回転面に平行な磁場

回転面に平行な磁場の例として 𝐵_𝑥 > 0, 𝐵_𝑦 = 𝐵_𝑧 = 0 とする。また、電場は0とする。このときK系とK″系から見たポテンシャルの渦は図4のようになる。

K系では渦管が 𝑦‐𝑧 平面と垂直に交差しているのに対し、K″系では渦管が 𝑦″‐𝑧″ 平面および 𝑧″‐𝑥″ 平面と斜めに交差している。 𝑦″‐𝑧″ 平面上で見た渦管の密度を考えると、 𝑦″ 方向の間隔は 𝑦 方向の間隔の $\frac{1}{\cos 𝜃}$ 倍、 𝑧″ 方向の間隔は 𝑧 方向の間隔と同じだから、密度は 𝑦‐𝑧 平面上の密度の cos 𝜃 倍になる。同様に 𝑧″‐𝑥″ 平面上で見た渦管の密度は 𝑦‐𝑧 平面上の密度の sin 𝜃 倍になるが、よく見ると渦の向きが負になっていることがわかる。周知のように 𝐵″_𝑥 = 𝐵_𝑥  cos 𝜃 ,  𝐵″_𝑦 = −𝐵_𝑥  sin 𝜃 であるから、これはちゃんとつじつまが合っている。

回転面に平行な電場

回転面に平行な電場の例として 𝐸_𝑥 > 0, 𝐸_𝑦 = 𝐸_𝑧 = 0 とする。また、磁場は0とする。このときK系とK″系から見たポテンシャルの渦は図5のようになる。なぜ渦管を表す円柱の軸が 𝑦 軸なのかと疑問に思うかもしれないが、そうではなく円柱の軸は 𝑦‐𝑧 平面であり、図では 𝑧 軸を省略しているから円柱の軸をなす 𝑦‐𝑧 平面のうち 𝑦 軸の部分だけが見えているのだ。

K系では渦管が 𝑥‐𝑐𝑡 平面と垂直に交差しているのに対し、K″系では渦管が 𝑥″‐𝑐𝑡″ 平面および 𝑦″‐𝑐𝑡″ 平面と斜めに交差している。 𝑥″‐𝑐𝑡″ 平面上で見た渦管の密度を考えると、 𝑥″ 方向の間隔は 𝑥 方向の間隔の $\frac{1}{\cos 𝜃}$ 倍、 𝑐𝑡″ 方向の間隔は 𝑐𝑡 方向の間隔と同じだから、密度は 𝑥‐𝑐𝑡 平面上の密度の cos 𝜃 倍になる。同様に 𝑦″‐𝑐𝑡″ 平面上で見た渦管の密度は 𝑥‐𝑐𝑡 平面上の密度の sin 𝜃 倍になるが、よく見ると渦の向きが負になっていることがわかる。周知のように 𝐸″_𝑥 = 𝐸_𝑥  cos 𝜃 ,  𝐸″_𝑦 = −𝐸_𝑥  sin 𝜃 であるから、これはちゃんとつじつまが合っている。

回転面に垂直な磁場

回転面に垂直な磁場とはすなわち 𝑧 成分のみの磁場のことである。これは図2と同じ状況である。ここで回転変換すると 𝑥‐𝑦 平面内で 𝑥 軸と 𝑦 軸が回転して 𝑥″ 軸と 𝑦″ 軸になるだけであり、 𝑥‐𝑦 平面と 𝑥″‐𝑦″ 平面は同一の平面であるから、渦の状況は変わらない（図の上で渦管の位置は変わるかもしれないが、渦管の密度や渦の向きは変わらない）。つまり 𝐵″_𝑧 = 𝐵_𝑧 であることを表している。

回転面に垂直な電場

回転面に垂直な電場とはすなわち 𝑧 成分のみの電場のことである。これは図3と同じ状況であり 𝑥 軸方向や 𝑦 軸方向に平行移動しても何も変わらない。したがって (𝑥, 𝑦) → (𝑥″, 𝑦″) という座標変換をしても、それらはもともとポテンシャルの渦と関係ない方向であり 𝑧 座標や 𝑐𝑡 座標には影響がないから、渦の状況は変わらない。つまり 𝐸″_𝑧 = 𝐸_𝑧 であることを表している。

