2.2.2 空間の曲率が負の場合

表1で宇宙定数 𝛬 が正の場合の解は④〜⑥である。その中で空間の曲率が負である④の解 $$\begin{array}{ll}𝑎=\pm \sqrt{-𝑘}𝐿\sinh \frac{𝑤}{𝐿}& \text{(40)}\\ {\mathrm{d𝑠}}^2=-{\mathrm{d𝑤}}^2+{(\pm \sqrt{-𝑘}𝐿\sinh \frac{𝑤}{𝐿})}^2(\frac{1}{1-𝑘{𝑟}^2}{\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2{\mathrm{d𝜃}}^2+{𝑟}^2{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(41)}\end{array}$$ をここでは考える。これは前のページの⑤と同じく複号が正なら加速膨張、負なら減速収縮である。ここで動径座標に関して $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑟\text{→}𝜌& =& 𝑎𝑟\\ & =& \pm 𝐿\sqrt{-𝑘}𝑟\sinh \frac{𝑤}{𝐿}& \text{(42)}\end{array}$$ という座標変換をする。このとき逆変換は $$\begin{array}{llll}\hfill 𝜌\text{→}𝑟& =& \pm \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sinh \frac{𝑤}{𝐿}}& \text{(43)}\end{array}$$ であり、その微分は $$\begin{array}{lll}\hfill \mathrm{d𝑟}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝑟}}{\mathrm{\partial 𝑤}}\mathrm{d𝑤}+\frac{\mathrm{\partial 𝑟}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝜌}\\ & =& \pm \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿}(-\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}\cdot \frac{1}{𝐿})\mathrm{d𝑤}\pm \frac{1}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sinh \frac{𝑤}{𝐿}}\mathrm{d𝜌}\\ & =& \pm \frac{1}{\sqrt{-𝑘}𝐿{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}(-\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\mathrm{d𝑤}+\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\mathrm{d𝜌})& \text{(44)}\end{array}$$ のようになる。これらを2乗すれば $$\begin{array}{llll}\hfill {𝑟}^2& =& \frac{{𝜌}^2}{-𝑘{𝐿}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}& \text{(45)}\\ \hfill {\mathrm{d𝑟}}^2& =& \frac{1}{-𝑘{𝐿}^2{\sinh }^4\frac{𝑤}{𝐿}}(\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{\cosh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝜌}}^2)& \text{(46)}\end{array}$$ である。(41)式を変形し(45)・(46)式を代入して座標変換後の線素の式を計算すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill {\mathrm{d𝑠}}^2& =& -{\mathrm{d𝑤}}^2-𝑘{𝐿}^2\left({\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}\right)(\frac{1}{1-𝑘{𝑟}^2}{\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2{\mathrm{d𝜃}}^2+{𝑟}^2{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -{\mathrm{d𝑤}}^2-\frac{𝑘{𝐿}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}{1-𝑘{𝑟}^2}{\mathrm{d𝑟}}^2-𝑘{𝐿}^2\left({\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}\right){𝑟}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -{\mathrm{d𝑤}}^2-\frac{𝑘{𝐿}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}{1-𝑘\cdot \frac{{𝜌}^2}{-𝑘{𝐿}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}}\cdot \frac{1}{-𝑘{𝐿}^2{\sinh }^4\frac{𝑤}{𝐿}}(\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{\cosh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝜌}}^2)\\ & & -𝑘{𝐿}^2\left({\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}\right)\frac{{𝜌}^2}{-𝑘{𝐿}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& -{\mathrm{d𝑤}}^2+\frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}(\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{\cosh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝜌}}^2)\\ & & +{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\{-({\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\mathrm{d𝑤}}^2+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{\cosh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝜌}}^2\}\\ & & +{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\left[\right\{-{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}(-1+{\cosh }^2\frac{𝑤}{𝐿})\}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝜌}}^2]\\ & & +{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\left\{\right(-{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}){\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝜌}}^2\}\\ & & +{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝜌}}^2\}\\ & & +{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(47)}\end{array}$$ となる。これは計量の非対角成分である d𝑤d𝜌 の項があってわかりにくいので、計量が対角になるようにさらなる座標変換を考える。動径座標はもういじりたくないので、時間座標を座標変換することで対角計量を目指そう。新しい時間座標を 𝑣 として、今のところ未知のその変換と逆変換を $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑤& \text{→}& 𝑣=𝑣(𝑤,𝜌)\\ \hfill 𝑣& \text{→}& 𝑤=𝑤(𝑣,𝜌)\end{array}$$ のように書く。すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \mathrm{d𝑤}& =& \frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\mathrm{d𝑣}+\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝜌}\\ \hfill {\mathrm{d𝑤}}^2& =& {\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\right)}^2{\mathrm{d𝑣}}^2+2\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}+{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\right)}^2{\mathrm{d𝜌}}^2\end{array}$$ であるから、これらを(47)式に代入すると $$\begin{array}{lll}\hfill {\mathrm{d𝑠}}^2& =& \frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝑤}}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\mathrm{d𝑤}\mathrm{d𝜌}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝜌}}^2\}\\ & & +{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}[-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}\{{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\right)}^2{\mathrm{d𝑣}}^2+2\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}+{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\right)}^2{\mathrm{d𝜌}}^2\}\\ & & -2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\mathrm{d𝑣}+\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝜌})\mathrm{d𝜌}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝜌}}^2]\\ & & +{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}[-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\right)}^2{\mathrm{d𝑣}}^2-2(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\right)}^2{\mathrm{d𝜌}}^2\\ & & -2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}{\mathrm{d𝜌}}^2+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\mathrm{d𝜌}}^2]\\ & & +{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\\ & =& \frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}[-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\right)}^2{\mathrm{d𝑣}}^2-2\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\{(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}+\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\}\mathrm{d𝑣}\mathrm{d𝜌}\\ & & +\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\right)}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}\}{\mathrm{d𝜌}}^2]\\ & & +{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(48)}\end{array}$$ となる。