2.1 人工衛星の軌道

ニュートン力学に基づいて人工衛星の高度と速度との関係を求める。仮定により人工衛星の軌道は円軌道であるから、その運動方程式は $$-𝑚\frac{{𝑣}^2}{𝑟}=-\frac{𝐺𝑀𝑚}{{𝑟}^2}$$ である。ただし 𝐺 は万有引力定数、 𝑀 は地球の質量、 𝑚 は人工衛星の質量、 𝑟 は人工衛星の軌道半径、 𝑣 は人工衛星の速さである。これを変形すれば、 $${𝑣}^2=\frac{𝐺𝑀}{𝑟}\text{(1)}$$ のようになる。𝑟 は地球中心からの距離であるから、地面からの高度よりも地球半径の分だけ大きい。

2.2 特殊相対論的効果

今は地球の重力があるので厳密には特殊相対性理論は成り立たないが、重力が小さいので近似的に成り立つものとする。

特殊相対性理論によれば運動する物体の時間は遅れるのであった。運動する物体の時間は静止する物体の時間の $\sqrt{1-\frac{{𝑣}^2}{{𝑐}^2}}$ 倍になるというものである。ただし 𝑣 は物体の速さ、 𝑐 は光速である。これに(1)式を代入するのであるが、 $\frac{𝑣}{𝑐}$ の大きさを考えてみると仮に地面すれすれを飛ぶ人工衛星であっても約4万分の1であり1に比べてとても小さい。もっと高いところを飛ぶ人工衛星ではもっと小さい。よって、 $\frac{𝑣}{𝑐}$ の最低次（2次）まで計算し高次の項を無視して(1)式を代入すると $$\begin{array}{lll}\hfill \sqrt{1-\frac{{𝑣}^2}{{𝑐}^2}}& =& {(1-\frac{{𝑣}^2}{{𝑐}^2})}^{\frac{1}{2}}\\ & \approx & 1-\frac{{𝑣}^2}{2{𝑐}^2}\\ & =& 1-\frac{𝐺𝑀}{2{𝑐}^2𝑟}\end{array}$$ である。つまり人工衛星の速度に起因する時間の進み方のずれは経過時間の $-\frac{𝐺𝑀}{2{𝑐}^2𝑟}$ 倍である。

2.3 一般相対論的効果

等価原理によれば重力ポテンシャルが低い場所ほど時間は遅れるのであった。重力があまり強くないとき、重力場中の時間は基準となる場所の時間の $(1+\frac{\mathrm{\Phi }\left(1\right)-\mathrm{\Phi }\left(0\right)}{{𝑐}^2})$ 倍になるというものである。つまり時間の進み方のずれは経過時間の $\frac{\mathrm{\Phi }\left(1\right)-\mathrm{\Phi }\left(0\right)}{{𝑐}^2}$ 倍である。ただし Φ(0) は基準となる場所の重力ポテンシャル、 Φ(1) は問題の場所の重力ポテンシャルである。ここで言っている「重力ポテンシャル」はニュートン力学で計算したものを使えばよい。

地球半径を 𝑅 として、 Φ(0) と Φ(1) をそれぞれ地上と軌道上の重力ポテンシャルとすれば、 $$\begin{array}{l}\mathrm{\Phi }\left(0\right)=-\frac{𝐺𝑀}{𝑅}\\ \mathrm{\Phi }\left(1\right)=-\frac{𝐺𝑀}{𝑟}\end{array}$$ である。したがって重力ポテンシャルの差に起因する時間の進み方のずれは経過時間の $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\mathrm{\Phi }\left(1\right)-\mathrm{\Phi }\left(0\right)}{{𝑐}^2}& =& \frac{(-\frac{𝐺𝑀}{𝑟})-(-\frac{𝐺𝑀}{𝑅})}{{𝑐}^2}\\ & =& -\frac{𝐺𝑀}{{𝑐}^2𝑟}+\frac{𝐺𝑀}{{𝑐}^2𝑅}\end{array}$$ 倍である。 𝑅 < 𝑟 だからこれは正である。

