【2‐1】 𝛬 = 0, 0 < 𝑘 のとき

条件より $$\begin{array}{l}\hfill {𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}>0\hfill \\ \hfill 𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2\geqq 0\hfill \end{array}$$ である。 $$\int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}-𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2}}=\pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\text{←}\text{(115)式}$$ の左辺の被積分関数の分母の根号の中身は正でなければならないから、 𝑎 は $\left|\sqrt{𝑘}(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})\right|<\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}$ を満たす範囲を動くことができる。そこで新しい変数を 𝑢 として $$\sqrt{𝑘}(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})=\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\cos 𝑢\text{(116)}$$ とおく。ただし 𝑢 は 0 < 𝑢 < 𝜋 の範囲から選ぶこととする（したがって sin 𝑢 > 0）。すると $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}& =& \frac{1}{\sqrt{𝑘}}\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\cos 𝑢& \text{(117)}\\ \hfill 𝑎& =& \frac{1}{\sqrt{𝑘}}\sqrt{\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}(\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1)}\cos 𝑢+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cos 𝑢+1)& \text{(118)}\end{array}$$ であり、(117)式を微分すると $$\mathrm{d𝑎}=-\frac{1}{\sqrt{𝑘}}\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sin 𝑢\mathrm{d𝑢}\text{(119)}$$ であるから、これらを(115)式に代入すると $$\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}-𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(115)式}\\ \hfill \int \frac{\left\{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cos 𝑢+1)\right\}\{-\frac{1}{\sqrt{𝑘}}\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sin 𝑢\mathrm{d𝑢}\}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}-({𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}){\cos }^2𝑢}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(116)}\text{・}\text{(118)}\text{・}\text{(119)式}\text{を代入した。}\\ \hfill \int \frac{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cos 𝑢+1)(-\frac{1}{\sqrt{𝑘}})\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sin 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sqrt{1-{\cos }^2𝑢}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \int \frac{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cos 𝑢+1)(-\frac{1}{\sqrt{𝑘}})\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sin 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sin 𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill -\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2{𝑘}^{\frac{3}{2}}}\int (\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cos 𝑢+1)\mathrm{d𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill -\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2{𝑘}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\sin 𝑢+𝑢)& =& \pm 𝑐𝑡& \text{（積分定数を0とした。）}\\ \hfill \mp \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{𝑘}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\sin 𝑢+𝑢)& =& 𝑡& \text{(120)}\end{array}$$ のようになる。(120)・(118)式が媒介変数表示による解である。ところでここまでは 𝑢 を正に限っていたが、(118)式は 𝑢 を符号反転しても何も変わらず、(120)式は 𝑢 の符号反転は複号を逆にすることと等価である。ということは 𝑢 が負でもよいことにする代わりに(120)式の左辺の複号を取り払っても同じことである。また、 𝑢 = 0 すなわち 𝑡 = 0 のときに(116)式を使うと(115)式の左辺の被積分関数の分母が0になってしまうので除外して考えてきたが、(102)式までさかのぼってみるとそのときも 0 = 0 となってちゃんと成り立っている。よって 𝑡 = 0 のときも(120)・(118)式は解である。したがって解の媒介変数表示は $$\begin{array}{l}\{\begin{array}{ll}𝑡=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{𝑘}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\sin 𝑢+𝑢)& \text{(121)}\\ 𝑎=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cos 𝑢+1)& \text{(122)}\end{array}\\ \text{（ただし}-𝜋<𝑢<𝜋\text{）}\end{array}$$ とすることができる。時間座標 𝑐𝑡 と曲率半径 $\frac{𝑎}{\sqrt{𝑘}}$ の関係をグラフに描けばトロコイドになる。数学的には 𝑢 が取り得る範囲はすべての実数にまで広げて構わない。この解のうち $\left|𝑢\right|\leqq \arccos \frac{-1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}}$ の部分は時刻 $𝑡=-\frac{1}{𝑐\sqrt{𝑘}}(\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑟}}{𝑘}}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\arccos \frac{-1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}})$ に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、時刻 𝑡 = 0 に最大値 $𝑎=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}+1)$ になって加速収縮に転じ、時刻 $𝑡=\frac{1}{𝑐\sqrt{𝑘}}(\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑟}}{𝑘}}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\arccos \frac{-1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}})$ に 𝑎 = 0 になって終わる宇宙である。 $-\arccos \frac{-1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}}<𝑢<0$ の範囲が膨張期であり、 $0<𝑢<\arccos \frac{-1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}}$ の範囲が収縮期である。 $\arccos \frac{-1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}}<\left|𝑢\right|<𝜋$ の部分は 𝑎 < 0 となって物理的に無意味である。