ここで d𝑣d𝜌 の係数を0にすればよいのだが、 $\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}=0$ では困る（まともな座標変換にならない）から、 $$\begin{array}{lll}\hfill (1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}+\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}& =& 0\\ \hfill (1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}& =& -\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\\ \hfill \frac{\sinh \frac{𝑤}{𝐿}}{𝐿\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}& =& -\frac{𝜌}{{𝐿}^2(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\\ \hfill \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝜌}}\ln \left(\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\right)& =& \frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝜌}}\left(\frac{1}{2}\ln |1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}|\right)\\ \hfill \ln \left(\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\right)& =& \frac{1}{2}\ln |1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}|+𝑓\left(𝑣\right)& \text{（𝑓(𝑣)は𝑣の任意関数）}\\ \hfill \cosh \frac{𝑤}{𝐿}& =& \sqrt{|1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}|}{\mathrm{e}}^{𝑓\left(𝑣\right)}& \text{(49)}\end{array}$$ を満たすような座標変換をすればよい。下から3・2行目の左辺のlnの引数に絶対値を付けていない理由は、coshはいつでも正だからである。ここで表記の簡略化のために $$\begin{array}{l}𝐴\left(𝜌\right)=\sqrt{|1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}|}\\ 𝐵\left(𝑣\right)={\mathrm{e}}^{𝑓\left(𝑣\right)}\end{array}$$ と置く。後で使うために場合分けをして 𝐴(𝜌) を 𝜌 で微分すると、 $$\begin{array}{ll}𝐴\left(𝜌\right)=\{\begin{array}{ll}\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}& (0\leqq 𝜌<𝐿)\\ \sqrt{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}& (𝐿<𝜌)\end{array}& \text{(50)}\\ \frac{\mathrm{d𝐴}\left(𝜌\right)}{\mathrm{d𝜌}}=\{\begin{array}{ll}-\frac{\frac{𝜌}{{𝐿}^2}}{\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}}& (0\leqq 𝜌<𝐿)\\ \frac{\frac{𝜌}{{𝐿}^2}}{\sqrt{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}}& (𝐿<𝜌)\end{array}& \text{(51)}\end{array}$$ である。このとき(49)式より $$\begin{array}{llll}\hfill \cosh \frac{𝑤}{𝐿}& =& 𝐴\left(𝜌\right)𝐵\left(𝑣\right)& \text{(52)}\\ \hfill 𝑤& =& \pm 𝐿\mathrm{arcosh}\left\{𝐴\right(𝜌\left)𝐵\right(𝑣\left)\right\}& \text{(53)}\end{array}$$ と書ける。coshは偶関数だからその引数を取り出すと複号が現れて面倒であるが、ここでは 𝑤 と 𝑣 の符号が同じになるように変換することと定義しておく。ところで(40)式（スケール因子）に複号がついているが、それが正のときは 𝑤 ≧ 0 、負のときは 𝑤 ≦ 0 の範囲でしか解が意味を持たないのだった。したがって(40)〜(44)式の複号と(53)式の複号は同順であると考えてよい。

𝐵(𝑣) は任意の正の関数であって具体的な形が未定であるが、それは後で決めることにしてとりあえずこのまま計算を進める。ここからは 𝐴 や 𝐵 の引数を表す (𝜌) や (𝑣) は省略する。(52)式より $$\begin{array}{lll}\hfill {\cosh }^2\frac{𝑤}{𝐿}& =& {𝐴}^2{𝐵}^2\\ \hfill {\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}& =& {\cosh }^2\frac{𝑤}{𝐿}-1\\ & =& {𝐴}^2{𝐵}^2-1& \text{(54)}\\ \hfill \sinh \frac{𝑤}{𝐿}& =& \pm \sqrt{{𝐴}^2{𝐵}^2-1}& \text{(55)}\end{array}$$ であり、(53)式より $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}& =& \pm 𝐿\frac{1}{\sqrt{{\left(𝐴𝐵\right)}^2-1}}\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝑣}}\left(𝐴𝐵\right)\\ & =& \pm \frac{𝐿𝐴\dot{𝐵}}{\sqrt{{𝐴}^2{𝐵}^2-1}}& \text{(56)}\\ \hfill \frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}& =& \pm 𝐿\frac{1}{\sqrt{{\left(𝐴𝐵\right)}^2-1}}\frac{\partial }{\mathrm{\partial 𝜌}}\left(𝐴𝐵\right)\\ & =& \pm \frac{𝐿{𝐴}^{\prime }𝐵}{\sqrt{{𝐴}^2{𝐵}^2-1}}& \text{(57)}\end{array}$$ である。ただしドット ˙ は座標 𝑣 による微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝑣}}$ を表し、プライム ′ は座標 𝜌 による微分 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝜌}}$ を表す。(52)・(54)〜(57)式を(48)式に代入して座標変換後の線素の式を計算したいが、(48)式はかなり長くなっているので一気に代入すると大変である。そこで計量の成分ごとに計算しよう。

