シュバルツシルト解(外部解)のリーマン曲率テンソル(5)

2.4 ついでに4階反変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 まで

2.2節2.3節でシュバルツシルト解の4階共変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 と1階反変3階共変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 を算出した。ところで1階反変3階共変テンソルは 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 だけでなく 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 や 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 や 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 といったものもある。また、他にも2階反変2階共変テンソルとか3階反変1階共変テンソルとか4階反変テンソルも当然ある。

それらを求めて何か得があるかどうかは知らないが、とりあえずついでに求めたものを載せておく。やり方は、計量テンソルを使って添え字を上げていくだけである。つまり、 𝑅0101 = 𝑔1𝜌 𝑅0𝜌01 = 𝑔11 𝑅0101 のような要領で計算できる。シュバルツシルト解の場合は計量テンソルが対角行列であるからこのように簡単にできるのであって、一般の場合は地道に縮約の計算をやらなければならない。

2.4.1 4階共変テンソル

4階共変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈表2のとおりである。0でない成分をもう一度ここに書いておく。

𝑅0101 =𝑅0110 = 𝑅1010 =𝑅1001 =𝑟𝑠𝑟3 𝑅0202 =𝑅0220 = 𝑅2020 =𝑅2002 = 𝑟𝑠2𝑟 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅0303 =𝑅0330 = 𝑅3030 =𝑅3003 = 𝑟𝑠2𝑟 (1𝑟𝑠𝑟) sin2𝜃 𝑅1212 =𝑅1221 = 𝑅2121 =𝑅2112 = 𝑟𝑠2𝑟(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅1313 =𝑅1331 = 𝑅3131 =𝑅3113 = 𝑟𝑠2𝑟(1𝑟𝑠𝑟) sin2𝜃 𝑅2323 =𝑅2332 = 𝑅3232 =𝑅3223 =𝑟𝑠𝑟sin2𝜃

2.4.2 1階反変3階共変テンソル

1階反変3階共変テンソルのうち、 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈表1のとおりである。他に 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 や 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 や 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 を含めて、0でない成分は次のようになる。

𝑅1010 =𝑅1001 = 𝑅0101 =𝑅0110 = 𝑅1010 =𝑅0110 = 𝑅0101 =𝑅1001 = 𝑟𝑠𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅2020 =𝑅2002 = 𝑅0202 =𝑅0220 = 𝑅2020 =𝑅0220 = 𝑅0202 =𝑅2002 = 𝑟𝑠2𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅3030 =𝑅3003 = 𝑅0303 =𝑅0330 = 𝑅3030 =𝑅0330 = 𝑅0303 =𝑅3003 = 𝑟𝑠2𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅0101 =𝑅0110 = 𝑅1010 =𝑅1001 = 𝑅0101 =𝑅1001 = 𝑅1010 =𝑅0110 = 𝑟𝑠 𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅2121 =𝑅2112 = 𝑅1212 =𝑅1221 = 𝑅2121 =𝑅1221 = 𝑅1212 =𝑅2112 = 𝑟𝑠 2𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅3131 =𝑅3113 = 𝑅1313 =𝑅1331 = 𝑅3131 =𝑅1331 = 𝑅1313 =𝑅3113 = 𝑟𝑠 2𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅0202 =𝑅0220 = 𝑅2020 =𝑅2002 = 𝑅0202 =𝑅2002 = 𝑅2020 =𝑅0220 =𝑟𝑠2𝑟 𝑅1212 =𝑅1221 = 𝑅2121 =𝑅2112 = 𝑅1212 =𝑅2112 = 𝑅2121 =𝑅1221 =𝑟𝑠2𝑟 𝑅3232 =𝑅3223 = 𝑅2323 =𝑅2332 = 𝑅3232 =𝑅2332 = 𝑅2323 =𝑅3223 =𝑟𝑠𝑟 𝑅0303 =𝑅0330 = 𝑅3030 =𝑅3003 = 𝑅0303 =𝑅3003 = 𝑅3030 =𝑅0330 =𝑟𝑠2𝑟sin2𝜃 𝑅1313 =𝑅1331 = 𝑅3131 =𝑅3113 = 𝑅1313 =𝑅3113 = 𝑅3131 =𝑅1331 =𝑟𝑠2𝑟sin2𝜃 𝑅2323 =𝑅2332 = 𝑅3232 =𝑅3223 = 𝑅2323 =𝑅3223 = 𝑅3232 =𝑅2332 =𝑟𝑠𝑟sin2𝜃