媒介変数を使わずに1個の式で表したければ、(122)式より $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑎& =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cos 𝑢+1)& \text{←}\text{(122)式}\\ \hfill \frac{2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}& =& \sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cos 𝑢+1\\ \hfill \frac{2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}-1& =& \sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cos 𝑢\\ \hfill \frac{\frac{2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}-1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}}& =& \cos 𝑢\\ \hfill \frac{2𝑘𝑎-{𝐾}_{𝑚}}{\sqrt{4𝑘{𝐾}_{𝑟}+{{𝐾}_{𝑚}}^2}}& =& \cos 𝑢\\ \hfill \pm \arccos \frac{2𝑘𝑎-{𝐾}_{𝑚}}{\sqrt{4𝑘{𝐾}_{𝑟}+{{𝐾}_{𝑚}}^2}}& =& 𝑢& \text{(123)}\end{array}$$ $$\begin{array}{lll}\hfill \sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\sin 𝑢& =& \sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}(\pm \sqrt{1-{\cos }^2𝑢})\\ & =& \pm \sqrt{(\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1)-(\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1){\cos }^2𝑢}\\ & =& \pm \sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1-{\left(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cos 𝑢\right)}^2}\\ & =& \pm \sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1-{(\frac{2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}-1)}^2}\\ & =& \pm \sqrt{-\frac{4{𝑘}^2{𝑎}^2}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+\frac{4𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}+\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}}\\ & =& \pm \frac{2\sqrt{𝑘}}{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎+{𝐾}_{𝑟}}& \text{(124)}\\ & & \text{（}\text{(123)式}\text{と}\text{(124)式}\text{は複号同順）}\end{array}$$ だから、これらを(121)式に代入すれば $$\begin{array}{lllll}\hfill 𝑡& =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{𝑘}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\sin 𝑢+𝑢)& & \text{←}\text{(121)式}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{𝑘}^{\frac{3}{2}}}(\pm \frac{2\sqrt{𝑘}}{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎+{𝐾}_{𝑟}}\pm \arccos \frac{2𝑘𝑎-{𝐾}_{𝑚}}{\sqrt{4𝑘{𝐾}_{𝑟}+{{𝐾}_{𝑚}}^2}})& \text{（複号同順）}& \text{←}\text{(123)}\text{・}\text{(124)式}\text{を代入した。}\\ & =& \pm \frac{1}{𝑐\sqrt{𝑘}}(\sqrt{\frac{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎+{𝐾}_{𝑟}}{𝑘}}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\arccos \frac{2𝑘𝑎-{𝐾}_{𝑚}}{\sqrt{4𝑘{𝐾}_{𝑟}+{{𝐾}_{𝑚}}^2}})\end{array}$$ のように書くこともできる。複号の−が膨張期であり、複号の+が収縮期である。逆に 𝑎 を 𝑡 の初等関数で書くことはできないだろう。

【2‐2】 𝛬 = 0, $-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4{𝐾}_{𝑟}}<𝑘<0$ のとき

