シュバルツシルト解(外部解)のリーマン曲率テンソル(1)

シュバルツシルト解(外部解)のリッチテンソルはゼロであるが、リーマンテンソル(リーマン曲率テンソル)はゼロではない。ではリーマンテンソルの値はどうなっているのか、そのすべての成分を計算してみよう。

目次

第1章 シュバルツシルト解のクリストッフェル記号

リーマンテンソルを求めるためにはクリストッフェル記号がいるので、先にそれを求める。

最初に座標を定義する。ここで用いる座標系は一般的なシュバルツシルト座標である。座標変数は以下とする。

𝑥⁰ = 𝑤 (= 𝑐𝑡)
時間座標
𝑥¹ = 𝑟
動径座標
𝑥² = 𝜃
角度座標(緯度:北極が0)
𝑥³ = 𝜑
角度座標(経度)

ただしシュバルツシルト半径の内側では 𝑥¹ = 𝑟 は時間座標、 𝑥⁰ = 𝑤 はよくわからない空間座標である。

シュバルツシルト解の線素は d𝑠2 = 𝑔𝜇𝜈d𝑥𝜇d𝑥𝜈 = (1𝑟𝑠𝑟)d𝑤2 +11𝑟𝑠𝑟d𝑟2 +𝑟2d𝜃2 +𝑟2sin2𝜃d𝜑2 である。計量テンソル(共変テンソル)は 𝑔𝜇𝜈= ( (1𝑟𝑠𝑟) 0 0 0 0 11𝑟𝑠𝑟 0 0 00𝑟20 000𝑟2sin2𝜃 ) (1) であり、行列で表せば対角行列となる。ここで 𝑟𝑠 はシュバルツシルト半径である。これを元にしてクリストッフェル記号を計算する

さて、重力場の方程式を解いてシュバルツシルト解(外部解)を見つけたとき、クリストッフェル記号を未知関数で表したはずだ。そのときの計算用紙が残っているなら、そこに解を代入すれば終わりである。「シュバルツシルト解(外部解)の導出」の記事の(24)式が未知関数で表したクリストッフェル記号であり、その記事の(58)(57)式が未知関数の解であるから、それを代入すれば答えが求まる。その結果、クリストッフェル記号のうち0でない成分は以下のようになる。

𝛤100 = 𝑟𝑠2𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟) , 𝛤001= 𝛤010= 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) , 𝛤111 = 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) , 𝛤212= 𝛤221= 1𝑟 , 𝛤313= 𝛤331= 1𝑟 , 𝛤122 = 𝑟(1𝑟𝑠𝑟) , 𝛤323= 𝛤332= cot𝜃 , 𝛤133 = 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 , 𝛤233 = sin𝜃cos𝜃

結果だけを知りたいならクリストッフェル記号についてはこれで完了だ。

ここからは、復習も兼ねて改めて(1)式の計量テンソルからクリストッフェル記号を求める計算を行ってみる。

シュバルツシルト解に限らず一般的に、計量テンソルをもとにクリストッフェル記号を求める手順は大きく分けて2つある(図1)。

計量テンソルからクリストッフェル記号や測地線方程式を求める2つの手順の図
図1. クリストッフェル記号や測地線方程式を求める2つの手順

1つ目は図1の赤色で示したように、クリストッフェル記号の定義式に計量を代入して定義どおりに計算する方法である。2つ目は図1の青色で示したように、最小作用の原理を使って具体的な測地線方程式を求め、それを測地線方程式の一般形と比較して係数を定める方法である。以下で両方の方法で計算する。

1.1 定義にしたがってクリストッフェル記号を求める

この節では図1の赤色で示した手順でクリストッフェル記号を求める。

1.1.1 計量テンソル

クリストッフェル記号の定義は 𝛤𝜆𝜇𝜈 = 12 𝑔𝜆𝜌 ( ∂𝑔𝜈𝜌∂𝑥𝜇 + ∂𝑔𝜇𝜌∂𝑥𝜈 ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌 ) (2) である。見てわかるように、(2)式を計算するためには計量の反変テンソルおよび(共変テンソルの)1階微分が必要になるのでまずそれを求める。