どれも似たようなパターンである。

2.4.3 2階反変2階共変テンソル

2階反変2階共変テンソルは全部を一気に書くとややこしいので2回に分ける。まず 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 と 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の0でない成分は次のようになる。

𝑅0101 =𝑅0110 = 𝑅1010 =𝑅1001 = 𝑅0101 =𝑅0110 = 𝑅1010 =𝑅1001 =𝑟𝑠𝑟3 𝑅0202 =𝑅0220 = 𝑅2020 =𝑅2002 = 𝑅0202 =𝑅0220 = 𝑅2020 =𝑅2002 =𝑟𝑠2𝑟3 𝑅0303 =𝑅0330 = 𝑅3030 =𝑅3003 = 𝑅0303 =𝑅0330 = 𝑅3030 =𝑅3003 =𝑟𝑠2𝑟3 𝑅1212 =𝑅1221 = 𝑅2121 =𝑅2112 = 𝑅1212 =𝑅1221 = 𝑅2121 =𝑅2112 =𝑟𝑠2𝑟3 𝑅1313 =𝑅1331 = 𝑅3131 =𝑅3113 = 𝑅1313 =𝑅1331 = 𝑅3131 =𝑅3113 =𝑟𝑠2𝑟3 𝑅2323 =𝑅2332 = 𝑅3232 =𝑅3223 = 𝑅2323 =𝑅2332 = 𝑅3232 =𝑅3223 =𝑟𝑠𝑟3

この場合はかなり単純な形になった。続いて 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 と 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 と 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 と 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の0でない成分は次のようになる。

𝑅0110 =𝑅1001 = 𝑅0101 = 𝑅1010 = 𝑅0101 = 𝑅1010 =𝑅0110 =𝑅1001 =𝑟𝑠𝑟3 𝑅0220 =𝑅2002 = 𝑅0202 = 𝑅2020 = 𝑅0202 = 𝑅2020 =𝑅0220 =𝑅2002 =𝑟𝑠2𝑟3 𝑅0330 =𝑅3003 = 𝑅0303 = 𝑅3030 = 𝑅0303 = 𝑅3030 =𝑅0330 =𝑅3003 =𝑟𝑠2𝑟3 𝑅1221 =𝑅2112 = 𝑅1212 = 𝑅2121 = 𝑅1212 = 𝑅2121 =𝑅1221 =𝑅2112 =𝑟𝑠2𝑟3 𝑅1331 =𝑅3113 = 𝑅1313 = 𝑅3131 = 𝑅1313 = 𝑅3131 =𝑅1331 =𝑅3113 =𝑟𝑠2𝑟3 𝑅2332 =𝑅3223 = 𝑅2323 = 𝑅3232 = 𝑅2323 = 𝑅3232 =𝑅2332 =𝑅3223 =𝑟𝑠𝑟3 𝑅1010 =𝑅1001 =𝑅0110 = 𝑅0101 = 𝑟𝑠𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟)2 𝑅2020 =𝑅2002 =𝑅0220 = 𝑅0202 = 𝑟𝑠2𝑟5 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅3030 =𝑅3003 =𝑅0330 = 𝑅0303 = 𝑟𝑠2𝑟5sin2𝜃 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅0101 =𝑅0110 =𝑅1001 = 𝑅1010 = 𝑟𝑠 𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟)2 𝑅2121 =𝑅2112 =𝑅1221 = 𝑅1212 = 𝑟𝑠 2𝑟5(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅3131 =𝑅3113 =𝑅1331 = 𝑅1313 = 𝑟𝑠 2𝑟5(1𝑟𝑠𝑟) sin2𝜃 𝑅0202 =𝑅0220 =𝑅2002 = 𝑅2020 = 𝑟𝑠 2𝑟(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅1212 =𝑅1221 =𝑅2112 = 𝑅2121 = 𝑟𝑠2𝑟 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅3232 =𝑅3223 =𝑅2332 = 𝑅2323 =𝑟𝑠𝑟3sin2𝜃 𝑅0303 =𝑅0330 =𝑅3003 = 𝑅3030 = 𝑟𝑠 2𝑟(1𝑟𝑠𝑟) sin2𝜃 𝑅1313 =𝑅1331 =𝑅3113 = 𝑅3131 = 𝑟𝑠2𝑟 (1𝑟𝑠𝑟) sin2𝜃 𝑅2323 =𝑅2332 =𝑅3223 = 𝑅3232 =𝑟𝑠𝑟3sin2𝜃

