ドジッター時空の座標変換と5次元への埋め込み(4)

2.2.3 空間の曲率が正の場合

表1で宇宙定数 𝛬 が正の場合の解は④〜⑥である。その中で空間の曲率が正である⑥の解 𝑎=𝑘𝐿cosh𝑤𝐿 (71) d𝑠2 = d𝑤2 + (𝑘𝐿cosh𝑤𝐿)2 ( 11𝑘𝑟2d𝑟2 +𝑟2d𝜃2 +𝑟2sin2𝜃d𝜑2 ) (72) をここでは考える。これは減速収縮から加速膨張に転じる時空である。ここで動径座標に関して 𝑟𝜌 = 𝑎𝑟 = 𝐿𝑘𝑟cosh𝑤𝐿 (73) という座標変換をする。このとき逆変換は 𝜌𝑟 = 𝜌𝑘𝐿cosh𝑤𝐿 (74) であり、その微分は d𝑟 = ∂𝑟∂𝑤d𝑤+∂𝑟∂𝜌d𝜌 = 𝜌𝑘𝐿 ( sinh𝑤𝐿cosh2𝑤𝐿 1𝐿 ) d𝑤 +1𝑘𝐿cosh𝑤𝐿d𝜌 = 1𝑘𝐿cosh2𝑤𝐿 ( 𝜌𝐿sinh𝑤𝐿d𝑤 +cosh𝑤𝐿d𝜌 ) のようになる。これらを2乗すれば 𝑟2 = 𝜌2𝑘𝐿2cosh2𝑤𝐿 (75) d𝑟2 = 1𝑘𝐿2cosh4𝑤𝐿 ( 𝜌2𝐿2sinh2𝑤𝐿 d𝑤2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿d𝑤d𝜌 +cosh2𝑤𝐿d𝜌2 ) (76) である。(72)式を変形し(75)・(76)式を代入して座標変換後の線素の式を計算すると、 d𝑠2 = d𝑤2 +𝑘𝐿2(cosh2𝑤𝐿) ( 11𝑘𝑟2d𝑟2 +𝑟2d𝜃2 +𝑟2sin2𝜃d𝜑2 ) = d𝑤2 + 𝑘𝐿2cosh2𝑤𝐿 1𝑘𝑟2 d𝑟2 + 𝑘𝐿2(cosh2𝑤𝐿) 𝑟2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) = d𝑤2 + 𝑘𝐿2cosh2𝑤𝐿 1 𝑘 𝜌2 𝑘𝐿2cosh2𝑤𝐿 1𝑘𝐿2cosh4𝑤𝐿 ( 𝜌2𝐿2sinh2𝑤𝐿 d𝑤2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿d𝑤d𝜌 +cosh2𝑤𝐿d𝜌2 ) + 𝑘𝐿2(cosh2𝑤𝐿) 𝜌2 𝑘𝐿2cosh2𝑤𝐿 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) = d𝑤2 + 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 ( 𝜌2𝐿2sinh2𝑤𝐿 d𝑤2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿d𝑤d𝜌 +cosh2𝑤𝐿d𝜌2 ) + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) = 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 { ( cosh2𝑤𝐿 𝜌2𝐿2 ) d𝑤2 + 𝜌2𝐿2sinh2𝑤𝐿 d𝑤2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿d𝑤d𝜌 +cosh2𝑤𝐿d𝜌2 } + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) = 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 [ { cosh2𝑤𝐿 + 𝜌2𝐿2 (1+sinh2𝑤𝐿) } d𝑤2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿d𝑤d𝜌 +cosh2𝑤𝐿d𝜌2 ] + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) = 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 { ( cosh2𝑤𝐿 +𝜌2𝐿2cosh2𝑤𝐿 ) d𝑤2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿d𝑤d𝜌 +cosh2𝑤𝐿d𝜌2 } + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) = 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 { (1𝜌2𝐿2) cosh2𝑤𝐿d𝑤2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿d𝑤d𝜌 +cosh2𝑤𝐿d𝜌2 } + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) (77) となる。これは計量の非対角成分である d𝑤d𝜌 の項があってわかりにくいので、計量が対角になるようにさらなる座標変換を考える。動径座標はもういじりたくないので、時間座標を座標変換することで対角計量を目指そう。新しい時間座標を 𝑣 として、今のところ未知のその変換と逆変換を 𝑤 𝑣=𝑣(𝑤,𝜌) 𝑣 𝑤=𝑤(𝑣,𝜌) のように書く。すると、 d𝑤 = ∂𝑤∂𝑣d𝑣+∂𝑤∂𝜌d𝜌 d𝑤2 = (∂𝑤∂𝑣)2d𝑣2 +2∂𝑤∂𝑣∂𝑤∂𝜌d𝑣d𝜌 +(∂𝑤∂𝜌)2d𝜌2 であるから、これらを(77)式に代入すると d𝑠2 = 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 { (1𝜌2𝐿2) cosh2𝑤𝐿d𝑤2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿d𝑤d𝜌 +cosh2𝑤𝐿d𝜌2 } + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) = 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 [ (1𝜌2𝐿2) cosh2𝑤𝐿 { (∂𝑤∂𝑣)2d𝑣2 +2∂𝑤∂𝑣∂𝑤∂𝜌d𝑣d𝜌 +(∂𝑤∂𝜌)2d𝜌2 } 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿 (∂𝑤∂𝑣d𝑣+∂𝑤∂𝜌d𝜌)d𝜌 +cosh2𝑤𝐿d𝜌2 ] + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) = 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 [ (1𝜌2𝐿2) cosh2𝑤𝐿 (∂𝑤∂𝑣)2d𝑣2 2(1𝜌2𝐿2) cosh2𝑤𝐿 ∂𝑤∂𝑣∂𝑤∂𝜌d𝑣d𝜌 (1𝜌2𝐿2) cosh2𝑤𝐿 (∂𝑤∂𝜌)2d𝜌2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿 ∂𝑤∂𝑣d𝑣d𝜌 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿 ∂𝑤∂𝜌d𝜌2 +cosh2𝑤𝐿d𝜌2 ] + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) = 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 [ (1𝜌2𝐿2) cosh2𝑤𝐿 (∂𝑤∂𝑣)2d𝑣2 2cosh𝑤𝐿∂𝑤∂𝑣 { (1𝜌2𝐿2) cosh𝑤𝐿∂𝑤∂𝜌 +𝜌𝐿sinh𝑤𝐿 } d𝑣d𝜌 + { (1𝜌2𝐿2) cosh2𝑤𝐿 (∂𝑤∂𝜌)2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿 ∂𝑤∂𝜌 +cosh2𝑤𝐿 } d𝜌2 ] + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) (78) となる。ここで d𝑣d𝜌 の係数を0にすればよいのだが、 ∂𝑤∂𝑣=0 では困る(まともな座標変換にならない)から、 (1𝜌2𝐿2) cosh𝑤𝐿∂𝑤∂𝜌 +𝜌𝐿sinh𝑤𝐿 = 0 (1𝜌2𝐿2) cosh𝑤𝐿∂𝑤∂𝜌 = 𝜌𝐿sinh𝑤𝐿 cosh𝑤𝐿𝐿sinh𝑤𝐿 ∂𝑤∂𝜌 = 𝜌 𝐿2(1𝜌2𝐿2) ∂𝜌log|sinh𝑤𝐿| = ∂𝜌 ( 12 log|1𝜌2𝐿2| ) log|sinh𝑤𝐿| = 12 log|1𝜌2𝐿2| +𝑓(𝑣) (𝑓(𝑣)は𝑣の任意関数) sinh𝑤𝐿 = ± |1𝜌2𝐿2| e𝑓(𝑣) (79) を満たすような座標変換をすればよい。ここで表記の簡略化のために 𝐴(𝜌)= |1𝜌2𝐿2| 𝐵(𝑣)=±e𝑓(𝑣) と置く。後で使うために場合分けをして 𝐴(𝜌) を 𝜌 で微分すると、 𝐴(𝜌)= { 1𝜌2𝐿2 (0𝜌<𝐿) (1𝜌2𝐿2) (𝐿<𝜌) (80) d𝐴(𝜌)d𝜌= { 𝜌𝐿2 1𝜌2𝐿2 (0𝜌<𝐿) 𝜌𝐿2 (1𝜌2𝐿2) (𝐿<𝜌) (81) である。このとき(79)式より sinh𝑤𝐿 = 𝐴(𝜌)𝐵(𝑣) (82) 𝑤 = 𝐿arsinh{𝐴(𝜌)𝐵(𝑣)} (83) と書ける。