速度に垂直な磁場

K系の電磁場のうち磁場の 𝑧 成分だけが正で他は0とする。 𝐵_𝑥 = 𝐵_𝑦 = 0, 𝑬 = 𝟎 を(8)〜(13)式に代入すると $$\begin{array}{l}{{𝐸}^{\prime }}_{𝑥}=0\\ {{𝐸}^{\prime }}_{𝑦}=-\frac{𝑣{𝐵}_{𝑧}}{\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}& \text{(18)}\\ {{𝐸}^{\prime }}_{𝑧}=0\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{{𝐵}^{\prime }}_{𝑥}=0\\ {{𝐵}^{\prime }}_{𝑦}=0\\ {{𝐵}^{\prime }}_{𝑧}=\frac{{𝐵}_{𝑧}}{\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}& \text{(19)}\end{array}$$ となる。このときK系とK′系から見たポテンシャルの渦は図6のようになる。

K系では渦管が 𝑥‐𝑦 平面と垂直に交差しているのに対し、K′系では渦管が 𝑥′‐𝑦′ 平面および 𝑦′‐𝑐𝑡′ 平面と斜めに交差している。 𝑥′‐𝑦′ 平面上では渦の向きが正なので 𝐵′_𝑧 > 0 であり、 𝑦′‐𝑐𝑡′ 平面上では渦の向きが負なので 𝐸′_𝑦 < 0 であることになり、符号は(18)・(19)式と整合している。

各平面と交差する渦管の密度を考えるのに図6では見にくいので、これを 𝑥‐𝑐𝑡 平面および 𝑥′‐𝑐𝑡′ 平面に投影した図7で説明しよう。なおK系において渦管の 𝑥 方向の間隔が 𝑎 だとしておく。

まず 𝑥′‐𝑦′ 平面と交差する渦管の密度すなわち磁場の 𝑧′ 成分の大きさについて計算する。K系でPQの距離は空間的に 𝑎 であり、 𝑥′ 軸の傾きは $\frac{𝑣}{𝑐}$ であるからQRの距離は時間的に $\frac{𝑣}{𝑐}𝑎$ になる。したがってPRの4次元的距離 𝛥𝑠 を求めると $$\begin{array}{lll}\hfill {\mathrm{𝛥𝑠}}^2& =& -{\left(𝑐\mathrm{𝛥𝑡}\right)}^2+{\mathrm{𝛥𝑥}}^2+{\mathrm{𝛥𝑦}}^2+{\mathrm{𝛥𝑧}}^2\\ & =& -{\left(\frac{𝑣}{𝑐}𝑎\right)}^2+{𝑎}^2+0+0\\ & =& \{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2\}{𝑎}^2\end{array}$$ になる。これは不変量であるからK′系で測ったPRの4次元的距離 𝛥𝑠 も同じなので、K′系でPRの距離は空間的に $\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}𝑎$ だということになる。つまり渦管の 𝑥′ 方向の間隔は 𝑥 方向の間隔の $\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}$ 倍であり、 𝑦′ 方向の間隔は 𝑦 方向の間隔と同じだから、渦管の密度は $\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}$ 倍になる。よってこのモデルでは $$\left|{{𝐵}^{\prime }}_{𝑧}\right|=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}\left|{𝐵}_{𝑧}\right|$$ になり、(19)式と整合している。すでに気付いていると思うが今やった計算はまさにローレンツ収縮に他ならない。この部分に限れば磁束線を使った3次元的なモデルと理屈はだいたい同じである。

次に 𝑦′‐𝑐𝑡′ 平面と交差する渦管の密度すなわち電場の 𝑦′ 成分の大きさについて計算する。K系でSTの距離は空間的に 𝑎 であり、 𝑐𝑡′ 軸の傾きは $\frac{𝑐}{𝑣}$ であるからTUの距離は時間的に $\frac{𝑐}{𝑣}𝑎$ になる。したがってSUの4次元的距離 𝛥𝑠 を求めると $$\begin{array}{lll}\hfill {\mathrm{𝛥𝑠}}^2& =& -{\left(𝑐\mathrm{𝛥𝑡}\right)}^2+{\mathrm{𝛥𝑥}}^2+{\mathrm{𝛥𝑦}}^2+{\mathrm{𝛥𝑧}}^2\\ & =& -{\left(\frac{𝑐}{𝑣}𝑎\right)}^2+{𝑎}^2+0+0\\ & =& \{-{\left(\frac{𝑐}{𝑣}\right)}^2+1\}{𝑎}^2\\ & =& -{\left(\frac{𝑐}{𝑣}\right)}^2\{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2\}{𝑎}^2\end{array}$$ になる。これは不変量であるからK′系で測ったSUの4次元的距離 𝛥𝑠 も同じなので、K′系でSUの距離は時間的に $\frac{𝑐}{𝑣}\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}𝑎$ だということになる。つまり渦管の 𝑐𝑡′ 方向の時間的間隔は 𝑥 方向の空間的間隔の $\frac{𝑐}{𝑣}\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}$ 倍であり、 𝑦′ 方向の間隔は 𝑦 方向の間隔と同じだから、渦管の密度は $\frac{𝑣}{𝑐\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}$ 倍になる。よってこのモデルでは $$\left|\frac{{{𝐸}^{\prime }}_{𝑦}}{𝑐}\right|=\frac{𝑣}{𝑐\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}\left|{𝐵}_{𝑧}\right|$$ になり、(18)式と整合している。左辺の絶対値の中の分母に 𝑐 がある理由は、電磁場テンソルの電場のところがそうなっているからだ。

