シュバルツシルト解(外部解)のリーマン曲率テンソル(4)

2.3 1階反変3階共変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の算出

この節では、公式に基づいてシュバルツシルト解のリーマンテンソルの1階反変3階共変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 を算出する。

もしすでに4階共変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 を算出してあるのなら、それに計量をかけて縮約すれば 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 が求まるので、わざわざリーマンテンソルの公式を使う必要はない。ここではまだ 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 を算出していない前提で 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 を求める。 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 を先に求める計算は前節で行った。

𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 を求める公式である(11)式をもう一度書いておく。

𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 = ∂𝛤𝜅𝜆𝜈∂𝑥𝜇 ∂𝛤𝜅𝜆𝜇∂𝑥𝜈 + 𝛤𝜎𝜆𝜈 𝛤𝜅𝜎𝜇 𝛤𝜎𝜆𝜇 𝛤𝜅𝜎𝜈 (11)

この公式にはクリストッフェル記号とその1階偏微分が含まれている。クリストッフェル記号は第1章で算出したが、その1階偏微分はまだ出てきていないので、0でない成分をここで先にすべて求めておく。この計算は簡単なので結果だけ書いておくと、 ∂𝛤010∂𝑥1= ∂𝛤001∂𝑥1 = 𝑟𝑠(1𝑟𝑠2𝑟) 𝑟3(1𝑟𝑠𝑟)2 (30) ∂𝛤100∂𝑥1 = 𝑟𝑠𝑟3 (13𝑟𝑠2𝑟) (31) ∂𝛤111∂𝑥1 = 𝑟𝑠(1𝑟𝑠2𝑟) 𝑟3(1𝑟𝑠𝑟)2 (32) ∂𝛤212∂𝑥1= ∂𝛤221∂𝑥1 = 1𝑟2 (33) ∂𝛤122∂𝑥1 = 1 (34) ∂𝛤313∂𝑥1= ∂𝛤331∂𝑥1 = 1𝑟2 (35) ∂𝛤133∂𝑥1 = sin2𝜃 (36) ∂𝛤133∂𝑥2 = 2𝑟(1𝑟𝑠𝑟) sin𝜃cos𝜃 (37) ∂𝛤323∂𝑥2= ∂𝛤332∂𝑥2 = 1sin2𝜃 (38) ∂𝛤233∂𝑥2 = (cos2𝜃sin2𝜃) (39) である。クリストッフェル記号の1階偏微分は160個の独立成分があるが今は0でないのはこの10個だけである。(37)式(39)式は sin 2𝜃 や cos 2𝜃 を使ってシンプルに書き換えたくなるかもしれないが、それをしてもどうせこの後の計算で元に戻さなければならないので、このままにしておくのがよい。実は(32)式はこの後で使わないので計算する必要はないのだがついでに書いておいた。

ところで4階共変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 は20個の成分を公式で計算すれば残りの成分は公式を使うよりも楽に求められるのであった。1階反変3階共変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 にもそのような関係はあるのだろうか。 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の対称性の関係を表す(12)(15)式をもう一度書くと、 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈+ 𝑅𝜅𝜆𝜈𝜇=0 (12) 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈+ 𝑅𝜆𝜅𝜇𝜈=0 (13) 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈+ 𝑅𝜅𝜇𝜈𝜆+ 𝑅𝜅𝜈𝜆𝜇=0 (14) 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈=𝑅𝜇𝜈𝜅𝜆 (15) であった。(12)〜(15)式の両辺にそれぞれ計量 𝑔𝜌𝜅 をかけて添え字を上げると、 𝑅𝜌𝜆𝜇𝜈+ 𝑅𝜌𝜆𝜈𝜇=0 (40) 𝑅𝜌𝜆𝜇𝜈+ 𝑅𝜆𝜌𝜇𝜈=0 (41) 𝑅𝜌𝜆𝜇𝜈+ 𝑅𝜌𝜇𝜈𝜆+ 𝑅𝜌𝜈𝜆𝜇=0 (42) 𝑅𝜌𝜆𝜇𝜈= 𝑅𝜇𝜈𝜌𝜆 (43) のようになる。(41)(43)式は1つ目ではない添え字が上がってしまうので 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の関係式としてはそのまま使えない。計算の手間を減らすのに役立つのは一般には(40)(42)式だけのようである。