計量の反変テンソルは共変テンソルの逆行列であるが、今は対角行列であるから対角成分を逆数にするだけでよいので 𝑔𝜇𝜈= ( 11𝑟𝑠𝑟 0 0 0 0 1𝑟𝑠𝑟 0 0 001𝑟20 0 0 0 1𝑟2sin2𝜃 ) (3) である。共変テンソルの1階微分のうち0でない成分は ∂𝑔00∂𝑥1 = ∂𝑟 {(1𝑟𝑠𝑟)} = ∂𝑟 (1+𝑟𝑠𝑟) = 𝑟𝑠𝑟2 (4) ∂𝑔11∂𝑥1 = ∂𝑟11𝑟𝑠𝑟 = 𝑟𝑠𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟)2 = 𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟)2 (5) ∂𝑔22∂𝑥1 = ∂𝑟𝑟2 =2𝑟(6) ∂𝑔33∂𝑥1 = ∂𝑟(𝑟2sin2𝜃) = 2𝑟sin2𝜃 (7) ∂𝑔33∂𝑥2 = ∂𝜃(𝑟2sin2𝜃) = 2𝑟2sin𝜃cos𝜃 (8) である。これら以外の成分はすべて0である。

1.1.2 計量が対角行列のときに限って使える公式

慌てて(3)(8)式(2)式に代入して具体的な表式を求めようとすると、計算の途中で何度も同じようなことを考えなければならず損である。計量が(1)式のような対角行列の場合は(2)式の定義式が大幅に簡略化されるのだ。この話は「シュバルツシルト解(外部解)の導出」の記事の「計量が対角行列のときに限って使えるクリストッフェル記号の公式」のところに書いたので、ここでは結果だけを書く。

計量が対角行列のときに限り、クリストッフェル記号は 𝛤 の3つの添え字のパターンに応じて次のようになる。以下①〜④の欄に限り、アインシュタインの縮約記法を使っておらず、同じ添え字が2回現れても和を取ってはならない。

① 3つの添え字がすべて等しい成分
𝛤𝜆𝜆𝜆 = 12𝑔𝜆𝜆 ∂𝑔𝜆𝜆∂𝑥𝜆
② 上付添え字のみが異なり、2つの下付添え字が等しい成分
𝛤𝜆𝜇𝜇 = 12𝑔𝜆𝜆 ∂𝑔𝜇𝜇∂𝑥𝜆
③ 一方の下付添え字のみが異なり、他方の下付添え字と上付添え字が等しい成分
𝛤𝜆𝜆𝜇 = 𝛤𝜆𝜇𝜆 = 12𝑔𝜆𝜆 ∂𝑔𝜆𝜆∂𝑥𝜇
④ 3つの添え字がすべて異なる成分
𝛤𝜆𝜇𝜈=0

