sqrt{2}𝑘}{𝑎}^2+\frac{439879}{4096\sqrt{2}})\end{array}$$ と書くこともできる。これだと係数に大きな数値が現れずに済むけれども根号が増える。

(212)式で複号が+の解のうち 𝑎 ≧ 0 の部分は、時刻 $𝑡=-\frac{1}{10𝑐}\sqrt{\frac{3}{𝛬}}\mathrm{arcosh}\left(\frac{2199395}{2654208}\sqrt{\frac{5}{2}}\right)$ に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、ある時刻 𝑡 = 𝑡_𝐿 にある値 𝑎 = 𝑎_𝐿 になって加速膨張に転じ、無限の未来に 𝑎 → ∞ になる宇宙である。複号が−の解のうち 𝑎 ≧ 0 の部分はその時間反転である。複号にかかわらず 𝑎 < 0 の部分は物理的に無意味である。減速から加速に転じる点に関して具体的には $$\begin{array}{l}{𝑡}_{𝐿}=\frac{1}{10𝑐}\sqrt{\frac{3}{𝛬}}\mathrm{arcosh}\left[\frac{1}{96}\sqrt{\frac{5}{2}}\right\{-\frac{3793}{14580}{𝐽}^3+\frac{19117}{648}𝐽+\frac{1106405}{576}-\frac{81857}{8𝐽}+(\frac{3793}{14580}{𝐽}^3-\frac{81857}{12960}{𝐽}^2+\frac{19117}{648}𝐽+\frac{3793}{9})\sqrt{\frac{3240}{{𝐽}^3}-1}\left\}\right]\\ {𝑎}_{𝐿}=\frac{64𝐽}{317}(1+\sqrt{\frac{3240}{{𝐽}^3}-1})\frac{{𝐾}_{𝑟}}{{𝐾}_{𝑚}}=\frac{𝐽}{5}(1+\sqrt{\frac{3240}{{𝐽}^3}-1})\sqrt{\frac{𝑘}{6𝛬}}\\ \text{ただし}𝐽=\sqrt[4]{42795}\sqrt{\sinh \left(\frac{1}{6}\mathrm{arcosh}\frac{121434533}{31855013}\right)}=\sqrt[3]{45}\sqrt{\frac{1}{2}(\sqrt[3]{5184+\sqrt{\frac{229934319}{5}}}-\sqrt[3]{-5184+\sqrt{\frac{229934319}{5}}})}\end{array}$$ である。