2.1.1 リーマンテンソルを求める公式

一般相対性理論のどの教科書にも載っているリーマンテンソルの公式は $$𝑅^{𝜅}{}_{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}=\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜅}{}_{𝜆}{}_{𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜅}{}_{𝜆}{}_{𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}+𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}𝛤^{𝜅}{}_{𝜎}{}_{𝜇}-𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜇}𝛤^{𝜅}{}_{𝜎}{}_{𝜈}\text{(11)}$$ である（ただし符号を逆に定義する流儀もある）。なぜこうなるのかを知りたければ教科書を見て欲しい。

原理的にはこの公式があれば十分で、これで（4次元ならば）256個のすべての成分を算出できる。しかし添え字の値を変えながら256通りもこの計算するのは面倒である。もっと楽に計算できる方法はないのだろうか。

リーマンテンソルにはいろいろな対称性があるので独立な成分は（4次元ならば）20個しかない（その20個が具体的にどの成分であるかは後で述べる）。4階共変テンソルを使ってその対称性を書けば $$\begin{array}{ll}{𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}+{𝑅}_{𝜅𝜆𝜈𝜇}=0& \text{(12)}\\ {𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}+{𝑅}_{𝜆𝜅𝜇𝜈}=0& \text{(13)}\\ {𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}+{𝑅}_{𝜅𝜇𝜈𝜆}+{𝑅}_{𝜅𝜈𝜆𝜇}=0& \text{(14)}\end{array}$$ である。また、これら(12)〜(14)式の関係が成り立てば自動的に $$\begin{array}{ll}{𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}={𝑅}_{𝜇𝜈𝜅𝜆}& \text{(15)}\end{array}$$ も成り立つ。その証明は簡単であるが一応書いておくと、 $$\begin{array}{llll}\hfill {𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}& =& -{𝑅}_{𝜅𝜇𝜈𝜆}-{𝑅}_{𝜅𝜈𝜆𝜇}& \text{←}\text{(14)式}\text{を使った。}\\ & =& {𝑅}_{𝜇𝜅𝜈𝜆}+{𝑅}_{𝜈𝜅𝜆𝜇}& \text{←}\text{(13)式}\text{を使った。}\\ & =& -{𝑅}_{𝜇𝜈𝜆𝜅}-{𝑅}_{𝜇𝜆𝜅𝜈}-{𝑅}_{𝜈𝜆𝜇𝜅}-{𝑅}_{𝜈𝜇𝜅𝜆}& \text{←}\text{(14)式}\text{を使った。}\\ & =& {𝑅}_{𝜇𝜈𝜅𝜆}+{𝑅}_{𝜆𝜇𝜅𝜈}+{𝑅}_{𝜆𝜈𝜇𝜅}+{𝑅}_{𝜇𝜈𝜅𝜆}& \text{←}\text{(12)・(13)式}\text{を使った。}\\ & =& 2{𝑅}_{𝜇𝜈𝜅𝜆}-{𝑅}_{𝜆𝜅𝜈𝜇}& \text{←}\text{(14)式}\text{を使った。}\\ & =& 2{𝑅}_{𝜇𝜈𝜅𝜆}-{𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}& \text{←}\text{(12)・(13)式}\text{を使った。}\\ \hfill 2{𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}& =& 2{𝑅}_{𝜇𝜈𝜅𝜆}\\ \hfill {𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}& =& {𝑅}_{𝜇𝜈𝜅𝜆}\end{array}$$ である。

なお余談であるが、(12)・(13)・(15)式では4つの添え字が前2つの組と後2つの組に分かれるような雰囲気であるのに対して、(14)式だけは1つ目の添え字だけが特別扱いで固定され残り3つが対等になっているように見えるのが気持ち悪いと感じるかもしれない。しかし(14)式に(12)・(13)・(15)式を適用すれば同様に $$\begin{array}{ll}{𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}+{𝑅}_{𝜇𝜆𝜈𝜅}+{𝑅}_{𝜈𝜆𝜅𝜇}=0& \text{（2つ目の添え字を固定）}\\ {𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}+{𝑅}_{𝜆𝜈𝜇𝜅}+{𝑅}_{𝜈𝜅𝜇𝜆}=0& \text{（3つ目の添え字を固定）}\\ {𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}+{𝑅}_{𝜆𝜇𝜅𝜈}+{𝑅}_{𝜇𝜅𝜆𝜈}=0& \text{（4つ目の添え字を固定）}\end{array}$$ が成り立つこともすぐにわかる。このように、どの添え字を固定しても同じような関係式が成り立つのであり、1つ目の添え字が特別だというわけではない。