𝐵(𝑣) は任意の関数であって具体的な形が未定であるが、それは後で決めることにしてとりあえずこのまま計算を進める。ここからは 𝐴 や 𝐵 の引数を表す (𝜌) や (𝑣) は省略する。(82)式より sinh2𝑤𝐿 = 𝐴2𝐵2 cosh2𝑤𝐿 = sinh2𝑤𝐿+1 = 𝐴2𝐵2+1 (84) cosh𝑤𝐿 = 𝐴2𝐵2+1 (85) であり、(83)式より ∂𝑤∂𝑣 = 𝐿1(𝐴𝐵)2+1 ∂𝑣(𝐴𝐵) = 𝐿𝐴𝐵˙𝐴2𝐵2+1 (86) ∂𝑤∂𝜌 = 𝐿1(𝐴𝐵)2+1 ∂𝜌(𝐴𝐵) = 𝐿𝐴𝐵𝐴2𝐵2+1 (87) である。ただしドット ˙ は座標 𝑣 による微分 dd𝑣 を表し、プライム ′ は座標 𝜌 による微分 dd𝜌 を表す。(82)(84)(87)式(78)式に代入して座標変換後の線素の式を計算したいが、(78)式はかなり長くなっているので一気に代入すると大変である。そこで計量の成分ごとに計算しよう。

