2.1 宇宙定数がゼロの場合

簡単なものから先にやろう。表1で宇宙定数 𝛬 がゼロの場合の解は②と③である。

③の解は最も簡単である。 𝑎 = 1 と 𝑘 = 0 を(1)式に代入すると $${\mathrm{d𝑠}}^2=-{\mathrm{d𝑤}}^2+{\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)$$ となって、これはただのミンコフスキー時空である。③については以上だ。

次は②の解 $$\begin{array}{ll}𝑎=\pm \sqrt{-𝑘}𝑤& \text{(5)}\\ {\mathrm{d𝑠}}^2=-{\mathrm{d𝑤}}^2+{(\pm \sqrt{-𝑘}𝑤)}^2(\frac{1}{1-𝑘{𝑟}^2}{\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2{\mathrm{d𝜃}}^2+{𝑟}^2{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(6)}\end{array}$$ を考える。これは空間の曲率が負であり、複号が正なら等速膨張、負なら等速収縮である。ここで動径座標に関して $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑟\text{→}𝜌& =& 𝑎𝑟\\ & =& \pm \sqrt{-𝑘}𝑟𝑤& \text{(7)}\end{array}$$ という座標変換をする。 𝜌 は新しい動径座標であって、何かの密度を表しているわけではない。 𝑟 に相当するギリシャ文字をもってきただけだ。このとき逆変換は $$\begin{array}{llll}\hfill 𝜌\text{→}𝑟& =& \pm \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝑤}& \text{(8)}\end{array}$$ であり、その微分は $$\begin{array}{lll}\hfill \mathrm{d𝑟}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝑟}}{\mathrm{\partial 𝑤}}\mathrm{d𝑤}+\frac{\mathrm{\partial 𝑟}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝜌}\\ & =& \mp \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}{𝑤}^2}\mathrm{d𝑤}\pm \frac{1}{\sqrt{-𝑘}𝑤}\mathrm{d𝜌}\\ & =& \pm \frac{1}{\sqrt{-𝑘}𝑤}(-\frac{𝜌}{𝑤}\mathrm{d𝑤}+\mathrm{d𝜌})& \text{(9)}\end{array}$$ のようになる。これらを2乗すれば $$\begin{array}{llll}\hfill {𝑟}^2& =& \frac{{𝜌}^2}{-𝑘{𝑤}^2}& \text{(10)}\\ \hfill {\mathrm{d𝑟}}^2& =& \frac{1}{-𝑘{𝑤}^2}(\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝑤}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\mathrm{d𝜌}}^2)& \text{(11)}\end{array}$$ である。(6)式を変形し(10)・(11)式を代入して座標変換後の線素の式を計算すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill {\mathrm{d𝑠}}^2& =& -{\mathrm{d𝑤}}^2-𝑘{𝑤}^2(\frac{1}{1-𝑘{𝑟}^2}{\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2{\mathrm{d𝜃}}^2+{𝑟}^2{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -{\mathrm{d𝑤}}^2-\frac{𝑘{𝑤}^2}{1-𝑘{𝑟}^2}{\mathrm{d𝑟}}^2-𝑘{𝑤}^2{𝑟}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -{\mathrm{d𝑤}}^2-\frac{𝑘{𝑤}^2}{1-𝑘\cdot \frac{{𝜌}^2}{-𝑘{𝑤}^2}}\cdot \frac{1}{-𝑘{𝑤}^2}(\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝑤}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\mathrm{d𝜌}}^2)-𝑘{𝑤}^2\frac{{𝜌}^2}{-𝑘{𝑤}^2}({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -{\mathrm{d𝑤}}^2+\frac{1}{1+\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}}(\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝑤}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\mathrm{d𝜌}}^2)+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{1+\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}}\{-(1+\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}){\mathrm{d𝑤}}^2+\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝑤}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\mathrm{d𝜌}}^2\}+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{1+\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}}(-{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝑤}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\mathrm{d𝜌}}^2)+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(12)}\end{array}$$ となる。これを見ると |𝑤| が大きいときほどミンコフスキー時空に近づくように見える。だが、計量の非対角成分である d𝑤d𝜌 の項があってわかりにくくなっている。これは 𝑤 軸と 𝜌 軸が直交していないということである。そこで、計量が対角になるようにさらなる座標変換を考える。動径座標はもういじりたくないので、時間座標を座標変換することで対角計量を目指そう。新しい時間座標を 𝑣 として、今のところ未知のその変換と逆変換を $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑤& \text{→}& 𝑣=𝑣(𝑤,𝜌)\\ \hfill 𝑣& \text{→}& 𝑤=𝑤(𝑣,𝜌)\end{array}$$ のように書く。 𝑣 は新しい時間座標であって、何かの速度を表しているわけではない。 𝑤 の隣のアルファベットをもってきただけだ。すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \mathrm{d𝑤}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\mathrm{d𝑣}+\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝜌}\\ \hfill {\mathrm{d𝑤}}^2& =& {\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\right)}^2{\mathrm{d𝑣}}^2+2\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}+{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\right)}^2{\mathrm{d𝜌}}^2\end{array}$$ であるから、これらを(12)式に代入すると $$\begin{array}{lll}\hfill {\mathrm{d𝑠}}^2& =& \frac{1}{1+\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}}(-{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝑤}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\mathrm{d𝜌}}^2)+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{1+\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}}[-\{{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\right)}^2{\mathrm{d𝑣}}^2+2\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}+{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\right)}^2{\mathrm{d𝜌}}^2\}-2\frac{𝜌}{𝑤}(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\mathrm{d𝑣}+\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝜌})\mathrm{d𝜌}+{\mathrm{d𝜌}}^2]+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{1+\frac{{𝜌}^2}{{𝑤}^2}}[-{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\right)}^2{\mathrm{d𝑣}}^2-2\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}-{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\right)}^2{\mathrm{d𝜌}}^2-2\frac{𝜌}{𝑤}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}-2\frac{𝜌}{𝑤}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}{\mathrm{d𝜌}}^2+{\mathrm{d𝜌}}^2]+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{{𝑤}^2}{{𝑤}^2+{𝜌}^2}[-{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\right)}^2{\mathrm{d𝑣}}^2-2\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}+\frac{𝜌}{𝑤})\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}+\{-{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\right)}^2-2\frac{𝜌}{𝑤}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}+1\left\}{\mathrm{d𝜌}}^2\right]+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(13)}\end{array}$$ となる。ここで d𝑣d𝜌 の係数を0にすればよいのだが、 $\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}=0$ では困る（まともな座標変換にならない）から、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\mathrm{\partial 𝑤}(𝑣,𝜌)}{\mathrm{\partial 𝜌}}+\frac{𝜌}{𝑤(𝑣,𝜌)}& =& 0\\ \hfill 2𝑤(𝑣,𝜌)\frac{\mathrm{\partial 𝑤}(𝑣,𝜌)}{\mathrm{\partial 𝜌}}+2𝜌& =& 0\\ \hfill \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝜌}}[{\left\{𝑤\right(𝑣,𝜌\left)\right\}}^2+{𝜌}^2]& =& 0\\ \hfill {\left\{𝑤\right(𝑣,𝜌\left)\right\}}^2+{𝜌}^2& =& 𝑓\left(𝑣\right)& \text{（𝑓(𝑣)は𝑣の任意関数）}\\ \hfill 𝑤(𝑣,𝜌)& =& \pm \sqrt{𝑓\left(𝑣\right)-{𝜌}^2}\end{array}$$ のようにすればよい。この偏微分方程式はボケっとしていると何が独立変数で何が従属変数なのか忘れそうになるので、括弧内に独立変数を明記しておいた。これを満たすような座標変換をすればよいのだが、 𝑓(𝑣) は任意と言われても手掛かりがなさ過ぎて困ってしまう。そこで、なるべく簡単になるように、特に根拠はないが試しに空間原点(𝜌 = 0)で恒等変換になるように 𝑓(𝑣) = 𝑣^² としてみよう。そうすれば $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑤& =& \pm \sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}& \text{(14)}\\ \hfill 𝑣& =& \pm \sqrt{{𝑤}^2+{𝜌}^2}& \text{(15)}\end{array}$$ となる。こんなところに複号が出てきて面倒に思うかもしれないが、 𝑤 と 𝑣 の符号が同じになるように変換することと定義しておく。ところで(5)式（スケール因子）に複号がついているが、それが正のときは 𝑤 ≧ 0 、負のときは 𝑤 ≦ 0 の範囲でしか解が意味を持たないのだった。したがって(5)〜(9)式の複号と(14)・(15)式の複号は同順であると考えてよい。