以上の(12)〜(15)式の関係があるので、 𝑅_{𝜅𝜆𝜇𝜈} は独立な20成分を公式に基づいて算出すれば残りは単純な加減算で求められるし、計算するまでもなくいつでも0である成分も多い。一方、(11)式は 𝑅^𝜅_𝜆𝜇𝜈 を求める公式である。では 𝑅_{𝜅𝜆𝜇𝜈} はどうやって求めるのかといえば、いつものように計量テンソルを使って添え字をおろすだけである。

見てわかるように(16)式は 𝜇 と 𝜈 を入れ替えれば −1 倍になるので、(12)式の関係は自明である。よく見ると、 𝜆 と 𝜇 と 𝜈 をサイクリックに入れ替えると隣の項と打ち消し合うことから、(14)式の関係もわかる。しかし残りの(13)・(15)式の関係が成り立っているかどうかはすぐにはわからない。別にそんなものはわからなくてもリーマンテンソルの算出はできるが、対称性の関係がすぐにわかるような表式はないのだろうか。もちろん、ある。それはこうだ。

(17)式を見れば、 𝜇 と 𝜈 を入れ替えれば−1 倍になるし、 𝜅 と 𝜆 を入れ替れば −1 倍になるし、 𝜅 と 𝜇 を入れ替えると同時に 𝜆 と 𝜈 を入れ替えれば何も変わらないことがわかるので、(12)・(13)・(15)式の対称性がわかる。(14)式の対称性は暗算ではわからないかもしれないが(14)式の左辺に(17)式を代入すれば技巧的な変形をすることなく0になることがわかる。

ここで(16)式と(17)式が本当に同じものであるかどうかを確認しておく。まず(16)式の右辺の括弧を展開すると $${𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}={𝑔}_{𝜅𝜌}\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜌}{}_{𝜆}{}_{𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-{𝑔}_{𝜅𝜌}\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜌}{}_{𝜆}{}_{𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}+{𝑔}_{𝜅𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}𝛤^{𝜌}{}_{𝜎}{}_{𝜇}-{𝑔}_{𝜅𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜇}𝛤^{𝜌}{}_{𝜎}{}_{𝜈}\text{(18)}$$ である。(18)式の右辺の各項を計算すると、第1項は、 $$\begin{array}{lll}\hfill \text{(18)式}\text{の右辺の第1項}& =& {𝑔}_{𝜅𝜌}\frac{\mathrm{\partial 𝛤}^{𝜌}{}_{𝜆}{}_{𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}\\ & =& {𝑔}_{𝜅𝜌}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}\left\{\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜌𝛼}\right(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}}\left)\right\}\\ & =& {𝑔}_{𝜅𝜌}\left\{\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜌𝛼}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}\right(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})+\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}^{𝜌𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}}\left)\right\}\\ & =& \frac{1}{2}{𝑔}_{𝜅𝜌}{𝑔}^{𝜌𝛼}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})+\frac{1}{2}{𝑔}_{𝜅𝜌}\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}^{𝜌𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})\\ & =& \frac{1}{2}{𝑔}_{𝜅𝜌}{𝑔}^{𝜌𝛼}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})+\frac{1}{2}\{\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}\left({𝑔}_{𝜅𝜌}{𝑔}^{𝜌𝛼}\right)-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}{𝑔}^{𝜌𝛼}\}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})\\ & =& \frac{1}{2}𝛿_{𝜅}^{𝛼}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})+\frac{1}{2}(\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}𝛿_{𝜅}^{𝛼}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}{𝑔}^{𝜌𝛼})(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}\left\{𝛿_{𝜅}^{𝛼}\right(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}}\left)\right\}+\frac{1}{2}(0-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}{𝑔}^{𝜌𝛼})(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}\left\{\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜌𝛼}\right(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}}\left)\right\}\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}𝛤^{𝜌}{}_{𝜆}{}_{𝜈}& \text{(19)}\end{array}$$ であり、第3項は、 $$\begin{array}{lll}\hfill \text{(18)式}\text{の右辺の第3項}& =& {𝑔}_{𝜅𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}𝛤^{𝜌}{}_{𝜎}{}_{𝜇}\\ & =& {𝑔}_{𝜅𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}\left\{\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜌𝛼}\right(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜎}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜎𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜎𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}}\left)\right\}\\ & =& \frac{1}{2}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}{𝑔}_{𝜅𝜌}{𝑔}^{𝜌𝛼}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜎}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜎𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜎𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})\\ & =& \frac{1}{2}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}𝛿_{𝜅}^{𝛼}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜎}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜎𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜎𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})\\ & =& \frac{1}{2}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜎}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜎𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜎𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})& \text{(20)}\end{array}$$ であるから、(19)式と(20)式を足せば、 $$\begin{array}{lll}\hfill \text{(18)式}\text{の右辺の第1項+第3項}& =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜌}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}𝛤^{𝜌}{}_{𝜆}{}_{𝜈}+\frac{1}{2}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜎}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜎𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜎𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜎}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}+\frac{1}{2}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜎}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜎}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜎}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})+\frac{1}{2}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}(-2\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜎}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜎}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜎}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜎}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})+\frac{1}{2}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}(-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜎}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜎}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜎}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-\frac{1}{2}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜎}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜎}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜎}})\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-\frac{1}{2}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}𝛿_{𝜎}^{𝛼}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-\frac{1}{2}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}{𝑔}_{𝜎𝜌}{𝑔}^{𝜌𝛼}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}})\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-{𝑔}_{𝜎𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}\left\{\frac{1}{2}{𝑔}^{𝜌𝛼}\right(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝛼}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜅𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝛼}}\left)\right\}\\ & =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-{𝑔}_{𝜎𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}𝛤^{𝜌}{}_{𝜅}{}_{𝜇}& \text{(21)}\end{array}$$ である。続いて(18)式の右辺の第2項と第4項も変形したいが、これらはそれぞれ第1項と第3項の 𝜇 と 𝜈 を入れ替えて −1 倍したものに等しいから、まったく同様に、 $$\text{(18)式}\text{の右辺の第2項+第4項}=-\frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})+{𝑔}_{𝜎𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜇}𝛤^{𝜌}{}_{𝜅}{}_{𝜈}\text{(22)}$$ となる。したがって、(21)式と(22)式を足せば、 $$\begin{array}{lll}\hfill \text{(18)式}\text{の右辺}& =& \frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜈}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-{𝑔}_{𝜎𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}𝛤^{𝜌}{}_{𝜅}{}_{𝜇}-\frac{1}{2}\frac{\partial }{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}(\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜇𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\mathrm{\partial 𝑔}}_{𝜆𝜇}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})+{𝑔}_{𝜎𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜇}𝛤^{𝜌}{}_{𝜅}{}_{𝜈}\\ & =& \frac{1}{2}(\frac{{\partial }^2{𝑔}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\partial }^2{𝑔}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}}-\frac{{\partial }^2{𝑔}_{𝜈𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})-{𝑔}_{𝜎𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}𝛤^{𝜌}{}_{𝜅}{}_{𝜇}-\frac{1}{2}(\frac{{\partial }^2{𝑔}_{𝜇𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\partial }^2{𝑔}_{𝜆𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}}-\frac{{\partial }^2{𝑔}_{𝜇𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}})+{𝑔}_{𝜎𝜌}𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜇}𝛤^{𝜌}{}_{𝜅}{}_{𝜈}\\ & =& \frac{1}{2}(\frac{{\partial }^2{𝑔}_{𝜈𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}}+\frac{{\partial }^2{𝑔}_{𝜇𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}}-\frac{{\partial }^2{𝑔}_{𝜈𝜆}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜇}{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜅}}-\frac{{\partial }^2{𝑔}_{𝜇𝜅}}{{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜈}{\mathrm{\partial 𝑥}}^{𝜆}})+{𝑔}_{𝜎𝜌}(𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜇}𝛤^{𝜌}{}_{𝜅}{}_{𝜈}-𝛤^{𝜎}{}_{𝜆}{}_{𝜈}𝛤^{𝜌}{}_{𝜅}{}_{𝜇})\end{array}$$ となり、(17)式と同じものが導かれた。これで(16)式と(17)式が同じものであることがわかった。