条件より $$\begin{array}{l}\hfill {𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}<0\hfill \\ \hfill 𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2\leqq 0\hfill \end{array}$$ である。 $$\int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}-𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2}}=\pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\text{←}\text{(115)式}$$ の左辺の被積分関数の分母の根号の中身は正でなければならないから、 𝑎 は $\left|\sqrt{-𝑘}(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})\right|>\sqrt{-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}$ を満たす範囲を動くことができる。そこで新しい変数を 𝑢 として $$\sqrt{-𝑘}(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})=\sqrt{-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\cosh 𝑢\text{(125)}$$ とおく。ただし 𝑢 は正ものを選ぶこととする（したがって sinh 𝑢 > 0）。数学的には $\sqrt{-𝑘}(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})$ が負になる領域を見落としてはいけないが、今は物理的に 𝑎 ≧ 0 だからそれは負にならないのでそこは考えなくてよい。すると $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}& =& \frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\cosh 𝑢& \text{(126)}\\ \hfill 𝑎& =& \frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{-4𝑘}(\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1)}\cosh 𝑢+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cosh 𝑢-1)& \text{(127)}\end{array}$$ であり、(126)式を微分すると $$\mathrm{d𝑎}=\frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sinh 𝑢\mathrm{d𝑢}\text{(128)}$$ であるから、これらを(115)式に代入すると $$\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}-𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(115)式}\\ \hfill \int \frac{\left\{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cosh 𝑢-1)\right\}\left\{\frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sinh 𝑢\mathrm{d𝑢}\right\}}{\sqrt{-(-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘})+(-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}){\cosh }^2𝑢}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(125)}\text{・}\text{(127)}\text{・}\text{(128)式}\text{を代入した。}\\ \hfill \int \frac{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cosh 𝑢-1)\frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sinh 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sqrt{-1+{\cosh }^2𝑢}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \int \frac{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cosh 𝑢-1)\frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sinh 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{-{𝐾}_{𝑟}-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sinh 𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}\int (\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cosh 𝑢-1)\mathrm{d𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\sinh 𝑢-𝑢)& =& \pm 𝑐𝑡& \text{（積分定数を0とした。）}\\ \hfill \pm \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\sinh 𝑢-𝑢)& =& 𝑡& \text{(129)}\end{array}$$ のようになる。(129)・(127)式が媒介変数表示による解である。ところでここまでは 𝑢 を正に限っていたが、(127)式は 𝑢 を符号反転しても何も変わらず、(129)式は 𝑢 の符号反転は複号を逆にすることと等価である。ということは 𝑢 が負でもよいことにする代わりに(129)式の左辺の複号を取り払っても同じことである。したがって解の媒介変数表示は $$\begin{array}{l}\{\begin{array}{ll}𝑡=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\sinh 𝑢-𝑢)& \text{(130)}\\ 𝑎=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cosh 𝑢-1)& \text{(131)}\end{array}\\ \text{（ただし}-\infty <𝑢<\infty \text{）}\end{array}$$ とすることができる。数学的には 𝑢 = 0 のときも解に含めて構わない。時間座標 𝑐𝑡 と曲率半径 $\frac{𝑎}{\sqrt{-𝑘}}$ の関係をグラフに描いた曲線は、トロコイドの三角関数を双曲線関数に置き換えたようなものだが、この曲線に名前がついているかどうかは知らない。(130)・(131)式は数学的には1本のなめらかな曲線で表される関係であるが物理的には2つの解と1つの無意味な部分が含まれている。 $\mathrm{arcosh}\frac{1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}}\leqq 𝑢$ の部分は時刻 $𝑡=\frac{1}{𝑐\sqrt{-𝑘}}(\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑟}}{-𝑘}}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\mathrm{arcosh}\frac{1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}})$ に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、無限の未来に等速膨張になり 𝑎 → ∞ になる宇宙である。 $𝑢\leqq -\mathrm{arcosh}\frac{1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}}$ の部分はその時間反転である。 $-\mathrm{arcosh}\frac{1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}}<𝑢<\mathrm{arcosh}\frac{1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}}$ の部分は 𝑎 < 0 となって物理的に無意味である。