2.4 合計

2.2節の特殊相対論的効果による時間のずれは経過時間の $-\frac{𝐺𝑀}{2{𝑐}^2𝑟}$ 倍であり、2.3節の一般相対論的効果による時間のずれは経過時間の $-\frac{𝐺𝑀}{{𝑐}^2𝑟}+\frac{𝐺𝑀}{{𝑐}^2𝑅}$ 倍であるから、両者を足せば人工衛星の時間のずれが算出できる。つまり、地上の経過時間を 𝛥𝜏(地) 、人工衛星の経過時間を 𝛥𝜏(衛) とすれば、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{衛}\right)-\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{地}\right)}{\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{地}\right)}& =& -\frac{𝐺𝑀}{2{𝑐}^2𝑟}+(-\frac{𝐺𝑀}{{𝑐}^2𝑟}+\frac{𝐺𝑀}{{𝑐}^2𝑅})\\ & =& -\frac{3𝐺𝑀}{2{𝑐}^2𝑟}+\frac{𝐺𝑀}{{𝑐}^2𝑅}& \text{(2)}\end{array}$$ である。これが正なら人工衛星の時間が地上より早く進み、負なら人工衛星の時間が地上より遅く進む。具体的な値がどうなるかは第5章で考える。

以上が第一の方法による計算である。

3.1 線素と測地線方程式

最初に座標を定義する。ここで用いる座標系は一般的なシュバルツシルト座標である。座標変数は以下とする。

𝑥^⁰ = 𝑐𝑡

時間座標（未来方向が正）

𝑥^¹ = 𝑟

動径座標

𝑥^² = 𝜃

角度座標（0 ≦ 𝜃 ≦ 𝜋）

𝑥^³ = 𝜑

角度座標（周期2𝜋、人工衛星の進行方向が正）

ここで人工衛星の軌道が $𝜃=\frac{𝜋}{2}$ （定数）となるようにする。地球の緯度や経度とは関係なく、人工衛星の軌道を基準にして座標系を張るという意味である。球対称であるからこれは可能である。

シュバルツシルト解の線素 d𝑠 の式は以下である。 $${\mathrm{d𝑠}}^2=-{𝑐}^2{\mathrm{d𝜏}}^2=-(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){𝑐}^2{\mathrm{d𝑡}}^2+\frac{1}{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}}{\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2{\mathrm{d𝜃}}^2+{𝑟}^2{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2$$ ただし 𝜏 は固有時、 𝑟_𝑠 はシュバルツシルト半径である。この後で固有時 𝜏 をパラメータとして使う予定なので、全体を d𝜏^² で割って $$-{𝑐}^2=-(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2+\frac{1}{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}}{\left(\frac{\mathrm{d𝑟}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2+{𝑟}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝜃}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2+{𝑟}^2{\sin }^2𝜃{\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2\text{(3)}$$ としておく。 d𝑠 はもう使わないので省略した。

測地線方程式は、 $$\frac{{\mathrm{d}}^2{𝑥}^{𝜆}}{{\mathrm{d𝜎}}^2}+𝛤^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}\frac{{\mathrm{d𝑥}}^{𝜇}}{\mathrm{d𝜎}}\frac{{\mathrm{d𝑥}}^{𝜈}}{\mathrm{d𝜎}}=0\text{(4)}$$ である。ただし 𝜎 はパラメータである。 $𝛤^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}$ にはシュバルツシルト解のクリストッフェル記号を代入すればよい。それは「シュバルツシルト解のリーマン曲率テンソル」の記事の「シュバルツシルト解（外部解）のクリストッフェル記号」のところで求めてあるのでここでは結果だけを書くと、 $$\begin{array}{llll}& 𝛤^1{}_0{}_0=\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2}(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})\text{,}& & \\ 𝛤^0{}_0{}_1=𝛤^0{}_1{}_0=\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})}\text{,}& 𝛤^1{}_1{}_1=-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})}\text{,}& 𝛤^2{}_1{}_2=𝛤^2{}_2{}_1=\frac{1}{𝑟}\text{,}& 𝛤^3{}_1{}_3=𝛤^3{}_3{}_1=\frac{1}{𝑟}\text{,}\\ & 𝛤^1{}_2{}_2=-𝑟(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})\text{,}& & 𝛤^3{}_2{}_3=𝛤^3{}_3{}_2=\cot 𝜃\text{,}\\ & 𝛤^1{}_3{}_3=-𝑟(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){\sin }^2𝜃\text{,}& 𝛤^2{}_3{}_3=-\sin 𝜃\cos 𝜃& \end{array}$$ であり、上記以外の成分は0である。これらのクリストッフェル記号を(4)式に代入し、またパラメータ 𝜎 として固有時 𝜏 を使うことにして 𝜎 = 𝜏 を代入すれば、測地線方程式（運動方程式）は $$\begin{array}{ll}\frac{{\mathrm{d}}^2\left(𝑐𝑡\right)}{{\mathrm{d𝜏}}^2}+\frac{{𝑟}_{𝑠}}{{𝑟}^2(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})}\frac{\mathrm{d}\left(𝑐𝑡\right)}{\mathrm{d𝜏}}\frac{\mathrm{d𝑟}}{\mathrm{d𝜏}}=0& \text{(5)}\\ \frac{{\mathrm{d}}^2𝑟}{{\mathrm{d𝜏}}^2}+\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2}(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){\left(\frac{\mathrm{d}\left(𝑐𝑡\right)}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})}{\left(\frac{\mathrm{d𝑟}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2-𝑟(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){\left(\frac{\mathrm{d𝜃}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2-𝑟(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){\sin }^2𝜃{\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2=0& \text{(6)}\\ \frac{{\mathrm{d}}^2𝜃}{{\mathrm{d𝜏}}^2}+\frac{2}{𝑟}\frac{\mathrm{d𝑟}}{\mathrm{d𝜏}}\frac{\mathrm{d𝜃}}{\mathrm{d𝜏}}-\sin 𝜃\cos 𝜃{\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2=0& \text{(7)}\\ \frac{{\mathrm{d}}^2𝜑}{{\mathrm{d𝜏}}^2}+\frac{2}{𝑟}\frac{\mathrm{d𝑟}}{\mathrm{d𝜏}}\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}+2\cot 𝜃\frac{\mathrm{d𝜃}}{\mathrm{d𝜏}}\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}=0& \text{(8)}\end{array}$$ のようになる。