今度はそれほど単純ではない。ただ添え字が上にあっても下にあっても、0でない成分がそれぞれ24個であることは変わらない。

2.4.4 3階反変1階共変テンソル

3階反変1階共変テンソルは、 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 と 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 と 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 と 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の0でない成分は次のようになる。

𝑅0101 =𝑅1001 = 𝑅1010 =𝑅0110 = 𝑅0101 =𝑅0110 = 𝑅1010 =𝑅1001 = 𝑟𝑠 𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅0202 =𝑅2002 = 𝑅2020 =𝑅0220 = 𝑅0202 =𝑅0220 = 𝑅2020 =𝑅2002 = 𝑟𝑠 2𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅0303 =𝑅3003 = 𝑅3030 =𝑅0330 = 𝑅0303 =𝑅0330 = 𝑅3030 =𝑅3003 = 𝑟𝑠 2𝑟3(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅1010 =𝑅0110 = 𝑅0101 =𝑅1001 = 𝑅1010 =𝑅1001 = 𝑅0101 =𝑅0110 = 𝑟𝑠𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅1212 =𝑅2112 = 𝑅2121 =𝑅1221 = 𝑅1212 =𝑅1221 = 𝑅2121 =𝑅2112 = 𝑟𝑠2𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅1313 =𝑅3113 = 𝑅3131 =𝑅1331 = 𝑅1313 =𝑅1331 = 𝑅3131 =𝑅3113 = 𝑟𝑠2𝑟3 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅2020 =𝑅0220 = 𝑅0202 =𝑅2002 = 𝑅2020 =𝑅2002 = 𝑅0202 =𝑅0220 =𝑟𝑠2𝑟5 𝑅2121 =𝑅1221 = 𝑅1212 =𝑅2112 = 𝑅2121 =𝑅2112 = 𝑅1212 =𝑅1221 =𝑟𝑠2𝑟5 𝑅2323 =𝑅3223 = 𝑅3232 =𝑅2332 = 𝑅2323 =𝑅2332 = 𝑅3232 =𝑅3223 =𝑟𝑠𝑟5 𝑅3030 =𝑅0330 = 𝑅0303 =𝑅3003 = 𝑅3030 =𝑅3003 = 𝑅0303 =𝑅0330 =𝑟𝑠2𝑟5sin2𝜃 𝑅3131 =𝑅1331 = 𝑅1313 =𝑅3113 = 𝑅3131 =𝑅3113 = 𝑅1313 =𝑅1331 =𝑟𝑠2𝑟5sin2𝜃 𝑅3232 =𝑅2332 = 𝑅2323 =𝑅3223 = 𝑅3232 =𝑅3223 = 𝑅2323 =𝑅2332 =𝑟𝑠𝑟5sin2𝜃

どれも似たようなパターンである。

2.4.5 4階反変テンソル

4階反変テンソル 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 の0でない成分は次のようになる。

𝑅0101 =𝑅0110 = 𝑅1010 =𝑅1001 =𝑟𝑠𝑟3 𝑅0202 =𝑅0220 = 𝑅2020 =𝑅2002 = 𝑟𝑠 2𝑟5(1𝑟𝑠𝑟) 𝑅0303 =𝑅0330 = 𝑅3030 =𝑅3003 = 𝑟𝑠 2𝑟5(1𝑟𝑠𝑟) sin2𝜃 𝑅1212 =𝑅1221 = 𝑅2121 =𝑅2112 = 𝑟𝑠2𝑟5 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅1313 =𝑅1331 = 𝑅3131 =𝑅3113 = 𝑟𝑠2𝑟5sin2𝜃 (1𝑟𝑠𝑟) 𝑅2323 =𝑅2332 = 𝑅3232 =𝑅3223 =𝑟𝑠𝑟7sin2𝜃