1.1.3 クリストッフェル記号の計算

あとは1.1.1節で求めた計量テンソルとその微分を1.1.2節で導出した公式に代入するだけである。

①のパターンは、 ∂𝑔𝜆𝜆∂𝑥𝜆 が0でないのは(5)式の 𝜆 = 1 の場合だけであるから、 𝛤111 = 12𝑔11 ∂𝑔11∂𝑥1 = 12(1𝑟𝑠𝑟) { 𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟)2 } = 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) であり、これ以外の場合は0である。②のパターンは、 ∂𝑔𝜇𝜇∂𝑥𝜆 が0でないのは(4)(6)〜(8)式の場合であるから、 𝛤100 = 12𝑔11 ∂𝑔00∂𝑥1 = 12(1𝑟𝑠𝑟) (𝑟𝑠𝑟2) = 𝑟𝑠2𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟) 𝛤122 = 12𝑔11 ∂𝑔22∂𝑥1 = 12(1𝑟𝑠𝑟) (2𝑟) = 𝑟(1𝑟𝑠𝑟) 𝛤133 = 12𝑔11 ∂𝑔33∂𝑥1 = 12(1𝑟𝑠𝑟) (2𝑟sin2𝜃) = 𝑟(1𝑟𝑠𝑟) sin2𝜃 𝛤233 = 12𝑔22 ∂𝑔33∂𝑥2 = 12(1𝑟2) (2𝑟2sin𝜃cos𝜃) =sin𝜃cos𝜃 であり、これら以外の場合は0である。③のパターンは、 ∂𝑔𝜆𝜆∂𝑥𝜇 が0でないのは(4)(6)〜(8)式の場合であるから、 𝛤001 = 𝛤010 = 12𝑔00 ∂𝑔00∂𝑥1 = 12 (11𝑟𝑠𝑟) (𝑟𝑠𝑟2) = 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) 𝛤221 = 𝛤212 = 12𝑔22 ∂𝑔22∂𝑥1 = 12 (1𝑟2) (2𝑟) =1𝑟 𝛤331 = 𝛤313 = 12𝑔33 ∂𝑔33∂𝑥1 = 12 (1𝑟2sin2𝜃) (2𝑟sin2𝜃) =1𝑟 𝛤332 = 𝛤323 = 12𝑔33 ∂𝑔33∂𝑥2 = 12 (1𝑟2sin2𝜃) (2𝑟2sin𝜃cos𝜃) =cos𝜃sin𝜃 =cot𝜃 であり、これら以外の場合は0である。④のパターンはすべて0である。以上でクリストッフェル記号のすべての成分が求まった。

1.2 最小作用の原理からクリストッフェル記号を求める

この節では図1の青色で示した手順でクリストッフェル記号を求める。

1.2.1 ラグランジアン

相対性理論の教科書で自由粒子のラグランジアンとしてよく出てくるものは 𝑚𝑐𝑔𝜇𝜈𝑢𝜇𝑢𝜈 (ただし 𝑚 は質量、 𝑐 は光速、 𝑢𝜇d𝑥𝜇d𝜏 は四元速度、 𝜏 は固有時)である。もしも電荷・電磁場の影響がある場合は別の項が加わる。ここで −𝑚𝑐 は定数なのであまり気にしなくてよいが、ルートがついているのが面倒である。しかし電磁場の影響がない場合、ルートの中身 𝐿𝑔𝜇𝜈𝑢𝜇𝑢𝜈 (9) だけをラグランジアンとしても運動方程式が得られる。本当にそうなのか念のため確認してみよう。