3.2 人工衛星の時間

線素の式と測地線方程式（運動方程式）を使って、人工衛星の固有時と座標時との関係を求める。

円軌道であるから 𝑟 は一定なので d𝑟 = 0 である。また、 $𝜃=\frac{𝜋}{2}$ （定数）となるように座標系を張ったので d𝜃 = 0 である。そこで $𝜃=\frac{𝜋}{2}$, $\mathrm{d𝑟}=\mathrm{d𝜃}=0$ を線素の式および測地線方程式に代入すると、(3)・(5)・(6)・(8)式はそれぞれ $$\begin{array}{ll}-{𝑐}^2=-(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2+{𝑟}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& \text{(9)}\\ \frac{{\mathrm{d}}^2\left(𝑐𝑡\right)}{{\mathrm{d𝜏}}^2}=0& \text{(10)}\\ \frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2}(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){\left(\frac{\mathrm{d}\left(𝑐𝑡\right)}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2-𝑟(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2=0& \text{(11)}\\ \frac{{\mathrm{d}}^2𝜑}{{\mathrm{d𝜏}}^2}=0& \text{(12)}\end{array}$$ のようになり、(7)式は 0 = 0 となって消えてしまう。解くべき方程式は(9)〜(12)式である。(11)式より、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2}(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){\left(\frac{\mathrm{d}\left(𝑐𝑡\right)}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2-𝑟(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& =& 0\\ \hfill (1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟})\{\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2}{\left(𝑐\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2-𝑟{\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2\}& =& 0\end{array}$$ $1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}$ は0でないから $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2}{\left(𝑐\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2-𝑟{\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& =& 0\\ \hfill -𝑟{\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& =& -\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^2}{𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2\\ \hfill {\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& =& \frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^3}{𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& \text{(13)}\end{array}$$ である。(13)式を(9)式に代入し、 $$\begin{array}{lll}\hfill -{𝑐}^2& =& -(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}){𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2+{𝑟}^2\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^3}{𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2\\ \hfill -{𝑐}^2& =& (-1+\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}+\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}){𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2\\ \hfill -{𝑐}^2& =& (-1+\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}){𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2\\ \hfill (1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}){𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& =& {𝑐}^2\\ \hfill {\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& =& \frac{1}{1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}}& \text{(14)}\\ \hfill \frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}& =& \frac{1}{\sqrt{1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}}}& \text{(15)}\end{array}$$ のようになる。𝑡 は未来方向を正と定義したので最後の平方根は正のものを採用した。また、今の問題では不要であるが(14)式を(13)式に代入すれば $$\begin{array}{lll}\hfill {\left(\frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& =& \frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^3}{𝑐}^2\frac{1}{1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}}\\ \hfill \frac{\mathrm{d𝜑}}{\mathrm{d𝜏}}& =& 𝑐\sqrt{\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2{𝑟}^3(1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟})}}& \text{(16)}\end{array}$$ も求まる。𝜑 は人工衛星の進行方向を正と定義したので最後の平方根は正のものを採用した。(10)・(12)式はまだ使っていないが、今は 𝑟 が一定であるから(15)・(16)式が(10)・(12)式を満たすことはすぐにわかる。