以上で添え字の上下にかかわらずシュバルツシルト解(外部解)のリーマンテンソルのすべての成分が求まった。

2.5 リーマンテンソルの2乗 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈

𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 という量を考えてみる。これはリーマンテンソルの2乗であり、スカラーであるから値は座標系によらない。

これを求める方法はいろいろあるが、まずは馬鹿正直にこのまま代入すると、2.4.1節2.4.5節の結果を使えばよいから、 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 = + 𝑅0101𝑅0101 +𝑅0110𝑅0110 +𝑅1010𝑅1010 +𝑅1001𝑅1001 +𝑅0202𝑅0202 +𝑅0220𝑅0220 +𝑅2020𝑅2020 +𝑅2002𝑅2002 +𝑅0303𝑅0303 +𝑅0330𝑅0330 +𝑅3030𝑅3030 +𝑅3003𝑅3003 +𝑅1212𝑅1212 +𝑅1221𝑅1221 +𝑅2121𝑅2121 +𝑅2112𝑅2112 +𝑅1313𝑅1313 +𝑅1331𝑅1331 +𝑅3131𝑅3131 +𝑅3113𝑅3113 +𝑅2323𝑅2323 +𝑅2332𝑅2332 +𝑅3232𝑅3232 +𝑅3223𝑅3223 = + 𝑅0101𝑅0101 + (𝑅0101) (𝑅0101) +𝑅0101𝑅0101 + (𝑅0101) (𝑅0101) +𝑅0202𝑅0202 + (𝑅0202) (𝑅0202) +𝑅0202𝑅0202 + (𝑅0202) (𝑅0202) +𝑅0303𝑅0303 + (𝑅0303) (𝑅0303) +𝑅0303𝑅0303 + (𝑅0303) (𝑅0303) +𝑅1212𝑅1212 + (𝑅1212) (𝑅1212) +𝑅1212𝑅1212 + (𝑅1212) (𝑅1212) +𝑅1313𝑅1313 + (𝑅1313) (𝑅1313) +𝑅1313𝑅1313 + (𝑅1313) (𝑅1313) +𝑅2323𝑅2323 + (𝑅2323) (𝑅2323) +𝑅2323𝑅2323 + (𝑅2323) (𝑅2323) = + 4𝑅0101𝑅0101 + 4𝑅0202𝑅0202 + 4𝑅0303𝑅0303 + 4𝑅1212𝑅1212 + 4𝑅1313𝑅1313 + 4𝑅2323𝑅2323 = +4 (𝑟𝑠𝑟3) (𝑟𝑠𝑟3) +4 { 𝑟𝑠2𝑟 (1𝑟𝑠𝑟) } 𝑟𝑠 2𝑟5(1𝑟𝑠𝑟) +4 { 𝑟𝑠2𝑟 (1𝑟𝑠𝑟) sin2𝜃 } 𝑟𝑠 2𝑟5(1𝑟𝑠𝑟) sin2𝜃 +4 { 𝑟𝑠2𝑟(1𝑟𝑠𝑟) } { 𝑟𝑠2𝑟5 (1𝑟𝑠𝑟) } +4 { 𝑟𝑠2𝑟(1𝑟𝑠𝑟) sin2𝜃 } { 𝑟𝑠2𝑟5sin2𝜃 (1𝑟𝑠𝑟) } +4 (𝑟𝑠𝑟sin2𝜃) 𝑟𝑠𝑟7sin2𝜃 = 4𝑟𝑠2𝑟6 +𝑟𝑠2𝑟6 +𝑟𝑠2𝑟6 +𝑟𝑠2𝑟6 +𝑟𝑠2𝑟6 +4𝑟𝑠2𝑟6 =12𝑟𝑠2𝑟6 のようになる。楽をしたいなら、 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 = 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 であるから2.4.3節の結果を使って 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 = + 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 = + 𝑅0101 𝑅0101 + 𝑅0110 𝑅0110 + 𝑅1010 𝑅1010 + 𝑅1001 𝑅1001 + 𝑅0202 𝑅0202 + 𝑅0220 𝑅0220 + 𝑅2020 𝑅2020 + 𝑅2002 𝑅2002 + 𝑅0303 𝑅0303 + 𝑅0330 𝑅0330 + 𝑅3030 𝑅3030 + 𝑅3003 𝑅3003 + 𝑅1212 𝑅1212 + 𝑅1221 𝑅1221 + 𝑅2121 𝑅2121 + 𝑅2112 𝑅2112 + 𝑅1313 𝑅1313 + 𝑅1331 𝑅1331 + 𝑅3131 𝑅3131 + 𝑅3113 𝑅3113 + 𝑅2323 𝑅2323 + 𝑅2332 𝑅2332 + 𝑅3232 𝑅3232 + 𝑅3223 𝑅3223 = + 𝑅0101 𝑅0101 + (𝑅0101) (𝑅0101) + 𝑅0101 𝑅0101 + (𝑅0101) (𝑅0101) + 𝑅0202 𝑅0202 + (𝑅0202) (𝑅0202) + 𝑅0202 𝑅0202 + (𝑅0202) (𝑅0202) + 𝑅0303 𝑅0303 + (𝑅0303) (𝑅0303) + 𝑅0303 𝑅0303 + (𝑅0303) (𝑅0303) + 𝑅1212 𝑅1212 + (𝑅1212) (𝑅1212) + 𝑅1212 𝑅1212 + (𝑅1212) (𝑅1212) + 𝑅1313 𝑅1313 + (𝑅1313) (𝑅1313) + 𝑅1313 𝑅1313 + (𝑅1313) (𝑅1313) + 𝑅2323 𝑅2323 + (𝑅2323) (𝑅2323) + 𝑅2323 𝑅2323 + (𝑅2323) (𝑅2323) = 4 (𝑅0101) 2 +4 (𝑅0202) 2 +4 (𝑅0303) 2 +4 (𝑅1212) 2 +4 (𝑅1313) 2 +4 (𝑅2323) 2 = 4(𝑟𝑠𝑟3)2 +4 (𝑟𝑠2𝑟3)2 +4 (𝑟𝑠2𝑟3)2 +4 (𝑟𝑠2𝑟3)2 +4 (𝑟𝑠2𝑟3)2 +4(𝑟𝑠𝑟3)2 = 4𝑟𝑠2𝑟6 +𝑟𝑠2𝑟6 +𝑟𝑠2𝑟6 +𝑟𝑠2𝑟6 +𝑟𝑠2𝑟6 +4𝑟𝑠2𝑟6 =12𝑟𝑠2𝑟6 のように計算することもできる。各成分が単純であるのと、2.4.5節まで計算する必要がなく2.4.3節の前半までの結果から計算できるので、多少は楽である。