(48)式の d𝑣^² の係数は $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑔}_{00}& =& \frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝑣}}\right)}^2\}\\ & =& \frac{1}{({𝐴}^2{𝐵}^2-1)+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})({𝐴}^2{𝐵}^2-1){(\pm \frac{𝐿𝐴\dot{𝐵}}{\sqrt{{𝐴}^2{𝐵}^2-1}})}^2\}\\ & =& \frac{1}{{𝐴}^2{𝐵}^2-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})({𝐴}^2{𝐵}^2-1)\frac{{𝐿}^2{𝐴}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐴}^2{𝐵}^2-1}\}\\ & =& \frac{1}{{𝐴}^2{𝐵}^2-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){𝐿}^2{𝐴}^2{\dot{𝐵}}^2\}\\ & =& -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{𝐴}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐴}^2{𝐵}^2-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\\ & =& -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2-\frac{1}{{𝐴}^2}(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\end{array}$$ である。ここに(50)式を代入すると、 0 ≦ 𝜌 < 𝐿 の領域では $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑔}_{(+)00}& =& -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2-\frac{1}{{𝐴}^2}(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\\ & =& -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2-\frac{1}{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\\ & =& -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2-1}\end{array}$$ となり、 𝐿 < 𝜌 の領域では $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑔}_{(-)00}& =& -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2-\frac{1}{{𝐴}^2}(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\\ & =& -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2-\frac{1}{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\\ & =& -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2+1}\end{array}$$ となる。まとめると $${𝑔}_{00}=\{\begin{array}{ll}-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2-1}& (0\leqq 𝜌<𝐿)\\ -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2+1}& (𝐿<𝜌)\end{array}$$ のようになる。

(48)式の d𝑣d𝜌 の係数は、それが0になるように 𝑣 を決めたのだから当然0である。

(48)式の d𝜌^² の係数は $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑔}_{11}& =& \frac{1}{{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}{\left(\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}\right)}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}\cosh \frac{𝑤}{𝐿}\sinh \frac{𝑤}{𝐿}\frac{\mathrm{\partial 𝑤}}{\mathrm{\partial 𝜌}}+{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}\}\\ & =& \frac{1}{({𝐴}^2{𝐵}^2-1)+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})({𝐴}^2{𝐵}^2-1){(\pm \frac{𝐿{𝐴}^{\prime }𝐵}{\sqrt{{𝐴}^2{𝐵}^2-1}})}^2-2\frac{𝜌}{𝐿}𝐴𝐵(\pm \sqrt{{𝐴}^2{𝐵}^2-1})(\pm \frac{𝐿{𝐴}^{\prime }𝐵}{\sqrt{{𝐴}^2{𝐵}^2-1}})+({𝐴}^2{𝐵}^2-1)\}\\ & =& \frac{1}{{𝐴}^2{𝐵}^2-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})({𝐴}^2{𝐵}^2-1)\frac{{𝐿}^2{{𝐴}^{\prime }}^2{𝐵}^2}{{𝐴}^2{𝐵}^2-1}-2\frac{𝜌}{𝐿}𝐴𝐵\cdot 𝐿{𝐴}^{\prime }𝐵+{𝐴}^2{𝐵}^2-1\}\\ & =& \frac{1}{{𝐴}^2{𝐵}^2-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){𝐿}^2{{𝐴}^{\prime }}^2{𝐵}^2-2𝜌𝐴{𝐴}^{\prime }{𝐵}^2+{𝐴}^2{𝐵}^2-1\}\end{array}$$ である。