(15)式より、人工衛星の固有時が 𝛥𝜏 だけ進んだときに座標時の変化分が $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}}}\mathrm{𝛥𝜏}$ になることがわかる。逆に座標時が 𝛥𝑡 だけ変化するには人工衛星の固有時が $\sqrt{1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}}\mathrm{𝛥𝑡}$ だけ進む必要がある。

3.3 地上の時間

線素の式を使って、地上の固有時と座標時との関係を求める。

地上の時計は静止しているので d𝑟 = d𝜃 = d𝜑 = 0 である。また、地上における 𝑟 座標の値を 𝑟 = 𝑅 とする。これらを(3)式に代入すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill -{𝑐}^2& =& -(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}){𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2\\ \hfill (1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}){𝑐}^2{\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& =& {𝑐}^2\\ \hfill {\left(\frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}\right)}^2& =& \frac{1}{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}}\\ \hfill \frac{\mathrm{d𝑡}}{\mathrm{d𝜏}}& =& \frac{1}{\sqrt{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}}}& \text{(17)}\end{array}$$ のようになる。𝑡 は未来方向を正と定義したので最後の平方根は正のものを採用した。

なお、地上の時計は重力に逆らって静止しているからその世界線は測地線ではない。したがって測地線方程式を満たさない。

(17)式より、地上の固有時が 𝛥𝜏 だけ進んだときに座標時の変化分が $\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}}}\mathrm{𝛥𝜏}$ になることがわかる。逆に座標時が 𝛥𝑡 だけ変化するには地上の固有時が $\sqrt{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}}\mathrm{𝛥𝑡}$ だけ進む必要がある。

3.4 人工衛星と地上との比較

座標時が 𝛥𝑡 だけ変化するとき、3.2節より人工衛星の固有時は $\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{衛}\right)=\sqrt{1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}}\mathrm{𝛥𝑡}$ だけ進み、3.3節より地上の固有時は $\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{地}\right)=\sqrt{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}}\mathrm{𝛥𝑡}$ だけ進む。したがって両者のずれは $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{衛}\right)-\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{地}\right)}{\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{地}\right)}& =& \frac{\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{衛}\right)}{\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{地}\right)}-1\\ & =& \frac{\sqrt{1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}}\mathrm{𝛥𝑡}}{\sqrt{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}}\mathrm{𝛥𝑡}}-1\\ & =& \frac{\sqrt{1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}}}{\sqrt{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}}}-1& \text{(18)}\end{array}$$ となる。(18)式に地球のシュバルツシルト半径 ${𝑟}_{𝑠}=\frac{2𝐺𝑀}{{𝑐}^2}$ を代入するのであるが、 $\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}$ や $\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}$ の大きさを考えてみると、 $\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}$ は約7億分の1であり1に比べてとても小さい。 $\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}$ はさらにもう少し小さい。よって、 $\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑟}$ や $\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}$ の最低次（1次）まで計算し高次の項を無視して(18)式に代入すると $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{衛}\right)-\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{地}\right)}{\mathrm{𝛥𝜏}\left(\mathrm{地}\right)}& =& \frac{\sqrt{1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟}}}{\sqrt{1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅}}}-1\\ & =& {(1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{2𝑟})}^{\frac{1}{2}}{(1-\frac{{𝑟}_{𝑠}}{𝑅})}^{-\frac{1}{2}}-1\\ & \approx & (1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{4𝑟})(1+\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2𝑅})-1\\ & \approx & 1-\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{4𝑟}+\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2𝑅}-1\\ & =& -\frac{3{𝑟}_{𝑠}}{4𝑟}+\frac{{𝑟}_{𝑠}}{2𝑅}\\ & =& -\frac{3}{4𝑟}\cdot \frac{2𝐺𝑀}{{𝑐}^2}+\frac{1}{2𝑅}\cdot \frac{2𝐺𝑀}{{𝑐}^2}\\ & =& -\frac{3𝐺𝑀}{2{𝑐}^2𝑟}+\frac{𝐺𝑀}{{𝑐}^2𝑅}& \text{(19)}\end{array}$$ である。これが正なら人工衛星の時間が地上より早く進み、負なら人工衛星の時間が地上より遅く進む。具体的な値がどうなるかは第5章で考える。

以上が第二の方法による計算である。