1.1.1 計量テンソル

クリストッフェル記号の定義は $$𝛤^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}=\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜆𝜌}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}})\text{(2)}$$ である。見てわかるように、(2)式を計算するためには計量の反変テンソルおよび（共変テンソルの）1階微分が必要になるのでまずそれを求める。

計量の反変テンソルは共変テンソルの逆行列であるが、今は対角行列であるから対角成分を逆数にするだけでよいので $$\left({𝑔}^{𝜇𝜈}\right)=\left(\begin{array}{cccc}-\frac{1}{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}}& 0& 0& 0\\ 0& 1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{1}{{𝑟}^2}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{1}{{𝑟}^2{\sin }^2𝜃}\end{array}\right)\text{(3)}$$ である。共変テンソルの1階微分のうち0でない成分は $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{00}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\{-(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}\left)\right\}\\ & =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}(-1+\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})\\ & =& -\frac{{𝑟}_{𝑠}}{{𝑟}^2}& \text{(4)}\\ \hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{11}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\frac{1}{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}}\\ & =& -\frac{\frac{{𝑟}_{𝑠}}{{𝑟}^2}}{{(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})}^2}\\ & =& -\frac{{𝑟}_{𝑠}}{{𝑟}^2{(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})}^2}& \text{(5)}\\ \hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{22}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}{𝑟}^2\\ & =& 2𝑟& \text{(6)}\\ \hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑟}}\left({𝑟}^2{\sin }^2𝜃\right)\\ & =& 2𝑟{\sin }^2𝜃& \text{(7)}\\ \hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝜃}}\left({𝑟}^2{\sin }^2𝜃\right)\\ & =& 2{𝑟}^2\sin 𝜃\cos 𝜃& \text{(8)}\end{array}$$ である。これら以外の成分はすべて0である。

1.1.2 計量が対角行列のときに限って使える公式

慌てて(3)〜(8)式を(2)式に代入して具体的な表式を求めようとすると、計算の途中で何度も同じようなことを考えなければならず損である。計量が(1)式のような対角行列の場合は(2)式の定義式が大幅に簡略化されるのだ。この話は「シュバルツシルト解（外部解）の導出」の記事の「計量が対角行列のときに限って使えるクリストッフェル記号の公式」のところに書いたので、ここでは結果だけを書く。

計量が対角行列のときに限り、クリストッフェル記号は 𝛤 の3つの添え字のパターンに応じて次のようになる。以下①〜④の欄に限り、アインシュタインの縮約記法を使っておらず、同じ添え字が2回現れても和を取ってはならない。