ここに(50)・(51)式を代入すると、 0 ≦ 𝜌 < 𝐿 の領域では $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑔}_{(+)11}& =& \frac{1}{{𝐴}^2{𝐵}^2-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){𝐿}^2{{𝐴}^{\prime }}^2{𝐵}^2-2𝜌𝐴{𝐴}^{\prime }{𝐵}^2+{𝐴}^2{𝐵}^2-1\}\\ & =& \frac{1}{(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){𝐵}^2-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){𝐿}^2\frac{\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^4}}{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}{𝐵}^2-2𝜌\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}(-\frac{\frac{𝜌}{{𝐿}^2}}{\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}}){𝐵}^2+(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){𝐵}^2-1\}\\ & =& \frac{1}{(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})({𝐵}^2-1)}(-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{𝐵}^2+2\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{𝐵}^2+{𝐵}^2-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{𝐵}^2-1)\\ & =& \frac{1}{(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})({𝐵}^2-1)}({𝐵}^2-1)\\ & =& \frac{1}{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\end{array}$$ となり、 𝐿 < 𝜌 の領域では $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑔}_{(-)11}& =& \frac{1}{{𝐴}^2{𝐵}^2-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){𝐿}^2{{𝐴}^{\prime }}^2{𝐵}^2-2𝜌𝐴{𝐴}^{\prime }{𝐵}^2+{𝐴}^2{𝐵}^2-1\}\\ & =& \frac{1}{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){𝐵}^2-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){𝐿}^2\frac{\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^4}}{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}{𝐵}^2-2𝜌\sqrt{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}\cdot \frac{\frac{𝜌}{{𝐿}^2}}{\sqrt{-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})}}{𝐵}^2-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){𝐵}^2-1\}\\ & =& \frac{1}{(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})(-{𝐵}^2-1)}(\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{𝐵}^2-2\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{𝐵}^2-{𝐵}^2+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{𝐵}^2-1)\\ & =& \frac{1}{(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})(-{𝐵}^2-1)}(-{𝐵}^2-1)\\ & =& \frac{1}{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\end{array}$$ となる。したがってどちらの領域でも $${𝑔}_{11}=\frac{1}{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}$$ のようになる。

これら以外の計量の成分は座標変換しても変わらない。以上により線素の式は $${\mathrm{d𝑠}}^2=\{\begin{array}{ll}-(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2-1}{\mathrm{d𝑣}}^2+\frac{1}{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}{\mathrm{d𝜌}}^2+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& (0\leqq 𝜌<𝐿)\\ -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2})\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2+1}{\mathrm{d𝑣}}^2+\frac{1}{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}{\mathrm{d𝜌}}^2+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& (𝐿<𝜌)\end{array}\text{(58)}$$ となる。あとは 𝐵(𝑣) の形を好きなように決めればよいのだが、ここで仮に 𝑔_₀₀ が 𝑣 を含まなければ静的な計量にすることができて良さそうである。そのためには $\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2-1}=1$ とか $\frac{{𝐿}^2{\dot{𝐵}}^2}{{𝐵}^2+1}=1$ という微分方程式を解けばよい（右辺は正の定数なら何でもよいが、1にしておくのが楽である）。これらは両辺の平方根を 𝑣 で積分するだけで解けるので計算過程を省略していきなり答えを書くと、 $$𝐵\left(𝑣\right)=\{\begin{array}{ll}\cosh \frac{𝑣}{𝐿}& (0\leqq 𝜌<𝐿)\\ \pm \sinh \frac{𝑣}{𝐿}& (𝐿<𝜌)\end{array}\text{(59)}$$ である。下側の式についている複号はこのページで今までに出てきた複号と同順としておく。(59)式を(58)式に代入すれば $$\begin{array}{llll}\hfill {\mathrm{d𝑠}}^2& =& -(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\mathrm{d𝑣}}^2+\frac{1}{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}{\mathrm{d𝜌}}^2+{𝜌}^2({\mathrm{d𝜃}}^2+{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)& \text{(60)}\end{array}$$ となる。この計量は⑤の解（平坦な空間のFLRW計量）を座標変換した(36)式と同じであり、 𝜌 < 𝐿 において静的である。曲率が負の空間が加速膨張/減速収縮していると思っていた④の解は、ドジッター時空と同じものだったのだ。