媒介変数を使わずに1個の式で表したければ、(131)式より $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑎& =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cosh 𝑢-1)& \text{←}\text{(131)式}\\ \hfill \frac{-2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}& =& \sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cosh 𝑢-1\\ \hfill \frac{-2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}+1& =& \sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cosh 𝑢\\ \hfill \frac{\frac{-2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}+1}{\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}}& =& \cosh 𝑢\\ \hfill \frac{-2𝑘𝑎+{𝐾}_{𝑚}}{\sqrt{4𝑘{𝐾}_{𝑟}+{{𝐾}_{𝑚}}^2}}& =& \cosh 𝑢\\ \hfill \pm \mathrm{arcosh}\frac{-2𝑘𝑎+{𝐾}_{𝑚}}{\sqrt{4𝑘{𝐾}_{𝑟}+{{𝐾}_{𝑚}}^2}}& =& 𝑢& \text{(132)}\end{array}$$ $$\begin{array}{lll}\hfill \sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\sinh 𝑢& =& \sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}(\pm \sqrt{{\cosh }^2𝑢-1})\\ & =& \pm \sqrt{(\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1){\cosh }^2𝑢-(\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1)}\\ & =& \pm \sqrt{{\left(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\cosh 𝑢\right)}^2-\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\\ & =& \pm \sqrt{{(\frac{-2𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}+1)}^2-\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\\ & =& \pm \sqrt{\frac{4{𝑘}^2{𝑎}^2}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+\frac{-4𝑘𝑎}{{𝐾}_{𝑚}}-\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}}\\ & =& \pm \frac{2\sqrt{-𝑘}}{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎+{𝐾}_{𝑟}}& \text{(133)}\\ & & \text{（}\text{(132)式}\text{と}\text{(133)式}\text{は複号同順）}\end{array}$$ だから、これらを(130)式に代入すれば $$\begin{array}{lllll}\hfill 𝑡& =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}+1}\sinh 𝑢-𝑢)& & \text{←}\text{(130)式}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\pm \frac{2\sqrt{-𝑘}}{{𝐾}_{𝑚}}\sqrt{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎+{𝐾}_{𝑟}}\mp \mathrm{arcosh}\frac{-2𝑘𝑎+{𝐾}_{𝑚}}{\sqrt{4𝑘{𝐾}_{𝑟}+{{𝐾}_{𝑚}}^2}})& \text{（複号同順）}& \text{←}\text{(132)}\text{・}\text{(133)式}\text{を代入した。}\\ & =& \pm \frac{1}{𝑐\sqrt{-𝑘}}(\sqrt{\frac{-𝑘{𝑎}^2+{𝐾}_{𝑚}𝑎+{𝐾}_{𝑟}}{-𝑘}}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\mathrm{arcosh}\frac{-2𝑘𝑎+{𝐾}_{𝑚}}{\sqrt{4𝑘{𝐾}_{𝑟}+{{𝐾}_{𝑚}}^2}})\end{array}$$ のように書くこともできる。複号が+の解は膨張宇宙、複号が−の解は収縮宇宙である。逆に 𝑎 を 𝑡 の初等関数で書くことはできないだろう。

【2‐3】 𝛬 = 0, $𝑘=-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4{𝐾}_{𝑟}}$ のとき

条件より $${𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}=0\text{(134)}$$ となるから、これを(115)式に代入すると $$\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}-𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(115)式}\\ \hfill \int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{-𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(134)式}\text{を代入した。}\\ \hfill \int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{-𝑘}|𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}|}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{|𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}|}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\end{array}$$ のようになる。右辺の全体に複号がついているから左辺の符号がひっくり返っても等式の意味は変わらないので、左辺の被積分関数の分母の絶対値記号はあってもなくても同じだからはずすと、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\int (1+\frac{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}}{𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}})\mathrm{d𝑎}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{1}{\sqrt{-𝑘}}(𝑎+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\ln |𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}|)& =& \pm 𝑐𝑡& \text{（積分定数を0とした。）}\\ \hfill \pm \frac{1}{𝑐\sqrt{-𝑘}}\{𝑎+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\ln (𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})\}& =& 𝑡& \text{(135)}\end{array}$$ となる。 𝑎 ≧ 0 だから ln の引数の絶対値記号は外してよい。複号が+の解は、時刻 $𝑡=-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}\ln \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}=\frac{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}}}{2𝑐𝑘}\ln \frac{{𝐾}_{𝑟}}{-𝑘}=-\frac{4{{𝐾}_{𝑟}}^{\frac{3}{2}}}{𝑐{{𝐾}_{𝑚}}^2}\ln \frac{2{𝐾}_{𝑟}}{{𝐾}_{𝑚}}$ に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、無限の未来に等速膨張になり 𝑎 → ∞ になる宇宙である。複号が−の解はその時間反転である。逆に 𝑎 を 𝑡 の初等関数で書くことはできないだろう。

この解はわざわざ媒介変数表示するほどややこしくないが、無理やり他の場合と体裁を合わせて媒介変数表示をしたければ $$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}𝑡=\pm \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\frac{-2𝑘}{{𝐾}_{𝑚}}{\mathrm{e}}^{𝑢}-𝑢)\\ 𝑎=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\frac{-2𝑘}{{𝐾}_{𝑚}}{\mathrm{e}}^{𝑢}-1)\end{array}\\ \text{（ただし}-\infty <𝑢<\infty \text{）}\end{array}$$ と書くこともできる。ただしこのように書いた場合、(135)式と比較して 𝑡 が定数分ずれるので注意が必要である。物理的に意味があるのは $𝑢\geqq \ln \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}$ の部分である。