このように、4元ポテンシャル 𝐴_𝜇 の渦を用いたモデルを使えば 𝑩_⟂ が 𝑬′_⟂ に混じる現象も説明することができる。

速度に垂直な電場

K系の電磁場のうち電場の 𝑧 成分だけが正で他は0とする。 𝐸_𝑥 = 𝐸_𝑦 = 0, 𝑩 = 𝟎 を(8)〜(13)式に代入すると $$\begin{array}{l}{{𝐸}^{\prime }}_{𝑥}=0\\ {{𝐸}^{\prime }}_{𝑦}=0\\ {{𝐸}^{\prime }}_{𝑧}=\frac{{𝐸}_{𝑧}}{\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}& \text{(20)}\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{{𝐵}^{\prime }}_{𝑥}=0\\ {{𝐵}^{\prime }}_{𝑦}=\frac{\frac{𝑣}{{𝑐}^2}{𝐸}_{𝑧}}{\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}& \text{(21)}\\ {{𝐵}^{\prime }}_{𝑧}=0\end{array}$$ となる。このときK系とK′系から見たポテンシャルの渦は図8のようになる。

K系では渦管が 𝑧‐𝑐𝑡 平面と垂直に交差しているのに対し、K′系では渦管が 𝑧′‐𝑐𝑡′ 平面および 𝑧′‐𝑥′ 平面と斜めに交差している。 𝑧′‐𝑐𝑡′ 平面上では渦の向きが正なので 𝐸′_𝑧 > 0 であり、 𝑧′‐𝑥′ 平面上では渦の向きが正なので 𝐵′_𝑦 > 0 であることになり、符号は(20)・(21)式と整合している。

各平面と交差する渦管の密度は前節の磁場のときと同様に 𝑥‐𝑐𝑡 平面および 𝑥′‐𝑐𝑡′ 平面に投影して考えればよい。よって図や途中の計算は省略し、結果だけを書くと以下のようになる。

まず 𝑧′‐𝑐𝑡′ 平面と交差する渦管の密度すなわち電場の 𝑧′ 成分の大きさに関しては、渦管の 𝑐𝑡′ 方向の間隔は 𝑐𝑡 方向の間隔の $\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}$ 倍であり、 𝑧′ 方向の間隔は 𝑧 方向の間隔と同じだから、渦管の密度は $\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}$ 倍になる。よってこのモデルでは $$\left|{{𝐸}^{\prime }}_{𝑧}\right|=\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}\left|{𝐸}_{𝑧}\right|$$ になり、(20)式と整合している。これは動いている観測者の時間は遅れるから単位時間当たりに交差する渦管の数が増えたために電場が大きくなった、ということである。この部分は電気力線を使った3次元的なモデルではローレンツ収縮（電気力線どうしの空間的な間隔が狭くなる）で説明されたので、結果は同じだが途中の理屈が異なる。

次に 𝑧′‐𝑥′ 平面と交差する渦管の密度すなわち磁場の 𝑦′ 成分の大きさに関しては、渦管の 𝑥′ 方向の空間的間隔は 𝑐𝑡 方向の時間的間隔の $\frac{𝑐}{𝑣}\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}$ 倍であり、 𝑧′ 方向の間隔は 𝑧 方向の間隔と同じだから、渦管の密度は $\frac{𝑣}{𝑐\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}$ 倍になる。よってこのモデルでは $$\left|{{𝐵}^{\prime }}_{𝑦}\right|=\frac{𝑣}{𝑐\sqrt{1-{\left(\frac{𝑣}{𝑐}\right)}^2}}\left|\frac{{𝐸}_{𝑧}}{𝑐}\right|$$ になり、(21)式と整合している。右辺の絶対値の中の分母に 𝑐 がある理由は、電磁場テンソルの電場のところがそうなっているからだ。