2.3.1 0になる成分

𝜇 = 𝜈 の場合

𝜇 = 𝜈 の場合は(40)式の関係により、計算するまでもなくいつでも0である。これは4階共変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 のときと同様である。256個のうち64個の成分がこれに該当する。したがって一般には0でない可能性があるのは残りの192成分(𝜇 ≠ 𝜈 の場合)である。

𝜅 = 𝜆 の場合

𝜅 = 𝜆 場合は、(13)式より 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 = 0 であったが、同じように 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 = 0 が成り立つと思ってはいけない。実際、例えば 𝑅1123 = 𝑔1𝜎𝑅𝜎123 = 𝑔10𝑅0123+ 𝑔11𝑅1123+ 𝑔12𝑅2123+ 𝑔13𝑅3123 (44) であって、𝑅₁₁₂₃ = 0 はいつでも成り立つから(44)式の右辺第2項は0であるが右辺第1・3・4項が0になるとは限らない。ただし、計量が対角行列になっているとき(44)式の右辺第1・3・4項の計量が非対角成分だから0になるので、結局 𝑅¹₁₂₃ = 0 になる。したがって、今考えているシュバルツシルト解は計量が対角行列であるから、今は 𝜅 = 𝜆 の場合は 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 = 0 である。この条件によりさらに48成分が0であることがわかり、残りは144成分(𝜇 ≠ 𝜈 かつ 𝜅 ≠ 𝜆 の場合)である。

添え字の数字が4種類の場合

𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の添え字に入る数字が4種類、つまりすべて異なる場合、計量が対角行列になっているときは0になる。その理屈はこうだ。

1.1.2節でやったように計量が対角行列ならば3つの添え字がすべて異なるクリストッフェル記号は0である。したがって、(11)式の第1項のクリストッフェル記号は3つの添え字がすべて異なるので0になる。第2項も同様に0になる。第3項 𝛤𝜎𝜆𝜈 𝛤𝜅𝜎𝜇 が0以外の値になり得るのは、⑴ 𝜎 = 𝜆 または 𝜎 = 𝜈, ⑵ 𝜎 = 𝜅 または 𝜎 = 𝜇 の2つが同時に成り立つときだけである。しかし今は 𝜅, 𝜆, 𝜇, 𝜈 のすべてが異なるから 𝜎 をどのように選んでも同時に⑴・⑵は成り立たない。したがって第3項は0になる。第4項も同様に0になる。この条件によりさらに24成分が0であることがわかり、残りは120成分である。

2.3.2 生き残った成分

まだ値がわからない残っている成分は120個である。ただし(40)式の関係から 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の 𝜇 と 𝜈 を入れ替えたものは −1 倍されるだけであり、このことは(11)式の公式からも自明である。したがって公式から計算すべきなのは多くとも半分の60成分である。

ここからは、添え字の数字が3種類である成分(96個)と添え字の数字が2種類である成分(24個)に分けて述べる。

添え字の数字が3種類の場合

𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の添え字に入る数字が3種類、つまり1組だけ同じ数字がある場合を考える。そのような成分は96個あり、以下の4通りに分けられる。

  • ① 𝜅 = 𝜇 であるもの。例: 𝑅¹₂₁₃
  • ② 𝜅 = 𝜈 であるもの。例: 𝑅¹₂₃₁
  • ③ 𝜆 = 𝜇 であるもの。例: 𝑅²₁₁₃
  • ④ 𝜆 = 𝜈 であるもの。例: 𝑅²₁₃₁

このうち、②は 𝜇 と 𝜈 を入れ替えれば①になり、④は 𝜇 と 𝜈 を入れ替えれば③になる。したがって①と③を公式から算出すれば十分である。

では(11)式に代入してみよう。先に①(𝜅 = 𝜇 であるもの)を計算する。①の中で、まず1組の同じ数字が「0」であるものから片づけることにする。その中の1つは、 𝑅0102 = 𝑅0120 = ∂𝛤012∂𝑥0 ∂𝛤010∂𝑥2 + 𝛤𝜎12 𝛤0𝜎0 𝛤𝜎10 𝛤0𝜎2 =00+00 =0(45) のように計算される。最初なので3番目の等号について詳しく説明しよう。

1行目の右辺の第1項および第2項はクリストッフェル記号の1階偏微分である。これらは(30)〜(39)式の中に同じものがあるかどうかを探し、あればその値を採用し、なければ0とする。今は2つともないので0である。あるいは、今考えているシュバルツシルト解の計量テンソルは対角行列であるから、被微分関数であるクリストッフェル記号の3つの添え字がすべて異なっていればその項は0であることがすぐにわかる。