1.1.3 クリストッフェル記号の計算

あとは1.1.1節で求めた計量テンソルとその微分を1.1.2節で導出した公式に代入するだけである。

①のパターンは、 $\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}$ が0でないのは(5)式の 𝜆 = 1 の場合だけであるから、 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝛤^1{}_1{}_1& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{11}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{11}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& \frac{1}{2}(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})\{-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{{𝑟}^2{(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})}^2}\}\\ & =& -\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})}\end{array}$$ であり、これ以外の場合は0である。②のパターンは、 $\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}$ が0でないのは(4)・(6)〜(8)式の場合であるから、 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝛤^1{}_0{}_0& =& -\frac{1}{2}{𝑔}^{11}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{00}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& -\frac{1}{2}(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})(-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{{𝑟}^2})\\ & =& \frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2}(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})\\ \hfill 𝛤^1{}_2{}_2& =& -\frac{1}{2}{𝑔}^{11}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{22}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& -\frac{1}{2}(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})\left(2𝑟\right)\\ & =& -𝑟(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})\\ \hfill 𝛤^1{}_3{}_3& =& -\frac{1}{2}{𝑔}^{11}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& -\frac{1}{2}(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})\left(2𝑟{\sin }^2𝜃\right)\\ & =& -𝑟(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){\sin }^2𝜃\\ \hfill 𝛤^2{}_3{}_3& =& -\frac{1}{2}{𝑔}^{22}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}\\ & =& -\frac{1}{2}\left(\frac{1}{{𝑟}^2}\right)\left(2{𝑟}^2\sin 𝜃\cos 𝜃\right)\\ & =& -\sin 𝜃\cos 𝜃\end{array}$$ であり、これら以外の場合は0である。③のパターンは、 $\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}$ が0でないのは(4)・(6)〜(8)式の場合であるから、 $$\begin{array}{lll}\hfill 𝛤^0{}_0{}_1=𝛤^0{}_1{}_0& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{00}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{00}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& \frac{1}{2}(-\frac{1}{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}})(-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{{𝑟}^2})\\ & =& \frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})}\\ \hfill 𝛤^2{}_2{}_1=𝛤^2{}_1{}_2& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{22}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{22}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{{𝑟}^2}\right)\left(2𝑟\right)\\ & =& \frac{1}{𝑟}\\ \hfill 𝛤^3{}_3{}_1=𝛤^3{}_1{}_3& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{33}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^1}\\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{{𝑟}^2{\sin }^2𝜃}\right)\left(2𝑟{\sin }^2𝜃\right)\\ & =& \frac{1}{𝑟}\\ \hfill 𝛤^3{}_3{}_2=𝛤^3{}_2{}_3& =& \frac{1}{2}{𝑔}^{33}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{33}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^2}\\ & =& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{{𝑟}^2{\sin }^2𝜃}\right)\left(2{𝑟}^2\sin 𝜃\cos 𝜃\right)\\ & =& \frac{\cos 𝜃}{\sin 𝜃}\\ & =& \cot 𝜃\end{array}$$ であり、これら以外の場合は0である。④のパターンはすべて0である。以上でクリストッフェル記号のすべての成分が求まった。