このように、4元ポテンシャル 𝐴_𝜇 の渦を用いたモデルを使えば 𝑬_⟂ が 𝑩′_⟂ に混じる現象も説明することができる。

速度に平行な磁場

K系の電磁場のうち磁場の 𝑥 成分だけが正で他は0とする。 𝐵_𝑦 = 𝐵_𝑧 = 0, 𝑬 = 𝟎 を(8)〜(13)式に代入すると $$\begin{array}{l}{{𝐸}^{\prime }}_{𝑥}=0\\ {{𝐸}^{\prime }}_{𝑦}=0\\ {{𝐸}^{\prime }}_{𝑧}=0\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{{𝐵}^{\prime }}_{𝑥}={𝐵}_{𝑥}\\ {{𝐵}^{\prime }}_{𝑦}=0\\ {{𝐵}^{\prime }}_{𝑧}=0\end{array}$$ となり、何も変わらない。このときK系とK′系から見たポテンシャルの渦は図9のようになる。

ポテンシャルの渦があるのは 𝑦‐𝑧 平面で、ローレンツブースト変換により座標変換が起きるのは 𝑐𝑡 座標と 𝑥 座標であるから、両者は無関係であり、2つの図は同じである。これは磁場が何も変わらないことを表している。

速度に平行な電場

K系の電磁場のうち電場の 𝑥 成分だけが正で他は0とする。 𝐸_𝑦 = 𝐸_𝑧 = 0, 𝑩 = 𝟎 を(8)〜(13)式に代入すると $$\begin{array}{l}{{𝐸}^{\prime }}_{𝑥}={𝐸}_{𝑥}\\ {{𝐸}^{\prime }}_{𝑦}=0\\ {{𝐸}^{\prime }}_{𝑧}=0\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{{𝐵}^{\prime }}_{𝑥}=0\\ {{𝐵}^{\prime }}_{𝑦}=0\\ {{𝐵}^{\prime }}_{𝑧}=0\end{array}$$ となり、何も変わらない。このときK系とK′系から見たポテンシャルの渦は図10のようになる。

ポテンシャルの渦があるのは 𝑥‐𝑐𝑡 平面で、ローレンツブースト変換により座標変換が起きるのも 𝑐𝑡 座標と 𝑥 座標であるから、この2つの次元だけを考慮すればよい。K′系で渦管の密度はどうなっているのだろうか。ローレンツブースト変換では 𝑥‐𝑐𝑡 平面と 𝑥′‐𝑐𝑡′ 平面の形は変わっても面積は不変であるから、渦管の密度も1倍で変わらない。これは電場が何も変わらないことを表している。

一般の電磁場

ここまでで、速度に[垂直/平行]な[電場/磁場]という4つの成分の変換がそれぞれ4元ポテンシャル 𝐴_𝜇 の渦のモデルで説明できることがわかった。その際に同時に考慮すべき次元は最大3つで済む。とても幸いなことに電磁場は重ね合わせが成り立っているから、一般の方向の電磁場のローレンツブースト変換は上に書いた4つの成分に分解して変換を考えてから最後に足し合わせればよい。

速度に垂直な成分と平行な成分に分解せずにまとめてこのモデルで扱うことはできるのだろうか。電場については成分に分けずまとめて扱ったとしても、考慮すべき次元は3つで済む。例えば速度の方向を 𝑥 軸に取り、電場の方向が 𝑥‐𝑦 平面上に来るように 𝑦 軸を取れば、 𝑥‐𝑦‐𝑐𝑡 の3次元でこのモデルを扱うことができて 𝑧 軸のことは一時的に忘れてよい。ただし定量的に正しい図を描こうとすると結局 𝑥 成分と 𝑦 成分を別々に計算する羽目になるだろう。磁場については、一般の方向の磁場をこのモデルで扱おうとするとどうしても同時に4つの次元を考慮しなければならず大変である。素直に成分に分けて考えるのが楽でよさそうだ。

最後にまとめておく。電気力線や磁束線を使った3次元的なよくあるモデルでは、なぜローレンツブースト変換で磁場の一部が電場になり電場の一部が磁場になるのかが説明できなかった。それに対し、ここで紹介した4元ポテンシャル 𝐴_𝜇 の渦を使った4次元的なモデルでは電場と磁場が混じる現象も含めて電磁場のローレンツブースト変換をうまく説明することができる。電場と磁場の違いは、 𝐴_𝜇 の渦が時間軸に平行か垂直かという4次元時空内での方向の違いであるから、それのローレンツブースト変換を図形的に扱う場合にも時間と空間を一体として4次元的モデルで考えるべきなのだ。