第3項 𝛤𝜎12 𝛤0𝜎0 は 𝜎 についての縮約であり 0〜3 を代入して和を取ったものであるから実体は4個の項である。クリストッフェル記号の各成分の値は第1章で求めたのでそれを参照すればよい。ここで 𝛤𝜎12 の部分に着目すると、これが0でないのは 𝜎 = 2 のとき(𝛤²₁₂)だけである。また、 𝛤0𝜎0 の部分に着目すると、これが0でないのは 𝜎 = 1 のとき(𝛤⁰₁₀)だけである。したがって 𝛤𝜎12 𝛤0𝜎0 は 𝜎 が何であろうと0であるから第3項全体は0である。

第4項 𝛤𝜎10 𝛤0𝜎2 は第3項と同様に実体は4個の項である。ところが 𝛤0𝜎2 の部分に着目すると、 𝜎 の値が 0〜3 のどれであろうと 𝛤0𝜎2=0 である。したがって 𝛤𝜎10 𝛤0𝜎2 は 𝜎 が何であろうと0であるから第4項全体は0である。

このような考察の結果、2行目は0ばかりになったのである。

残りの成分は同様に、 𝑅0201 = 𝑅0210 = ∂𝛤021∂𝑥0 ∂𝛤020∂𝑥1 + 𝛤𝜎21 𝛤0𝜎0 𝛤𝜎20 𝛤0𝜎1 =00+00 =0(46) 𝑅0103 = 𝑅0130 = ∂𝛤013∂𝑥0 ∂𝛤010∂𝑥3 + 𝛤𝜎13 𝛤0𝜎0 𝛤𝜎10 𝛤0𝜎3 =00+00 =0(47) 𝑅0301 = 𝑅0310 = ∂𝛤031∂𝑥0 ∂𝛤030∂𝑥1 + 𝛤𝜎31 𝛤0𝜎0 𝛤𝜎30 𝛤0𝜎1 =00+00 =0(48) 𝑅0203 = 𝑅0230 = ∂𝛤023∂𝑥0 ∂𝛤020∂𝑥3 + 𝛤𝜎23 𝛤0𝜎0 𝛤𝜎20 𝛤0𝜎3 =00+00 =0(49) 𝑅0302 = 𝑅0320 = ∂𝛤032∂𝑥0 ∂𝛤030∂𝑥2 + 𝛤𝜎32 𝛤0𝜎0 𝛤𝜎30 𝛤0𝜎2 =00+00 =0(50) のようになる。結果だけでなく途中の計算式の項もすべて0になってしまった。ところで今さらだが、この場合は実はもっと簡単に計算できるのである。今は計量テンソルが対角行列であるから、そのことと(15)式を利用すると、例えば、 𝑅0201 = 𝑔0𝜌 𝑅𝜌201 = 𝑔00 𝑅0201 = 𝑔00 𝑅0102 = 𝑔00 𝑔0𝜌 𝑅𝜌102 = 𝑔00 𝑔00 𝑅0102 = 𝑅0102 のようになるので、(45)式(46)式(47)式(48)式(49)式(50)式はそれぞれ値が等しいのである。だから計算効率を求めるなら公式を使って計算しなければならない成分は6通りでなく半分の3通りだけである。だが途中の計算式に出てくる項が両者で大きく異なるので、ここではあえて(11)式の公式を使ったらどうなるかを実演しているのだ。この先も同様である。