1.2.1 ラグランジアン

相対性理論の教科書で自由粒子のラグランジアンとしてよく出てくるものは $-𝑚𝑐\sqrt{-{𝑔}_{𝜇𝜈}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}}$ （ただし 𝑚 は質量、 𝑐 は光速、 ${𝑢}^{𝜇}\equiv \frac{{\mathrm{d𝑥}}^{𝜇}}{\mathrm{d𝜏}}$ は四元速度、 𝜏 は固有時）である。もしも電荷・電磁場の影響がある場合は別の項が加わる。ここで −𝑚𝑐 は定数なのであまり気にしなくてよいが、ルートがついているのが面倒である。しかし電磁場の影響がない場合、ルートの中身 $$𝐿\equiv {𝑔}_{𝜇𝜈}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}\text{(9)}$$ だけをラグランジアンとしても運動方程式が得られる。本当にそうなのか念のため確認してみよう。(9)式をオイラーラグランジュ方程式に代入すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝜏}}\left(\frac{\mathrm{\partial 𝐿}}{{\mathrm{\partial 𝑢}}^{𝜌}}\right)-\frac{\mathrm{\partial 𝐿}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}& =& 0\\ \hfill \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝜏}}\left\{\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑢}}^{𝜌}}\left({𝑔}_{𝜇𝜈}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}\right)\right\}-\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}\left({𝑔}_{𝜇𝜈}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}\right)& =& 0\\ \hfill \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝜏}}({𝑔}_{𝜇𝜈}\frac{{\mathrm{\partial 𝑢}}^{𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑢}}^{𝜌}}{𝑢}^{𝜈}+{𝑔}_{𝜇𝜈}{𝑢}^{𝜇}\frac{{\mathrm{\partial 𝑢}}^{𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑢}}^{𝜌}})-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\\ \hfill \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝜏}}({𝑔}_{𝜇𝜈}𝛿_{𝜌}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}+{𝑔}_{𝜇𝜈}{𝑢}^{𝜇}𝛿_{𝜌}^{𝜈})-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\\ \hfill \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝜏}}({𝑔}_{𝜌𝜈}{𝑢}^{𝜈}+{𝑔}_{𝜇𝜌}{𝑢}^{𝜇})-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\\ \hfill \frac{{\mathrm{d𝑔}}_{𝜌𝜈}}{\mathrm{d𝜏}}{𝑢}^{𝜈}+{𝑔}_{𝜌𝜈}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜈}}{\mathrm{d𝜏}}+\frac{{\mathrm{d𝑔}}_{𝜇𝜌}}{\mathrm{d𝜏}}{𝑢}^{𝜇}+{𝑔}_{𝜇𝜌}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜇}}{\mathrm{d𝜏}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\\ \hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜌𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}\frac{{\mathrm{d𝑥}}^{𝜇}}{\mathrm{d𝜏}}{𝑢}^{𝜈}+{𝑔}_{𝜌𝜈}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜈}}{\mathrm{d𝜏}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}\frac{{\mathrm{d𝑥}}^{𝜈}}{\mathrm{d𝜏}}{𝑢}^{𝜇}+{𝑔}_{𝜇𝜌}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜇}}{\mathrm{d𝜏}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\\ \hfill \frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜌𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}+{𝑔}_{𝜌𝜈}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜈}}{\mathrm{d𝜏}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}{𝑢}^{𝜈}{𝑢}^{𝜇}+{𝑔}_{𝜇𝜌}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜇}}{\mathrm{d𝜏}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\\ \hfill {𝑔}_{𝜌𝜈}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜈}}{\mathrm{d𝜏}}+{𝑔}_{𝜇𝜌}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜇}}{\mathrm{d𝜏}}+(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜌𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}){𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\end{array}$$ 両辺に $\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜆𝜌}$ をかけて縮約 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{1}{2}{𝑔}^{𝜆𝜌}\{{𝑔}_{𝜌𝜈}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜈}}{\mathrm{d𝜏}}+{𝑔}_{𝜇𝜌}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜇}}{\mathrm{d𝜏}}+(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜌𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}){𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}\}& =& 0\\ \hfill \frac{1}{2}{𝑔}^{𝜆𝜌}{𝑔}_{𝜌𝜈}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜈}}{\mathrm{d𝜏}}+\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜆𝜌}{𝑔}_{𝜇𝜌}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜇}}{\mathrm{d𝜏}}+\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜆𝜌}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜌𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}){𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\\ \hfill \frac{1}{2}𝛿_{𝜈}^{𝜆}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜈}}{\mathrm{d𝜏}}+\frac{1}{2}𝛿_{𝜇}^{𝜆}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜇}}{\mathrm{d𝜏}}+\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜆𝜌}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜌𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}){𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\\ \hfill \frac{1}{2}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜆}}{\mathrm{d𝜏}}+\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜆}}{\mathrm{d𝜏}}+𝛤^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\\ \hfill \frac{{\mathrm{d𝑢}}^{𝜆}}{\mathrm{d𝜏}}+𝛤^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}& =& 0\end{array}$$ となって、確かに測地線方程式（自由粒子の運動方程式）が導かれた。よってラグランジアンとして(9)式の 𝐿 を採用する。今、計量は(1)式であるから、 𝐿 の具体的な表式は $$\begin{array}{lll}\hfill 𝐿& =& {𝑔}_{𝜇𝜈}{𝑢}^{𝜇}{𝑢}^{𝜈}\\ & =& -(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){\dot{𝑤}}^2+\frac{1}{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}}{\dot{𝑟}}^2+{𝑟}^2{\dot{𝜃}}^2+{𝑟}^2{\sin }^2𝜃{\dot{𝜑}}^2& \text{(10)}\end{array}$$ のようになる。ただしドット ˙ は固有時 𝜏 による微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝜏}}$ を表す。

1.2.2 オイラーラグランジュ方程式と測地線方程式の比較

今から第0〜3成分のそれぞれのオイラーラグランジュ方程式に(10)式の 𝐿 を代入する。

しかし一気に代入すると式が横長になって見にくくなるので、先に $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝜏}}\left(\frac{\mathrm{\partial 𝐿}}{{\mathrm{\partial 𝑢}}^{𝜌}}\right)$ と $\frac{\mathrm{\partial 𝐿}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜌}}$ を別々に計算してからオイラーラグランジュ方程式に代入することにする。

以上でクリストッフェル記号のすべての成分が求まった。