(78)式の d𝑣² の係数は 𝑔00 = 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 { (1𝜌2𝐿2) cosh2𝑤𝐿 (∂𝑤∂𝑣)2 } = 1 (𝐴2𝐵2+1) 𝜌2𝐿2 { (1𝜌2𝐿2) (𝐴2𝐵2+1) ( 𝐿𝐴𝐵˙ 𝐴2𝐵2+1 ) 2 } = 1 𝐴2𝐵2 +1 𝜌2𝐿2 { (1𝜌2𝐿2) (𝐴2𝐵2+1) 𝐿2𝐴2𝐵˙2 𝐴2𝐵2+1 } = 1 𝐴2𝐵2 +(1𝜌2𝐿2) { (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐴2𝐵˙2 } = (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐴2𝐵˙2 𝐴2𝐵2 +(1𝜌2𝐿2) = (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2 𝐵2 + 1𝐴2 (1𝜌2𝐿2) である。ここに(80)式を代入すると、 0 ≦ 𝜌 < 𝐿 の領域では 𝑔(+)00 = (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2 𝐵2 + 1𝐴2 (1𝜌2𝐿2) = (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2 𝐵2 + 11𝜌2𝐿2 (1𝜌2𝐿2) = (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2𝐵2+1 となり、 𝐿 < 𝜌 の領域では 𝑔()00 = (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2 𝐵2 + 1𝐴2 (1𝜌2𝐿2) = (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2 𝐵2 + 1(1𝜌2𝐿2) (1𝜌2𝐿2) = (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2𝐵21 となる。まとめると 𝑔00= { (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2 𝐵2+1 (0𝜌<𝐿) (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2 𝐵21 (𝐿<𝜌) のようになる。