この値 12𝑟𝑠2𝑟6 自体の幾何学的な意味は知らないが、シュバルツシルト解(外部解)のリーマン曲率の大きさのようなものである。もっとも、2乗されているので「大きさ」というなら平方根をとった 23𝑟𝑠𝑟3 の方がよいのかもしれないが。

時空の各点における曲率の大きさを1個の数値で表したいならスカラー曲率(リッチスカラー)があるではないか、と言われればそのとおりである。ただしスカラー曲率やリッチテンソルは物質も電磁場もない真空では0になってしまう。だからシュバルツシルト解(外部解)ではいたる所でスカラー曲率は0である。しかしそれでも時空は曲がっているので、そのような曲がりの大きさを知りたいならリーマンテンソルの2乗を見ればよさそうである。

リーマンテンソルの2乗 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 とスカラー曲率(リッチスカラー) 𝑅 は次のように表すこともできる(ここで 𝑅 に2個の添え字がついたものはリッチテンソルである)。

𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 = 𝑔𝜅𝜌 𝑔𝜆𝜎 𝑔𝜇𝜉 𝑔𝜈𝜁 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈 𝑅𝜌𝜎𝜉𝜁 𝑅=𝑅𝜈𝜈 =𝑅𝜇𝜈𝜇𝜈 = 𝑔𝜅𝜇 𝑔𝜆𝜈 𝑅𝜅𝜆𝜇𝜈

リーマンテンソルが0でないがリッチテンソルやスカラー曲率(リッチスカラー)が0である状況というのは、4次元以上でないと生じないらしい。だから2次元や3次元から連想することもできないので、我々凡人には具体的な状況を思い浮かべることは難しい。

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