(9)式をオイラーラグランジュ方程式に代入すると、 dd𝜏(∂𝐿∂𝑢𝜌) ∂𝐿∂𝑥𝜌 = 0 dd𝜏 { ∂𝑢𝜌 (𝑔𝜇𝜈𝑢𝜇𝑢𝜈) } ∂𝑥𝜌 (𝑔𝜇𝜈𝑢𝜇𝑢𝜈) = 0 dd𝜏 ( 𝑔𝜇𝜈 ∂𝑢𝜇∂𝑢𝜌 𝑢𝜈 + 𝑔𝜇𝜈 𝑢𝜇 ∂𝑢𝜈∂𝑢𝜌 ) ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌 𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 dd𝜏 ( 𝑔𝜇𝜈𝛿𝜌𝜇𝑢𝜈 +𝑔𝜇𝜈𝑢𝜇𝛿𝜌𝜈 ) ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 dd𝜏 ( 𝑔𝜌𝜈𝑢𝜈 +𝑔𝜇𝜌𝑢𝜇 ) ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 d𝑔𝜌𝜈d𝜏𝑢𝜈 +𝑔𝜌𝜈d𝑢𝜈d𝜏 +d𝑔𝜇𝜌d𝜏𝑢𝜇 +𝑔𝜇𝜌d𝑢𝜇d𝜏 ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 ∂𝑔𝜌𝜈∂𝑥𝜇 d𝑥𝜇d𝜏 𝑢𝜈 +𝑔𝜌𝜈d𝑢𝜈d𝜏 + ∂𝑔𝜇𝜌∂𝑥𝜈 d𝑥𝜈d𝜏 𝑢𝜇 +𝑔𝜇𝜌d𝑢𝜇d𝜏 ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 ∂𝑔𝜌𝜈∂𝑥𝜇𝑢𝜇𝑢𝜈 +𝑔𝜌𝜈d𝑢𝜈d𝜏 + ∂𝑔𝜇𝜌∂𝑥𝜈𝑢𝜈𝑢𝜇 +𝑔𝜇𝜌d𝑢𝜇d𝜏 ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 𝑔𝜌𝜈d𝑢𝜈d𝜏 +𝑔𝜇𝜌d𝑢𝜇d𝜏 + ( ∂𝑔𝜌𝜈∂𝑥𝜇 +∂𝑔𝜇𝜌∂𝑥𝜈 ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌 ) 𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 両辺に 12𝑔𝜆𝜌 をかけて縮約 12𝑔𝜆𝜌 { 𝑔𝜌𝜈d𝑢𝜈d𝜏 +𝑔𝜇𝜌d𝑢𝜇d𝜏 + ( ∂𝑔𝜌𝜈∂𝑥𝜇 +∂𝑔𝜇𝜌∂𝑥𝜈 ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌 ) 𝑢𝜇𝑢𝜈 } = 0 12𝑔𝜆𝜌 𝑔𝜌𝜈d𝑢𝜈d𝜏 + 12𝑔𝜆𝜌 𝑔𝜇𝜌d𝑢𝜇d𝜏 + 12𝑔𝜆𝜌 ( ∂𝑔𝜌𝜈∂𝑥𝜇 +∂𝑔𝜇𝜌∂𝑥𝜈 ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌 ) 𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 12𝛿𝜈𝜆d𝑢𝜈d𝜏 + 12𝛿𝜇𝜆d𝑢𝜇d𝜏 + 12𝑔𝜆𝜌 ( ∂𝑔𝜌𝜈∂𝑥𝜇 +∂𝑔𝜇𝜌∂𝑥𝜈 ∂𝑔𝜇𝜈∂𝑥𝜌 ) 𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 12d𝑢𝜆d𝜏 + 12d𝑢𝜆d𝜏 + 𝛤𝜆𝜇𝜈 𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 d𝑢𝜆d𝜏 + 𝛤𝜆𝜇𝜈 𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 となって、確かに測地線方程式(自由粒子の運動方程式)が導かれた。よってラグランジアンとして(9)式の 𝐿 を採用する。今、計量は(1)式であるから、 𝐿 の具体的な表式は 𝐿 = 𝑔𝜇𝜈𝑢𝜇𝑢𝜈 = (1𝑟𝑠𝑟)𝑤˙2 + 11𝑟𝑠𝑟𝑟˙2 +𝑟2𝜃˙2 +𝑟2sin2𝜃𝜑˙2 (10) のようになる。ただしドット ˙ は固有時 𝜏 による微分 dd𝜏 を表す。