ここでは2段階で座標変換をしたが、最初の座標系と最後の座標系が結局どういう関係になっているのかを求めておこう。

0 ≦ 𝜌 < 𝐿 の領域では、(50)・(59)式を(53)・(52)式に代入すると、 $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑤& =& \pm 𝐿\mathrm{arcosh}\left(\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\cosh \frac{𝑣}{𝐿}\right)& \text{(61)}\\ \hfill \cosh \frac{𝑤}{𝐿}& =& \sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\cosh \frac{𝑣}{𝐿}& \text{(62)}\\ \hfill \frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}}& =& \cosh \frac{𝑣}{𝐿}\\ \hfill \pm 𝐿\mathrm{arcosh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}}& =& 𝑣& \text{(63)}\end{array}$$ であるから、座標変換は $$\begin{array}{llll}𝑣& =& \pm 𝐿\mathrm{arcosh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}}& \text{←}\text{(63)式}\\ & =& \pm 𝐿\mathrm{arcosh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{1-\frac{{(\pm 𝐿\sqrt{-𝑘}𝑟\sinh \frac{𝑤}{𝐿})}^2}{{𝐿}^2}}}& \text{←}\text{(42)式}\text{を代入した。}\\ & =& \pm 𝐿\mathrm{arcosh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{1-\frac{{𝐿}^2(-𝑘){𝑟}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}{{𝐿}^2}}}\\ & =& \pm 𝐿\mathrm{arcosh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{1+𝑘{𝑟}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}}\\ 𝜌& =& \pm 𝐿\sqrt{-𝑘}𝑟\sinh \frac{𝑤}{𝐿}& \text{←}\text{(42)式}\end{array}$$ であり、逆変換は $$\begin{array}{llll}𝑤& =& \pm 𝐿\mathrm{arcosh}\left(\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\cosh \frac{𝑣}{𝐿}\right)& \text{←}\text{(61)式}\\ 𝑟& =& \pm \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sinh \frac{𝑤}{𝐿}}& \text{←}\text{(43)式}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿(\pm \sinh \frac{𝑤}{𝐿})}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sqrt{{\cosh }^2\frac{𝑤}{𝐿}-1}}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sqrt{{\left(\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\cosh \frac{𝑣}{𝐿}\right)}^2-1}}& \text{←}\text{(62)式}\text{を代入した。}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sqrt{(1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\cosh }^2\frac{𝑣}{𝐿}-1}}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sqrt{{\sinh }^2\frac{𝑣}{𝐿}-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{\cosh }^2\frac{𝑣}{𝐿}}}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}\sqrt{{𝐿}^2{\sinh }^2\frac{𝑣}{𝐿}-{𝜌}^2{\cosh }^2\frac{𝑣}{𝐿}}}\end{array}$$ である。

𝐿 < 𝜌 の領域では、(50)・(59)式を(53)・(52)式に代入すると、 $$\begin{array}{llll}\hfill 𝑤& =& \pm 𝐿\mathrm{arcosh}(\pm \sqrt{-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\sinh \frac{𝑣}{𝐿})& \text{(64)}\\ \hfill \cosh \frac{𝑤}{𝐿}& =& \pm \sqrt{-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\sinh \frac{𝑣}{𝐿}& \text{(65)}\\ \hfill \pm \frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}}& =& \sinh \frac{𝑣}{𝐿}\\ \hfill \pm 𝐿\mathrm{arsinh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}}& =& 𝑣& \text{(66)}\end{array}$$ であるから、座標変換は $$\begin{array}{llll}𝑣& =& \pm 𝐿\mathrm{arsinh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}}& \text{←}\text{(66)式}\\ & =& \pm 𝐿\mathrm{arsinh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{-1+\frac{{(\pm 𝐿\sqrt{-𝑘}𝑟\sinh \frac{𝑤}{𝐿})}^2}{{𝐿}^2}}}& \text{←}\text{(42)式}\text{を代入した。