(14)式より $$\begin{array}{llll}\hfill \frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}& =& \pm \frac{𝑣}{\sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}}& \text{(16)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}& =& \mp \frac{𝜌}{\sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}}& \text{(17)}\end{array}$$ である。(14)・(16)・(17)式を(13)式に代入して座標変換後の線素の式を計算すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill {\mathrm{d𝑠}}^2& =& \frac{{𝑤}^2}{{𝑤}^2+{𝜌}^2}[-{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\right)}^2{\mathrm{d𝑣}}^2-2\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}+\frac{𝜌}{𝑤})\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}+\{-{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\right)}^2-2\frac{𝜌}{𝑤}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}+1\left\}{\mathrm{d𝜌}}^2\right]+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{{(\pm \sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2})}^2}{{(\pm \sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2})}^2+{𝜌}^2}[-{(\pm \frac{𝑣}{\sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}})}^2{\mathrm{d𝑣}}^2-2(\pm \frac{𝑣}{\sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}})(\mp \frac{𝜌}{\sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}}+\frac{𝜌}{\pm \sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}})\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}\\ & & +\{-{(\mp \frac{𝜌}{\sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}})}^2-2\frac{𝜌}{\pm \sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}}(\mp \frac{𝜌}{\sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}})+1\}{\mathrm{d𝜌}}^2]+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{{𝑣}^2-{𝜌}^2}{{𝑣}^2-{𝜌}^2+{𝜌}^2}[-\frac{{𝑣}^2}{{𝑣}^2-{𝜌}^2}{\mathrm{d𝑣}}^2+\{-\frac{{𝜌}^2}{{𝑣}^2-{𝜌}^2}+\frac{2{𝜌}^2}{{𝑣}^2-{𝜌}^2}+1\left\}{\mathrm{d𝜌}}^2\right]+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{{𝑣}^2-{𝜌}^2}{{𝑣}^2}[-\frac{{𝑣}^2}{{𝑣}^2-{𝜌}^2}{\mathrm{d𝑣}}^2+\frac{{𝑣}^2}{{𝑣}^2-{𝜌}^2}{\mathrm{d𝜌}}^2]+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -{\mathrm{d𝑣}}^2+{\mathrm{d𝜌}}^2+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(18)}\end{array}$$ となる。これはミンコフスキー時空に球座標を張ったものであり、③の解と同じである。この計量は静的である。曲率が負の空間が等速膨張/収縮していると思っていた②の解は、単にミンコフスキー座標を座標変換しただけのものだったのだ。何かもっとややこしく曲がっている感じがしたのにとても意外な結果だ。