(78)式の d𝑣d𝜌 の係数は、それが0になるように 𝑣 を決めたのだから当然0である。

(78)式の d𝜌² の係数は 𝑔11 = 1 cosh2𝑤𝐿𝜌2𝐿2 { (1𝜌2𝐿2) cosh2𝑤𝐿 (∂𝑤∂𝜌)2 2𝜌𝐿sinh𝑤𝐿cosh𝑤𝐿 ∂𝑤∂𝜌 +cosh2𝑤𝐿 } = 1 (𝐴2𝐵2+1) 𝜌2𝐿2 { (1𝜌2𝐿2) (𝐴2𝐵2+1) ( 𝐿𝐴𝐵 𝐴2𝐵2+1 ) 2 2𝜌𝐿𝐴𝐵 𝐴2𝐵2+1 𝐿𝐴𝐵𝐴2𝐵2+1 +(𝐴2𝐵2+1) } = 1 𝐴2𝐵2 +1 𝜌2𝐿2 { (1𝜌2𝐿2) (𝐴2𝐵2+1) 𝐿2𝐴2𝐵2 𝐴2𝐵2+1 2𝜌𝐿𝐴𝐵𝐿𝐴𝐵 +𝐴2𝐵2 +1 } = 1 𝐴2𝐵2 +(1𝜌2𝐿2) { (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐴2𝐵2 2𝜌𝐴𝐴𝐵2 +𝐴2𝐵2 +1 } である。ここに(80)・(81)式を代入すると、 0 ≦ 𝜌 < 𝐿 の領域では 𝑔(+)11 = 1 𝐴2𝐵2 +(1𝜌2𝐿2) { (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐴2𝐵2 2𝜌𝐴𝐴𝐵2 +𝐴2𝐵2 +1 } = 1 (1𝜌2𝐿2)𝐵2 +(1𝜌2𝐿2) { (1𝜌2𝐿2)𝐿2 𝜌2𝐿4 1𝜌2𝐿2 𝐵2 2𝜌 1𝜌2𝐿2 ( 𝜌𝐿2 1𝜌2𝐿2 ) 𝐵2 + (1𝜌2𝐿2)𝐵2 +1 } = 1 (1𝜌2𝐿2) (𝐵2+1) ( 𝜌2𝐿2𝐵2 +2𝜌2𝐿2𝐵2 +𝐵2 𝜌2𝐿2𝐵2 +1 ) = 1 (1𝜌2𝐿2) (𝐵2+1) (𝐵2+1) = 11𝜌2𝐿2 となり、 𝐿 < 𝜌 の領域では 𝑔()11 = 1 𝐴2𝐵2 +(1𝜌2𝐿2) { (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐴2𝐵2 2𝜌𝐴𝐴𝐵2 +𝐴2𝐵2 +1 } = 1 (1𝜌2𝐿2)𝐵2 +(1𝜌2𝐿2) { (1𝜌2𝐿2)𝐿2 𝜌2𝐿4 (1𝜌2𝐿2) 𝐵2 2𝜌 (1𝜌2𝐿2) 𝜌𝐿2 (1𝜌2𝐿2) 𝐵2 (1𝜌2𝐿2)𝐵2 +1 } = 1 (1𝜌2𝐿2) (𝐵2+1) ( 𝜌2𝐿2𝐵2 2𝜌2𝐿2𝐵2 𝐵2 +𝜌2𝐿2𝐵2 +1 ) = 1 (1𝜌2𝐿2) (𝐵2+1) (𝐵2+1) = 11𝜌2𝐿2 となる。したがってどちらの領域でも 𝑔11= 11𝜌2𝐿2 のようになる。

これら以外の計量の成分は座標変換しても変わらない。以上により線素の式は d𝑠2= { (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2 𝐵2+1 d𝑣2 + 11𝜌2𝐿2 d𝜌2 + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) (0𝜌<𝐿) (1𝜌2𝐿2) 𝐿2𝐵˙2 𝐵21 d𝑣2 + 11𝜌2𝐿2 d𝜌2 + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) (𝐿<𝜌) (88) となる。あとは 𝐵(𝑣) の形を好きなように決めればよいのだが、ここで仮に 𝑔₀₀ が 𝑣 を含まなければ静的な計量にすることができて良さそうである。そのためには 𝐿2𝐵˙2𝐵2+1 =1 とか 𝐿2𝐵˙2𝐵21 =1 という微分方程式を解けばよい(右辺は正の定数なら何でもよいが、1にしておくのが楽である)。これらは両辺の平方根を 𝑣 で積分するだけで解けるので計算過程を省略していきなり答えを書くと、 𝐵(𝑣)= { sinh𝑣𝐿 (0𝜌<𝐿) ±cosh𝑣𝐿 (𝐿<𝜌) (89) である。下側の式についている複号は 𝑤 と 𝑣 の符号が同じになるように変換することと定義しておく。(89)式(88)式に代入すれば d𝑠2 = (1𝜌2𝐿2)d𝑣2 + 11𝜌2𝐿2 d𝜌2 + 𝜌2 (d𝜃2+sin2𝜃d𝜑2) (90) となる。この計量は⑤の解(平坦な空間のFLRW計量)を座標変換した(36)式と同じであり、 𝜌 < 𝐿 で静的である。曲率が正の空間が減速収縮から加速膨張に転じると思っていた⑥の解は、ドジッター時空と同じものだったのだ。