2.1.2 リーマンテンソルの4階共変テンソルの独立な成分

4次元の場合、リーマンテンソルには256個の成分がある。しかし4階共変テンソル 𝑅_{𝜅𝜆𝜇𝜈} を算出する場合、上で述べた対称性があるため(16)式または(17)式等による計算は20個の成分について行えば十分である。その20個の結果を使えば残りの成分はより簡単な手続きで求められる。

まず、 𝜇 = 𝜈 である成分は(12)式の関係により、また 𝜅 = 𝜆 である成分は(13)式の関係により、いずれも計算するまでもなくいつでも0である。256個のうち112個の成分がこれに該当する。したがって0でない可能性があるのは残りの144成分（𝜇 ≠ 𝜈 かつ 𝜅 ≠ 𝜆 である成分）である。それらは(12)・(13)・(15)式の関係に基づいて表3のように21個のグループに分けられる。

1番〜3番のグループは4つの添え字がすべて異なるものである。各グループの先頭に書いてある成分に対して(14)式を適用すると、3個のうち2個が決まれば残り1個が自動的に決まる。つまり1番〜3番の中で独立なグループは2個である

4番〜15番のグループは4つの添え字に入る数字が3種類である。16番〜21番のグループは4つの添え字に入る数字が2種類である。いずれも、(14)式を適用しても同じグループ内の関係が再び現れるだけで新たな関係は増えない。

このようにして21グループのうち1番〜3番のどれか1個を除いた20グループからそれぞれ1成分ずつを選んで公式に当てはめて計算すれば、あとは簡単な手続きで残りのすべての成分がわかる。

ここまで、この節ではシュバルツシルト解に限らずいつでも一般的に使える公式について述べた。次節以降では具体的にシュバルツシルト解のリーマンテンソルを算出する。