しかしこのことはバーコフの定理を前提にすれば当たり前である。一様・等方な空間は当然ながら任意の点に対して球対称であるから、真空ならバーコフの定理が成り立つことにより、シュバルツシルト解しかありえない。そして全空間で真空だし一様だから原点にも何も存在しないことになる。すなわち解はシュバルツシルト半径が0のシュバルツシルト解であり、それはミンコフスキー時空である、ということだ。

そういえば「バーコフの定理」の記事の最初の方で、球対称な時空の線素の式を未知関数で表すときに、うまく座標変換することで $$\begin{array}{ll}{\mathrm{d𝑠}}^2=-𝐹(𝑤,𝑟){\mathrm{d𝑤}}^2+2𝐻(𝑤,𝑟)\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝑟}+𝐺(𝑤,𝑟){\mathrm{d𝑟}}^2+{\left\{𝐷\right(𝑤,𝑟\left)\right\}}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(19)}\\ \hfill \text{↓}\hfill & \\ {\mathrm{d𝑠}}^2=-𝐽(𝑤,{𝑟}^{\prime }){\mathrm{d𝑤}}^2+2𝐾(𝑤,{𝑟}^{\prime })\mathrm{d𝑤}{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }+𝐿(𝑤,{𝑟}^{\prime }){{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }}^2+{{𝑟}^{\prime }}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(20)}\\ \hfill \text{↓}\hfill & \\ {\mathrm{d𝑠}}^2=-𝐴({𝑤}^{\prime },{𝑟}^{\prime }){{\mathrm{d𝑤}}^{\prime }}^2+𝐵({𝑤}^{\prime },{𝑟}^{\prime }){{\mathrm{d𝑟}}^{\prime }}^2+{{𝑟}^{\prime }}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(21)}\end{array}$$ のように変形していった。先ほどやった(6)式→(12)式→(18)式の変形は(19)式→(20)式→(21)式の変形の具体例になっている。このように2段階で座標変換をすることは、その意味を理解するのには便利である。だが最初の座標系と最後の座標系が結局どういう関係になっているのかがすぐにはわからない。よって、それを求めると座標変換は $$\begin{array}{llll}𝑣& =& \pm \sqrt{{𝑤}^2+{𝜌}^2}& \text{←}\text{(15)式}\\ & =& \pm \sqrt{{𝑤}^2-𝑘{𝑟}^2{𝑤}^2}& \text{←}\text{(7)式}\text{を代入した。}\\ & =& \sqrt{1-𝑘{𝑟}^2}𝑤& \text{(22)}\\ 𝜌& =& \pm \sqrt{-𝑘}𝑟𝑤& \text{←}\text{(7)式}\end{array}$$ である。(22)式で複号が消える理由は、(15)式の次の行で 𝑤 と 𝑣 は同符号だと定義したからである。逆変換は $$\begin{array}{llll}𝑤& =& \pm \sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}& \text{←}\text{(14)式}\\ 𝑟& =& \pm \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝑤}& \text{←}\text{(8)式}\\ & =& \pm \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}(\pm \sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2})}& \text{←}\text{(14)式}\text{を代入した。}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}\sqrt{{𝑣}^2-{𝜌}^2}}& \text{(23)}\end{array}$$ である。この関係を図示したものが図1・2である。茶色で描かれた座標系（静的な計量; (18)式）は時空の全体を覆うことができるが、青色で描かれた座標系（𝑘 < 0 のFLRW計量; (6)式）は、原点を頂点とする光円錐（複号が正なら未来光円錐、負なら過去光円錐）の内部だけしか言い表せないのである。 𝑤 = 0 はビッグバン/ビッグクランチかと思ったらただの座標特異点なのであった。