1.2.2 オイラーラグランジュ方程式と測地線方程式の比較

今から第0〜3成分のそれぞれのオイラーラグランジュ方程式に(10)式の 𝐿 を代入する。

しかし一気に代入すると式が横長になって見にくくなるので、先に dd𝜏(∂𝐿∂𝑢𝜌) ∂𝐿∂𝑥𝜌 を別々に計算してからオイラーラグランジュ方程式に代入することにする。

第0成分(𝑤成分)
dd𝜏(∂𝐿∂𝑢0) = dd𝜏 [ 𝑤˙ { (1𝑟𝑠𝑟)𝑤˙2 + 11𝑟𝑠𝑟 𝑟˙2 +𝑟2𝜃˙2 +𝑟2sin2𝜃𝜑˙2 } ] = dd𝜏 { 2(1𝑟𝑠𝑟)𝑤˙ } = 2 { 𝑟𝑠𝑟2𝑟˙𝑤˙ + (1𝑟𝑠𝑟)𝑤¨ } ∂𝐿∂𝑥0 = 𝑤 { (1𝑟𝑠𝑟)𝑤˙2 + 11𝑟𝑠𝑟 𝑟˙2 +𝑟2𝜃˙2 +𝑟2sin2𝜃𝜑˙2 } =0

であるから、オイラーラグランジュ方程式は、 dd𝜏(∂𝐿∂𝑢0) ∂𝐿∂𝑥0 = 0 2 { 𝑟𝑠𝑟2𝑟˙𝑤˙ + (1𝑟𝑠𝑟)𝑤¨ } 0 = 0 2 { (1𝑟𝑠𝑟)𝑤¨ + 𝑟𝑠𝑟2𝑤˙𝑟˙ } = 0 2(1𝑟𝑠𝑟) { 𝑤¨ + 𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) 𝑤˙𝑟˙ } = 0 2(1𝑟𝑠𝑟) { d𝑢0d𝜏 + 𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) 𝑢0𝑢1 } = 0 のようになる。これの波括弧内と測地線方程式の公式の第0成分 d𝑢0d𝜏 + 𝛤0𝜇𝜈 𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 の係数を比較することにより、クリストッフェル記号は 𝛤001 +𝛤010 = 𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) すなわち 𝛤001= 𝛤010= 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) その他の𝛤0𝜇𝜈は0 であることがわかる。

第1成分(𝑟成分)
dd𝜏(∂𝐿∂𝑢1) = dd𝜏 [ 𝑟˙ { (1𝑟𝑠𝑟)𝑤˙2 + 11𝑟𝑠𝑟 𝑟˙2 +𝑟2𝜃˙2 +𝑟2sin2𝜃𝜑˙2 } ] = dd𝜏 (21𝑟𝑠𝑟𝑟˙) = { 2𝑟𝑠𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟)2 𝑟˙ } 𝑟˙ + 21𝑟𝑠𝑟𝑟¨ = 2𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟)2 𝑟˙2 + 21𝑟𝑠𝑟𝑟¨ ∂𝐿∂𝑥1 = 𝑟 { (1𝑟𝑠𝑟)𝑤˙2 + 11𝑟𝑠𝑟 𝑟˙2 +𝑟2𝜃˙2 +𝑟2sin2𝜃𝜑˙2 } = 𝑟𝑠𝑟2𝑤˙2 𝑟𝑠𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟)2 𝑟˙2 +2𝑟𝜃˙2 +2𝑟sin2𝜃𝜑˙2 = 𝑟𝑠𝑟2𝑤˙2 𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟)2 𝑟˙2 +2𝑟𝜃˙2 +2𝑟sin2𝜃𝜑˙2

であるから、オイラーラグランジュ方程式は、 dd𝜏(∂𝐿∂𝑢1) ∂𝐿∂𝑥1 = 0 { 2𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟)2 𝑟˙2 + 21𝑟𝑠𝑟𝑟¨ } { 𝑟𝑠𝑟2𝑤˙2 𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟)2 𝑟˙2 +2𝑟𝜃˙2 +2𝑟sin2𝜃𝜑˙2 } = 0 21𝑟𝑠𝑟𝑟¨ +𝑟𝑠𝑟2𝑤˙2 𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟)2 𝑟˙2 2𝑟𝜃˙2 2𝑟sin2𝜃𝜑˙2 = 0 21𝑟𝑠𝑟 { 𝑟¨ +𝑟𝑠2𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑤˙2 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) 𝑟˙2 𝑟(1𝑟𝑠𝑟) 𝜃˙2 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 𝜑˙2 } = 0 21𝑟𝑠𝑟 { d𝑢1d𝜏 + 𝑟𝑠2𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟) (𝑢0)2 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) (𝑢1)2 𝑟(1𝑟𝑠𝑟) (𝑢2)2 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 (𝑢3)2 } = 0 のようになる。これの波括弧内と測地線方程式の公式の第1成分 d𝑢1d𝜏 + 𝛤1𝜇𝜈 𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 の係数を比較することにより、クリストッフェル記号は 𝛤100 = 𝑟𝑠2𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟) 𝛤111 = 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) 𝛤122 = 𝑟(1𝑟𝑠𝑟) 𝛤133 = 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 その他の𝛤1𝜇𝜈は0 であることがわかる。