続いて1組の同じ数字が「1」や「2」であるものも計算すると、 𝑅1012 = 𝑅1021 = ∂𝛤102∂𝑥1 ∂𝛤101∂𝑥2 + 𝛤𝜎02 𝛤1𝜎1 𝛤𝜎01 𝛤1𝜎2 =00+00 =0 𝑅1210 = 𝑅1201 = ∂𝛤120∂𝑥1 ∂𝛤121∂𝑥0 + 𝛤𝜎20 𝛤1𝜎1 𝛤𝜎21 𝛤1𝜎0 =00+00 =0 𝑅1013 = 𝑅1031 = ∂𝛤103∂𝑥1 ∂𝛤101∂𝑥3 + 𝛤𝜎03 𝛤1𝜎1 𝛤𝜎01 𝛤1𝜎3 =00+00 =0 𝑅1310 = 𝑅1301 = ∂𝛤130∂𝑥1 ∂𝛤131∂𝑥0 + 𝛤𝜎30 𝛤1𝜎1 𝛤𝜎31 𝛤1𝜎0 =00+00 =0 𝑅1213 = 𝑅1231 = ∂𝛤123∂𝑥1 ∂𝛤121∂𝑥3 + 𝛤𝜎23 𝛤1𝜎1 𝛤𝜎21 𝛤1𝜎3 =00+00 =0 𝑅1312 = 𝑅1321 = ∂𝛤132∂𝑥1 ∂𝛤131∂𝑥2 + 𝛤𝜎32 𝛤1𝜎1 𝛤𝜎31 𝛤1𝜎2 =00+00 =0 𝑅2021 = 𝑅2012 = ∂𝛤201∂𝑥2 ∂𝛤202∂𝑥1 + 𝛤𝜎01 𝛤2𝜎2 𝛤𝜎02 𝛤2𝜎1 =00+00 =0 𝑅2120 = 𝑅2102 = ∂𝛤210∂𝑥2 ∂𝛤212∂𝑥0 + 𝛤𝜎10 𝛤2𝜎2 𝛤𝜎12 𝛤2𝜎0 =00+00 =0 𝑅2023 = 𝑅2032 = ∂𝛤203∂𝑥2 ∂𝛤202∂𝑥3 + 𝛤𝜎03 𝛤2𝜎2 𝛤𝜎02 𝛤2𝜎3 =00+00 =0 𝑅2320 = 𝑅2302 = ∂𝛤230∂𝑥2 ∂𝛤232∂𝑥0 + 𝛤𝜎30 𝛤2𝜎2 𝛤𝜎32 𝛤2𝜎0 =00+00 =0 𝑅2123 = 𝑅2132 = ∂𝛤213∂𝑥2 ∂𝛤212∂𝑥3 + 𝛤𝜎13 𝛤2𝜎2 𝛤𝜎12 𝛤2𝜎3 =00+00 =0 𝑅2321 = 𝑅2312 = ∂𝛤231∂𝑥2 ∂𝛤232∂𝑥1 + 𝛤𝜎31 𝛤2𝜎2 𝛤𝜎32 𝛤2𝜎1 =00+00 =0 のようになる。やはりすべて0である。0しか出てこないのだろうか。最後に1組の同じ数字が「3」であるものも計算すると、 𝑅3031 = 𝑅3013 = ∂𝛤301∂𝑥3 ∂𝛤303∂𝑥1 + 𝛤𝜎01 𝛤3𝜎3 𝛤𝜎03 𝛤3𝜎1 =00+00 =0 𝑅3130 = 𝑅3103 = ∂𝛤310∂𝑥3 ∂𝛤313∂𝑥0 + 𝛤𝜎10 𝛤3𝜎3 𝛤𝜎13 𝛤3𝜎0 =00+00 =0 𝑅3032 = 𝑅3023 = ∂𝛤302∂𝑥3 ∂𝛤303∂𝑥2 + 𝛤𝜎02 𝛤3𝜎3 𝛤𝜎03 𝛤3𝜎2 =00+00 =0 𝑅3230 = 𝑅3203 = ∂𝛤320∂𝑥3 ∂𝛤323∂𝑥0 + 𝛤𝜎20 𝛤3𝜎3 𝛤𝜎23 𝛤3𝜎0 =00+00 =0 𝑅3132 = 𝑅3123 = ∂𝛤312∂𝑥3 ∂𝛤313∂𝑥2 + 𝛤𝜎12 𝛤3𝜎3 𝛤𝜎13 𝛤3𝜎2 = 00 + 𝛤212 𝛤323 𝛤313 𝛤332 =1𝑟cot𝜃1𝑟cot𝜃 =0 𝑅3231 = 𝑅3213 = ∂𝛤321∂𝑥3 ∂𝛤323∂𝑥1 + 𝛤𝜎21 𝛤3𝜎3 𝛤𝜎23 𝛤3𝜎1 = 00 + 𝛤221 𝛤323 𝛤323 𝛤331 =1𝑟cot𝜃cot𝜃1𝑟 =0 のようになる。最後の2個になってようやく計算過程で0でない項が現れた。しかし他の項と打ち消しあって最終的には結局0である。

ここまで、①(𝜅 = 𝜇 であるもの)を計算したらすべて0になった。(11)式の公式を使って24通りの計算したが、先ほど書いたように本当にその計算が必要だったのは半分の12通りである。