}\\ & =& \pm 𝐿\mathrm{arsinh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{-1+\frac{{𝐿}^2(-𝑘){𝑟}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}{{𝐿}^2}}}\\ & =& \pm 𝐿\mathrm{arsinh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{-1-𝑘{𝑟}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}}\\ 𝜌& =& \pm 𝐿\sqrt{-𝑘}𝑟\sinh \frac{𝑤}{𝐿}& \text{←}\text{(42)式}\end{array}$$ であり、逆変換は $$\begin{array}{llll}𝑤& =& \pm 𝐿\mathrm{arcosh}(\pm \sqrt{-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\sinh \frac{𝑣}{𝐿})& \text{←}\text{(64)式}\\ & =& \pm 𝐿\mathrm{arcosh}\left(\sqrt{-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\sinh \frac{\pm 𝑣}{𝐿}\right)\\ 𝑟& =& \pm \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sinh \frac{𝑤}{𝐿}}& \text{←}\text{(43)式}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿(\pm \sinh \frac{𝑤}{𝐿})}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sqrt{{\cosh }^2\frac{𝑤}{𝐿}-1}}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sqrt{{(\pm \sqrt{-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\sinh \frac{𝑣}{𝐿})}^2-1}}& \text{←}\text{(65)式}\text{を代入した。}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sqrt{(-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}){\sinh }^2\frac{𝑣}{𝐿}-1}}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}𝐿\sqrt{\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}{\sinh }^2\frac{𝑣}{𝐿}-{\cosh }^2\frac{𝑣}{𝐿}}}\\ & =& \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}\sqrt{{𝜌}^2{\sinh }^2\frac{𝑣}{𝐿}-{𝐿}^2{\cosh }^2\frac{𝑣}{𝐿}}}\end{array}$$ である。

場合分けと式変形が長くなって全体が見づらいので結果だけをもう一度書いておくと、 $$\begin{array}{ll}𝑣=\{\begin{array}{ll}\pm 𝐿\mathrm{arcosh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{1+𝑘{𝑟}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}}& (0\leqq 𝜌<\mathrm{𝐿})\\ \pm 𝐿\mathrm{arsinh}\frac{\cosh \frac{𝑤}{𝐿}}{\sqrt{-1-𝑘{𝑟}^2{\sinh }^2\frac{𝑤}{𝐿}}}& (\mathrm{𝐿}<𝜌)\end{array}& \text{(67)}\\ 𝜌=\pm 𝐿\sqrt{-𝑘}𝑟\sinh \frac{𝑤}{𝐿}& \text{(68)}\end{array}$$ $$\begin{array}{ll}𝑤=\{\begin{array}{ll}\pm 𝐿\mathrm{arcosh}\left(\sqrt{1-\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\cosh \frac{𝑣}{𝐿}\right)& (0\leqq 𝜌<\mathrm{𝐿})\\ \pm 𝐿\mathrm{arcosh}\left(\sqrt{-1+\frac{{𝜌}^2}{{𝐿}^2}}\sinh \frac{\pm 𝑣}{𝐿}\right)& (\mathrm{𝐿}<𝜌)\end{array}& \text{(69)}\\ 𝑟=\{\begin{array}{ll}\frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}\sqrt{{𝐿}^2{\sinh }^2\frac{𝑣}{𝐿}-{𝜌}^2{\cosh }^2\frac{𝑣}{𝐿}}}& (0\leqq 𝜌<\mathrm{𝐿})\\ \frac{𝜌}{\sqrt{-𝑘}\sqrt{{𝜌}^2{\sinh }^2\frac{𝑣}{𝐿}-{𝐿}^2{\cosh }^2\frac{𝑣}{𝐿}}}& (\mathrm{𝐿}<𝜌)\end{array}& \text{(70)}\end{array}$$ である。まだ 𝜌 = 𝐿 の領域が残っているが、これはどうしようもない。その領域は元の座標系で考えれば(42)・(43)式より $\pm \sqrt{-𝑘}𝑟\sinh \frac{𝑤}{𝐿}=1$ ということになるが、この関係を満たす 𝑤 と 𝑟 を(67)式に代入すると新しい座標系では 𝑣 → ±∞ となって無限の未来/過去に飛ばされてしまう。逆に新しい座標系における 𝜌 = 𝐿 を元の座標系に変換するために(69)・(70)式に代入して無理やり計算すると 𝑤 と 𝑟 がともに虚数になってしまう。だから 𝜌 = 𝐿 となる線上（4次元時空内で考えれば3次元超曲面上）の領域に限りこの座標変換は諦めることにする。

以上の関係を図示したものが図5・6である。茶色で描かれた座標系（𝜌 < 𝐿 において静的; (60)式）は時空のより広い領域を覆うことができるが、青色で描かれた座標系（𝑘 < 0 のFLRW計量; (41)式）は、原点を頂点とする光円錐（複号が正なら未来光円錐、負なら過去光円錐）の内部だけしか言い表せないのである。 𝑤 = 0 はビッグバン/ビッグクランチかと思ったらただの座標特異点なのであった。