ここでは2段階で座標変換をしたが、最初の座標系と最後の座標系が結局どういう関係になっているのかを求めておこう。

0 ≦ 𝜌 < 𝐿 の領域では、(80)(89)式(83)・(82)式に代入すると、 𝑤 = 𝐿 arsinh ( 1𝜌2𝐿2sinh𝑣𝐿 ) (91) sinh𝑤𝐿 = 1𝜌2𝐿2sinh𝑣𝐿 (92) sinh𝑤𝐿 1𝜌2𝐿2 = sinh𝑣𝐿 𝐿 arsinh sinh𝑤𝐿 1𝜌2𝐿2 = 𝑣 (93) であるから、座標変換は 𝑣 = 𝐿 arsinh sinh𝑤𝐿 1𝜌2𝐿2 (93)式 = 𝐿 arsinh sinh𝑤𝐿 1 (𝐿𝑘𝑟cosh𝑤𝐿)2 𝐿2 (73)式を代入した。 = 𝐿 arsinh sinh𝑤𝐿 1 𝐿2𝑘𝑟2cosh2𝑤𝐿 𝐿2 = 𝐿 arsinh sinh𝑤𝐿 1𝑘𝑟2cosh2𝑤𝐿 𝜌 = 𝐿𝑘𝑟cosh𝑤𝐿 (73)式 であり、逆変換は 𝑤 = 𝐿 arsinh ( 1𝜌2𝐿2sinh𝑣𝐿 ) (91)式 𝑟 = 𝜌𝑘𝐿cosh𝑤𝐿 (74)式 = 𝜌𝑘𝐿sinh2𝑤𝐿+1 = 𝜌 𝑘𝐿 ( 1𝜌2𝐿2sinh𝑣𝐿 ) 2 +1 (92)式を代入した。 = 𝜌 𝑘𝐿 (1𝜌2𝐿2) sinh2𝑣𝐿 +1 = 𝜌 𝑘𝐿 cosh2𝑣𝐿 𝜌2𝐿2sinh2𝑣𝐿 = 𝜌 𝑘 𝐿2cosh2𝑣𝐿 𝜌2sinh2𝑣𝐿 である。

𝐿 < 𝜌 の領域では、(80)(89)式(83)・(82)式に代入すると、 𝑤 = 𝐿 arsinh ( ± 1+𝜌2𝐿2 cosh𝑣𝐿 ) (94) sinh𝑤𝐿 = ± 1+𝜌2𝐿2 cosh𝑣𝐿 (95) ± sinh𝑤𝐿 1+𝜌2𝐿2 = cosh𝑣𝐿 ±𝐿 arcosh sinh±𝑤𝐿 1+𝜌2𝐿2 = 𝑣 (96) であるから、座標変換は 𝑣 = ±𝐿 arcosh sinh±𝑤𝐿 1+𝜌2𝐿2 (96)式 = ±𝐿 arcosh sinh±𝑤𝐿 1+ (𝐿𝑘𝑟cosh𝑤𝐿)2 𝐿2 (73)式を代入した。 = ±𝐿 arcosh sinh±𝑤𝐿 1+ 𝐿2𝑘𝑟2cosh2𝑤𝐿 𝐿2 = ±𝐿 arcosh sinh±𝑤𝐿 1+𝑘𝑟2cosh2𝑤𝐿 𝜌 = 𝐿𝑘𝑟cosh𝑤𝐿 (73)式 であり、逆変換は 𝑤 = 𝐿 arsinh ( ± 1+𝜌2𝐿2 cosh𝑣𝐿 ) (94)式 = ± 𝐿 arsinh ( 1+𝜌2𝐿2 cosh𝑣𝐿 ) 𝑟 = 𝜌𝑘𝐿cosh𝑤𝐿 (74)式 = 𝜌 𝑘𝐿sinh2𝑤𝐿+1 = 𝜌 𝑘𝐿 ( ± 1+𝜌2𝐿2 cosh𝑣𝐿 ) 2 +1 (95)式を代入した。 = 𝜌 𝑘𝐿 (1+𝜌2𝐿2) cosh2𝑣𝐿 +1 = 𝜌 𝑘𝐿 𝜌2𝐿2cosh2𝑣𝐿 sinh2𝑣𝐿 = 𝜌 𝑘 𝜌2cosh2𝑣𝐿 𝐿2sinh2𝑣𝐿 である。