次は③ (𝜆 = 𝜇 であるもの)であるが、①の24成分がすべて0であることがわかった現段階では、③もすべて0であることが簡単にわかる。今は計量テンソルが対角行列であるから、そのことと(13)式を利用すると、例えば、 𝑅1002 = 𝑔1𝜌 𝑅𝜌002 = 𝑔11 𝑅1002 = 𝑔11 (𝑅0102) = 𝑔11 𝑅0102 = 𝑔11 𝑔0𝜌 𝑅𝜌102 = 𝑔11 𝑔00 𝑅0102 のようになる。ところが(45)式によると 𝑅⁰₁₀₂ は0であったから 𝑅¹₀₀₂ も0になる。このように、①がすべて0なら③もすべて0である。

したがって③に関してはもう(11)式の公式を使って算出する必要はない。ただし③を(11)式に代入したときと①を(11)式に代入したときでは現れる項が大きく異なるし、①より先に③を計算した人がその過程を確認したいかもしれないので、ここではあえて(11)式を使って③を算出する過程も載せておく。この先の24通りの式は、計算結果が欲しいだけなら蛇足である。

𝑅1002 = 𝑅1020 = ∂𝛤102∂𝑥0 ∂𝛤100∂𝑥2 + 𝛤𝜎02 𝛤1𝜎0 𝛤𝜎00 𝛤1𝜎2 =00+00 =0 𝑅2001 = 𝑅2010 = ∂𝛤201∂𝑥0 ∂𝛤200∂𝑥1 + 𝛤𝜎01 𝛤2𝜎0 𝛤𝜎00 𝛤2𝜎1 =00+00 =0 𝑅1003 = 𝑅1030 = ∂𝛤103∂𝑥0 ∂𝛤100∂𝑥3 + 𝛤𝜎03 𝛤1𝜎0 𝛤𝜎00 𝛤1𝜎3 =00+00 =0 𝑅3001 = 𝑅3010 = ∂𝛤301∂𝑥0 ∂𝛤300∂𝑥1 + 𝛤𝜎01 𝛤3𝜎0 𝛤𝜎00 𝛤3𝜎1 =00+00 =0 𝑅2003 = 𝑅2030 = ∂𝛤203∂𝑥0 ∂𝛤200∂𝑥3 + 𝛤𝜎03 𝛤2𝜎0 𝛤𝜎00 𝛤2𝜎3 =00+00 =0 𝑅3002 = 𝑅3020 = ∂𝛤302∂𝑥0 ∂𝛤300∂𝑥2 + 𝛤𝜎02 𝛤3𝜎0 𝛤𝜎00 𝛤3𝜎2 =00+00 =0 𝑅0112 = 𝑅0121 = ∂𝛤012∂𝑥1 ∂𝛤011∂𝑥2 + 𝛤𝜎12 𝛤0𝜎1 𝛤𝜎11 𝛤0𝜎2 =00+00 =0 𝑅2110 = 𝑅2101 = ∂𝛤210∂𝑥1 ∂𝛤211∂𝑥0 + 𝛤𝜎10 𝛤2𝜎1 𝛤𝜎11 𝛤2𝜎0 =00+00 =0 𝑅0113 = 𝑅0131 = ∂𝛤013∂𝑥1 ∂𝛤011∂𝑥3 + 𝛤𝜎13 𝛤0𝜎1 𝛤𝜎11 𝛤0𝜎3 =00+00 =0 𝑅3110 = 𝑅3101 = ∂𝛤310∂𝑥1 ∂𝛤311∂𝑥0 + 𝛤𝜎10 𝛤3𝜎1 𝛤𝜎11 𝛤3𝜎0 =00+00 =0 𝑅2113 = 𝑅2131 = ∂𝛤213∂𝑥1 ∂𝛤211∂𝑥3 + 𝛤𝜎13 𝛤2𝜎1 𝛤𝜎11 𝛤2𝜎3 =00+00 =0 𝑅3112 = 𝑅3121 = ∂𝛤312∂𝑥1 ∂𝛤311∂𝑥2 + 𝛤𝜎12 𝛤3𝜎1 𝛤𝜎11 𝛤3𝜎2 =00+00 =0 𝑅0221 = 𝑅0212 = ∂𝛤021∂𝑥2 ∂𝛤022∂𝑥1 + 𝛤𝜎21 𝛤0𝜎2 𝛤𝜎22 𝛤0𝜎1 =00+00 =0 