第2成分(𝜃成分)
dd𝜏(∂𝐿∂𝑢2) = dd𝜏 [ 𝜃˙ { (1𝑟𝑠𝑟)𝑤˙2 + 11𝑟𝑠𝑟 𝑟˙2 +𝑟2𝜃˙2 +𝑟2sin2𝜃𝜑˙2 } ] = dd𝜏(2𝑟2𝜃˙) = 2 ( 𝑟2𝜃¨+2𝑟𝑟˙𝜃˙ ) ∂𝐿∂𝑥2 = 𝜃 { (1𝑟𝑠𝑟)𝑤˙2 + 11𝑟𝑠𝑟 𝑟˙2 +𝑟2𝜃˙2 +𝑟2sin2𝜃𝜑˙2 } = 2𝑟2sin𝜃cos𝜃𝜑˙2

であるから、オイラーラグランジュ方程式は、 dd𝜏(∂𝐿∂𝑢2) ∂𝐿∂𝑥2 = 0 2 ( 𝑟2𝜃¨+2𝑟𝑟˙𝜃˙ ) 2𝑟2sin𝜃cos𝜃𝜑˙2 = 0 2𝑟2 ( 𝜃¨ +2𝑟𝑟˙𝜃˙ sin𝜃cos𝜃𝜑˙2 ) = 0 2𝑟2 { d𝑢2d𝜏 +2𝑟𝑢1𝑢2 sin𝜃cos𝜃(𝑢3)2 } = 0 のようになる。これの波括弧内と測地線方程式の公式の第2成分 d𝑢2d𝜏 + 𝛤2𝜇𝜈 𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 の係数を比較することにより、クリストッフェル記号は 𝛤212 +𝛤221 = 2𝑟 すなわち 𝛤212= 𝛤221= 1𝑟 𝛤233 = sin𝜃cos𝜃 その他の𝛤2𝜇𝜈は0 であることがわかる。

第3成分(𝜑成分)
dd𝜏(∂𝐿∂𝑢3) = dd𝜏 [ 𝜑˙ { (1𝑟𝑠𝑟)𝑤˙2 + 11𝑟𝑠𝑟 𝑟˙2 +𝑟2𝜃˙2 +𝑟2sin2𝜃𝜑˙2 } ] = dd𝜏 (2𝑟2sin2𝜃𝜑˙) = 2 ( 2𝑟𝑟˙sin2𝜃𝜑˙ + 2𝑟2sin𝜃cos𝜃𝜃˙𝜑˙ + 𝑟2sin2𝜃𝜑¨ ) ∂𝐿∂𝑥3 = 𝜑 { (1𝑟𝑠𝑟)𝑤˙2 + 11𝑟𝑠𝑟 𝑟˙2 +𝑟2𝜃˙2 +𝑟2sin2𝜃𝜑˙2 } =0

であるから、オイラーラグランジュ方程式は、 dd𝜏(∂𝐿∂𝑢3) ∂𝐿∂𝑥3 = 0 2 ( 2𝑟𝑟˙sin2𝜃𝜑˙ + 2𝑟2sin𝜃cos𝜃𝜃˙𝜑˙ + 𝑟2sin2𝜃𝜑¨ ) 0 = 0 2 ( 𝑟2sin2𝜃𝜑¨ + 2𝑟sin2𝜃𝑟˙𝜑˙ + 2𝑟2sin𝜃cos𝜃𝜃˙𝜑˙ ) = 0 2𝑟2sin2𝜃 ( 𝜑¨ + 2𝑟𝑟˙𝜑˙ + 2cos𝜃sin𝜃𝜃˙𝜑˙ ) = 0 2𝑟2sin2𝜃 ( d𝑢3d𝜏 +2𝑟𝑢1𝑢3 +2cot𝜃𝑢2𝑢3 ) = 0 のようになる。これの括弧内と測地線方程式の公式の第3成分 d𝑢3d𝜏 + 𝛤3𝜇𝜈 𝑢𝜇𝑢𝜈 = 0 の係数を比較することにより、クリストッフェル記号は 𝛤313 +𝛤331 = 2𝑟 すなわち 𝛤313= 𝛤331= 1𝑟 𝛤323 +𝛤332 = 2cot𝜃 すなわち 𝛤323= 𝛤332= cot𝜃 その他の𝛤3𝜇𝜈は0 であることがわかる。

以上でクリストッフェル記号のすべての成分が求まった。

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