場合分けと式変形が長くなって全体が見づらいので結果だけをもう一度書いておくと、 𝑣= { 𝐿 arsinh sinh𝑤𝐿 1𝑘𝑟2cosh2𝑤𝐿 (0𝜌<𝐿) 𝐿 arcosh sinh𝑤𝐿 1+𝑘𝑟2cosh2𝑤𝐿 (𝐿<𝜌,0<𝑣) 𝐿 arcosh sinh𝑤𝐿 1+𝑘𝑟2cosh2𝑤𝐿 (𝐿<𝜌,𝑣<0) (97) 𝜌=𝐿𝑘𝑟cosh𝑤𝐿 (98) 𝑤= { 𝐿 arsinh ( 1𝜌2𝐿2sinh𝑣𝐿 ) (0𝜌<𝐿) 𝐿 arsinh ( 1+𝜌2𝐿2 cosh𝑣𝐿 ) (𝐿<𝜌,0<𝑣) 𝐿 arsinh ( 1+𝜌2𝐿2 cosh𝑣𝐿 ) (𝐿<𝜌,𝑣<0) (99) 𝑟= { 𝜌 𝑘 𝐿2cosh2𝑣𝐿 𝜌2sinh2𝑣𝐿 (0𝜌<𝐿) 𝜌 𝑘 𝜌2cosh2𝑣𝐿 𝐿2sinh2𝑣𝐿 (𝐿<𝜌) (100) である。まだ 𝜌 = 𝐿 の領域が残っているが、これはどうしようもない。その領域は元の座標系で考えれば(73)(74)式より 𝑘𝑟cosh𝑤𝐿=1 ということになるが、この関係を満たす 𝑤 と 𝑟 を(97)式に代入すると、 𝑤 = 0 でない限り新しい座標系では 𝑣 → ±∞ となって無限の未来/過去に飛ばされてしまう。逆に新しい座標系における 𝜌 = 𝐿 を元の座標系に変換するために(99)・(100)式に代入すると 𝑣 にかかわらず (𝑤,𝑟)= (0,1𝑘) となり1点に集まってしまう。だから 𝜌 = 𝐿 となる線上(4次元時空内で考えれば3次元超曲面上)の領域に限りこの座標変換は諦めることにする。

以上の関係を図示したものが図7である。茶色で描かれた座標系(𝜌 < 𝐿 で静的; (90)式)と青色で描かれた座標系(𝑘 > 0 のFLRW計量; (72)式)は、 𝜌 = 𝐿 の領域と 𝑣 = 0 (𝜌 > 𝐿) の領域を除いて一対一に対応する。後者の座標系は時空の半分の領域を覆うのだったから、前者の座標系も時空のほぼ半分の領域を覆っていることになる。

𝛬 > 0 の場合における静的な計量とFLRW計量(𝑘 > 0)との座標変換

図7. スケール因子を 𝑎=𝑘𝐿cosh𝑤𝐿 としたFLRW計量(表1の⑥)の座標変換。

茶色の線は 𝜌 < 𝐿 で静的な座標系、青色の線はFLRW計量の座標系を表す。後者は 0𝑟1𝑘 の範囲で定義される。

左図で青色の太線 𝑣 = 0 (𝜌 > 𝐿) はその上下両側の時空がつながっていないことを表す。その半直線は下側から見れば 𝑟=1𝑘 のうち 𝑤 < 0 の部分に対応し、上側から見れば 𝑟=1𝑘 のうち 𝑤 > 0 の部分に対応する。 𝜌 = 𝐿 の線上の領域は、青色の座標系の (𝑤,𝑟)= (0,1𝑘) の1点に対応する。右図で茶色の破線が密集している 𝑟=1𝑘sech𝑤𝐿 (𝑤 ≠ 0) の線上の領域は、茶色の座標系に対応する領域がない。これらの線上を除いて2つの座標系は一対一に対応する。

2.2.4 同じドジッター時空

表1で宇宙定数 𝛬 が正の場合の解である④〜⑥は実はすべて同じドジッター時空であることが2.2.12.2.3節でわかった。座標系の張り方の違いによって3種類(複号を区別すれば5種類)あるように見えていただけだ。

確かに数式の上では座標変換でそうなることが示されたが、結局その時空はどのような形をしているか、これだけではよくわからない。 𝑘 < 0 は無限に開いた空間、 𝑘 > 0 は有限の閉じた空間である。座標変換するだけで本当に空間部分が開いたり閉じたりするものだろうか。また、 𝜌 = 𝐿 では座標変換がうまくいかないが、そこはどうなっているのか。さらに、図7の茶色の座標系では 𝑣 = 0 (𝜌 > 𝐿) のところで時空が切れていたが、図34の茶色の座標系ではどこにもそんな切れ目は存在しなかった。これは矛盾ではないのだろうか。

このようにいろいろ疑問がわいてくる。これについてはわかりやすく理解する方法があるので、あとで第3章で説明する。

⛭ 数式の表示設定 (S)