𝑅1220 = 𝑅1202 = ∂𝛤120∂𝑥2 ∂𝛤122∂𝑥0 + 𝛤𝜎20 𝛤1𝜎2 𝛤𝜎22 𝛤1𝜎0 =00+00 =0 𝑅0223 = 𝑅0232 = ∂𝛤023∂𝑥2 ∂𝛤022∂𝑥3 + 𝛤𝜎23 𝛤0𝜎2 𝛤𝜎22 𝛤0𝜎3 =00+00 =0 𝑅3220 = 𝑅3202 = ∂𝛤320∂𝑥2 ∂𝛤322∂𝑥0 + 𝛤𝜎20 𝛤3𝜎2 𝛤𝜎22 𝛤3𝜎0 =00+00 =0 𝑅1223 = 𝑅1232 = ∂𝛤123∂𝑥2 ∂𝛤122∂𝑥3 + 𝛤𝜎23 𝛤1𝜎2 𝛤𝜎22 𝛤1𝜎3 =00+00 =0 𝑅3221 = 𝑅3212 = ∂𝛤321∂𝑥2 ∂𝛤322∂𝑥1 + 𝛤𝜎21 𝛤3𝜎2 𝛤𝜎22 𝛤3𝜎1 =00+00 =0 𝑅0331 = 𝑅0313 = ∂𝛤031∂𝑥3 ∂𝛤033∂𝑥1 + 𝛤𝜎31 𝛤0𝜎3 𝛤𝜎33 𝛤0𝜎1 =00+00 =0 𝑅1330 = 𝑅1303 = ∂𝛤130∂𝑥3 ∂𝛤133∂𝑥0 + 𝛤𝜎30 𝛤1𝜎3 𝛤𝜎33 𝛤1𝜎0 =00+00 =0 𝑅0332 = 𝑅0323 = ∂𝛤032∂𝑥3 ∂𝛤033∂𝑥2 + 𝛤𝜎32 𝛤0𝜎3 𝛤𝜎33 𝛤0𝜎2 =00+00 =0 𝑅2330 = 𝑅2303 = ∂𝛤230∂𝑥3 ∂𝛤233∂𝑥0 + 𝛤𝜎30 𝛤2𝜎3 𝛤𝜎33 𝛤2𝜎0 =00+00 =0 𝑅1332 = 𝑅1323 = ∂𝛤132∂𝑥3 ∂𝛤133∂𝑥2 + 𝛤𝜎32 𝛤1𝜎3 𝛤𝜎33 𝛤1𝜎2 = 0 ∂𝛤133∂𝑥2 + 𝛤332 𝛤133 𝛤233 𝛤122 = { 2𝑟(1𝑟𝑠𝑟) sin𝜃cos𝜃 } + cot𝜃 { 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 } (sin𝜃cos𝜃) {𝑟(1𝑟𝑠𝑟)} = 2𝑟(1𝑟𝑠𝑟) sin𝜃cos𝜃 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin𝜃cos𝜃 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin𝜃cos𝜃 =0 𝑅2331 = 𝑅2313 = ∂𝛤231∂𝑥3 ∂𝛤233∂𝑥1 + 𝛤𝜎31 𝛤2𝜎3 𝛤𝜎33 𝛤2𝜎1 = 00 + 𝛤331 𝛤233 𝛤233 𝛤221 = 𝛤233 ( 𝛤331 𝛤221 ) = (sin𝜃cos𝜃) (1𝑟1𝑟) =0

以上のように確かにすべて0になる。22番目までは結果だけでなく途中の計算式の項もすべて0になる。最後の2個になってようやく計算過程で0でない項が現れた。しかし他の項と打ち消しあって最終的には結局0である。

添え字の数字が2種類の場合

最後に、 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の添え字に入る数字が2種類、つまり同じ数字の組が2組ある場合を考える。そのような成分は24個あり、以下の2通りに分けられる。