【2‐4】 𝛬 = 0, $𝑘<-\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4{𝐾}_{𝑟}}$ のとき

条件より $$\begin{array}{l}\hfill {𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}>0\hfill \\ \hfill 𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2\leqq 0\hfill \end{array}$$ であるから、 $$\int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}-𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2}}=\pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\text{←}\text{(115)式}$$ の左辺の被積分関数の分母の根号の中身は 𝑎 にかかわらず正である。そこで新しい変数を 𝑢 として $$\sqrt{-𝑘}(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})=\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sinh 𝑢\text{(136)}$$ とおく。すると $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}& =& \frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sinh 𝑢& \text{(137)}\\ \hfill 𝑎& =& \frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{-4𝑘}(\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1)}\sinh 𝑢+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\\ & =& \frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\sinh 𝑢-1)& \text{(138)}\end{array}$$ であり、(137)式を微分すると $$\mathrm{d𝑎}=\frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\cosh 𝑢\mathrm{d𝑢}\text{(139)}$$ であるから、これらを(115)式に代入すると $$\begin{array}{llll}\hfill \int \frac{𝑎\mathrm{d𝑎}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}-𝑘{(𝑎-\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘})}^2}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(115)式}\\ \hfill \int \frac{\left\{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\sinh 𝑢-1)\right\}\left\{\frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\cosh 𝑢\mathrm{d𝑢}\right\}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}+({𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}){\sinh }^2𝑢}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}& \text{←}\text{(136)}\text{・}\text{(138)}\text{・}\text{(139)式}\text{を代入した。}\\ \hfill \int \frac{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\sinh 𝑢-1)\frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\cosh 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\sqrt{1+{\sinh }^2𝑢}}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \int \frac{\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\sinh 𝑢-1)\frac{1}{\sqrt{-𝑘}}\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\cosh 𝑢\mathrm{d𝑢}}{\sqrt{{𝐾}_{𝑟}+\frac{{{𝐾}_{𝑚}}^2}{4𝑘}}\cosh 𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}\int (\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\sinh 𝑢-1)\mathrm{d𝑢}& =& \pm \int 𝑐\mathrm{d𝑡}\\ \hfill \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\cosh 𝑢-𝑢)& =& \pm 𝑐𝑡& \text{（積分定数を0とした。）}\\ \hfill \pm \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\cosh 𝑢-𝑢)& =& 𝑡& \text{(140)}\end{array}$$ のようになる。(140)・(138)式が媒介変数表示による解である。今回はいつものように「𝑢 が負でもよいことにする代わりに複号を取り払う」ことはできない。改めて解の媒介変数表示を書いておくと、 $$\begin{array}{l}\{\begin{array}{ll}𝑡=\pm \frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑐{(-𝑘)}^{\frac{3}{2}}}(\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\cosh 𝑢-𝑢)& \text{(141)}\\ 𝑎=\frac{{𝐾}_{𝑚}}{-2𝑘}(\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}\sinh 𝑢-1)& \text{(142)}\end{array}\\ \text{（ただし}-\infty <𝑢<\infty \text{）}\end{array}$$ である。複号が+の解のうち $𝑢\geqq \mathrm{arsinh}\frac{1}{\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}}$ の部分は、時刻 $𝑡=\frac{1}{𝑐\sqrt{-𝑘}}(\sqrt{\frac{{𝐾}_{𝑟}}{-𝑘}}+\frac{{𝐾}_{𝑚}}{2𝑘}\mathrm{arsinh}\frac{1}{\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}})$ に 𝑎 = 0 から始まって減速膨張し、無限の未来に等速膨張になり 𝑎 → ∞ になる宇宙である。複号が−の解のうち $𝑢\geqq \mathrm{arsinh}\frac{1}{\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}}$ の部分はその時間反転である。複号にかかわらず $𝑢<\mathrm{arsinh}\frac{1}{\sqrt{\frac{-4𝑘{𝐾}_{𝑟}}{{{𝐾}_{𝑚}}^2}-1}}$ の部分は 𝑎 < 0 となって物理的に無意味である。