2.2.2 空間の曲率が負の場合

表1で宇宙定数 𝛬 が正の場合の解は④〜⑥である。その中で空間の曲率が負である④の解 をここでは考える。これは前のページの⑤と同じく複号が正なら加速膨張、負なら減速収縮である。ここで動径座標に関して という座標変換をする。このとき逆変換は であり、その微分は のようになる。これらを2乗すれば である。(41)式を変形し(45)・(46)式を代入して座標変換後の線素の式を計算すると、 となる。これは計量の非対角成分である d𝑤d𝜌 の項があってわかりにくいので、計量が対角になるようにさらなる座標変換を考える。動径座標はもういじりたくないので、時間座標を座標変換することで対角計量を目指そう。新しい時間座標を 𝑣 として、今のところ未知のその変換と逆変換を のように書く。すると、 であるから、これらを(47)式に代入すると となる。ここで d𝑣d𝜌 の係数を0にすればよいのだが、 では困る（まともな座標変換にならない）から、 （はの任意関数） を満たすような座標変換をすればよい。下から3・2行目の左辺のlnの引数に絶対値を付けていない理由は、coshはいつでも正だからである。ここで表記の簡略化のために と置く。後で使うために場合分けをして 𝐴(𝜌) を 𝜌 で微分すると、 である。このとき(49)式より と書ける。coshは偶関数だからその引数を取り出すと複号が現れて面倒であるが、ここでは 𝑤 と 𝑣 の符号が同じになるように変換することと定義しておく。ところで(40)式（スケール因子）に複号がついているが、それが正のときは 𝑤 ≧ 0 、負のときは 𝑤 ≦ 0 の範囲でしか解が意味を持たないのだった。したがって(40)〜(44)式の複号と(53)式の複号は同順であると考えてよい。

𝐵(𝑣) は任意の正の関数であって具体的な形が未定であるが、それは後で決めることにしてとりあえずこのまま計算を進める。ここからは 𝐴 や 𝐵 の引数を表す (𝜌) や (𝑣) は省略する。(52)式より であり、(53)式より である。ただしドット ˙ は座標 𝑣 による微分 を表し、プライム ′ は座標 𝜌 による微分 を表す。(52)・(54)〜(57)式を(48)式に代入して座標変換後の線素の式を計算したいが、(48)式はかなり長くなっているので一気に代入すると大変である。そこで計量の成分ごとに計算しよう。

(48)式の d𝑣^² の係数は である。ここに(50)式を代入すると、 0 ≦ 𝜌 < 𝐿 の領域では となり、 𝐿 < 𝜌 の領域では となる。まとめると のようになる。