  • ⑤ 𝜅 = 𝜇 ≠ 𝜆 = 𝜈 であるもの。例: 𝑅¹₂₁₂
  • ⑥ 𝜅 = 𝜈 ≠ 𝜆 = 𝜇 であるもの。例: 𝑅¹₂₂₁

このうち、⑥は 𝜇 と 𝜈 を入れ替えれば⑤になる。したがって⑤を公式から算出すれば十分である。

では(11)式に代入してみよう。

𝑅0101 = 𝑅0110 = ∂𝛤011∂𝑥0 ∂𝛤010∂𝑥1 + 𝛤𝜎11 𝛤0𝜎0 𝛤𝜎10 𝛤0𝜎1 = 0 ∂𝛤010∂𝑥1 + 𝛤111 𝛤010 𝛤010 𝛤001 = ∂𝛤010∂𝑥1 + 𝛤010 ( 𝛤111 𝛤001 ) = { 𝑟𝑠(1𝑟𝑠2𝑟) 𝑟3(1𝑟𝑠𝑟)2 } + 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) [ { 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) } 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) ] = 𝑟𝑠(1𝑟𝑠2𝑟) 𝑟3(1𝑟𝑠𝑟)2 + 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) { 𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) } = 𝑟𝑠(1𝑟𝑠2𝑟) 𝑟3(1𝑟𝑠𝑟)2 𝑟𝑠2 2𝑟4 (1𝑟𝑠𝑟)2 = 𝑟𝑠 𝑟3(1𝑟𝑠𝑟)2 { (1𝑟𝑠2𝑟) 𝑟𝑠2𝑟 } = 𝑟𝑠 𝑟3(1𝑟𝑠𝑟)2 (1𝑟𝑠𝑟) = 𝑟𝑠 𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅1010 = 𝑅1001 = ∂𝛤100∂𝑥1 ∂𝛤101∂𝑥0 + 𝛤𝜎00 𝛤1𝜎1 𝛤𝜎01 𝛤1𝜎0 = ∂𝛤100∂𝑥1 0 + 𝛤100 𝛤111 𝛤001 𝛤100 = ∂𝛤100∂𝑥1 + 𝛤100 ( 𝛤111 𝛤001 ) = { 𝑟𝑠𝑟3 (13𝑟𝑠2𝑟) } + { 𝑟𝑠2𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟) } [ { 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) } 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) ] = 𝑟𝑠𝑟3 (13𝑟𝑠2𝑟) + 𝑟𝑠2𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟) { 𝑟𝑠 𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) } = 𝑟𝑠𝑟3 (13𝑟𝑠2𝑟) 𝑟𝑠22𝑟4 = 𝑟𝑠𝑟3 { (13𝑟𝑠2𝑟) +𝑟𝑠2𝑟 } = 𝑟𝑠𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅0202 = 𝑅0220 = ∂𝛤022∂𝑥0 ∂𝛤020∂𝑥2 + 𝛤𝜎22 𝛤0𝜎0 𝛤𝜎20 𝛤0𝜎2 = 00 + 𝛤122 𝛤010 0 = {𝑟(1𝑟𝑠𝑟)} 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) =𝑟𝑠2𝑟 𝑅2020 = 𝑅2002 = ∂𝛤200∂𝑥2 ∂𝛤202∂𝑥0 + 𝛤𝜎00 𝛤2𝜎2 𝛤𝜎02 𝛤2𝜎0 = 00 + 𝛤100 𝛤212 0 = { 𝑟𝑠2𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟) } 1𝑟 = 𝑟𝑠2𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅0303 = 𝑅0330 = ∂𝛤033∂𝑥0 ∂𝛤030∂𝑥3 + 𝛤𝜎33 𝛤0𝜎0 𝛤𝜎30 𝛤0𝜎3 = 00 + 𝛤133 𝛤010 0 = { 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 } 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) = 𝑟𝑠2𝑟sin2𝜃 𝑅3030 = 𝑅3003 = ∂𝛤300∂𝑥3 ∂𝛤303∂𝑥0 + 𝛤𝜎00 𝛤3𝜎3 𝛤𝜎03 𝛤3𝜎0 = 00 + 𝛤100 𝛤313 0 = { 𝑟𝑠2𝑟2 (1𝑟𝑠𝑟) } 1𝑟 = 𝑟𝑠2𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅1212 = 𝑅1221 = ∂𝛤122∂𝑥1 ∂𝛤121∂𝑥2 + 𝛤𝜎22 𝛤1𝜎1 𝛤𝜎21 𝛤1𝜎2 = ∂𝛤122∂𝑥1 0 + 𝛤122 𝛤111 𝛤221 𝛤122 = (1) + {𝑟(1𝑟𝑠𝑟)} { 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) } 1𝑟 {𝑟(1𝑟𝑠𝑟)} = 1 +𝑟𝑠2𝑟 +(1𝑟𝑠𝑟) =𝑟𝑠2𝑟 𝑅2121 = 𝑅2112 = ∂𝛤211∂𝑥2 ∂𝛤212∂𝑥1 + 𝛤𝜎11 𝛤2𝜎2 𝛤𝜎12 𝛤2𝜎1 = 0 ∂𝛤212∂𝑥1 + 𝛤111 𝛤212 𝛤212 𝛤221 = (1𝑟2) + { 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) } 1𝑟 1𝑟1𝑟 = 1𝑟2 𝑟𝑠 2𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 1𝑟2 = 𝑟𝑠 2𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅1313 = 𝑅1331 = ∂𝛤133∂𝑥1 ∂𝛤131∂𝑥3 + 𝛤𝜎33 𝛤1𝜎1 𝛤𝜎31 𝛤1𝜎3 = ∂𝛤133∂𝑥1 0 + 𝛤133 𝛤111 𝛤331 𝛤133 = (sin2𝜃) + { 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 } { 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) } 1𝑟 { 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 } = sin2𝜃 +𝑟𝑠2𝑟sin2𝜃 +(1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 = ( 1 +𝑟𝑠2𝑟 +1𝑟𝑠𝑟 ) sin2𝜃 = 𝑟𝑠2𝑟sin2𝜃 𝑅3131 = 𝑅3113 = ∂𝛤311∂𝑥3 ∂𝛤313∂𝑥1 + 𝛤𝜎11 𝛤3𝜎3 𝛤𝜎13 𝛤3𝜎1 = 0 ∂𝛤313∂𝑥1 + 𝛤111 𝛤313 𝛤313 𝛤331 = (1𝑟2) + { 𝑟𝑠 2𝑟2(1𝑟𝑠𝑟) } 1𝑟 1𝑟1𝑟 = 1𝑟2 𝑟𝑠 2𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 1𝑟2 = 𝑟𝑠 2𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅2323 = 𝑅2332 = ∂𝛤233∂𝑥2 ∂𝛤232∂𝑥3 + 𝛤𝜎33 𝛤2𝜎2 𝛤𝜎32 𝛤2𝜎3 = ∂𝛤233∂𝑥2 0 + 𝛤133 𝛤212 𝛤332 𝛤233 = {(cos2𝜃sin2𝜃)} + { 𝑟(1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 } 1𝑟 cot𝜃(sin𝜃cos𝜃) = (cos2𝜃sin2𝜃) (1𝑟𝑠𝑟)sin2𝜃 +cos2𝜃 = cos2𝜃 +sin2𝜃 sin2𝜃 +𝑟𝑠𝑟sin2𝜃 +cos2𝜃 =𝑟𝑠𝑟sin2𝜃 𝑅3232 = 𝑅3223 = ∂𝛤322∂𝑥3 ∂𝛤323∂𝑥2 + 𝛤𝜎22 𝛤3𝜎3 𝛤𝜎23 𝛤3𝜎2 = 0 ∂𝛤323∂𝑥2 + 𝛤122 𝛤313 𝛤323 𝛤332 = (1sin2𝜃) + {𝑟(1𝑟𝑠𝑟)} 1𝑟 cot𝜃cot𝜃 = 1sin2𝜃 (1𝑟𝑠𝑟) cos2𝜃sin2𝜃 = 1cos2𝜃sin2𝜃 (1𝑟𝑠𝑟) = sin2𝜃sin2𝜃 1+𝑟𝑠𝑟 =11+𝑟𝑠𝑟 =𝑟𝑠𝑟

12通りの計算式で24成分が求まった。いずれも0でない値になった。

ここでも①や③のときと同様に、もっと楽な方法がある。今は計量テンソルが対角行列であるから、そのことと(12)・(13)式を利用すると、例えば、 𝑅1010 = 𝑔1𝜌 𝑅𝜌010 = 𝑔11 𝑅1010 = 𝑔11 𝑅0101 = 𝑔11 𝑔0𝜌 𝑅𝜌101 = 𝑔11 𝑔00 𝑅0101 (51) のようになるから、 𝑅⁰₁₀₁ を求めた後で 𝑅¹₀₁₀ を求めるときは(11)式の公式を使うよりも(51)式を使う方が簡単である。これを利用すれば、(11)式を使った計算は12通りでなく半分の6通りで済む。

結局、すべての場合をまとめると公式に具体的な添え字を代入して計算する必要があったのは①の12通りと⑤の6通りの計18通りである。

以上のような計算により表1のとおり 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 のすべての成分が求まった。

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