付録 FLRW計量のリーマンテンソル

アインシュタイン方程式にフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量（FLRW計量）を代入してフリードマン方程式を導くにあたって、リーマンテンソルの表式を求める必要はなかったので、第2章ではその計算をしなかった。だが、ついでだからリーマンテンソルもここに載せておく。なお第3章では真空の場合の解を求めたが、今はそれは関係ない。このページで書いているのは真空に限らず一般のFLRW計量のリーマンテンソルである。リーマンテンソルの各成分を具体的に計算するときの一般論は別の記事「シュバルツシルト解のリーマン曲率テンソル」で少し触れた。やり方は同じであるから、途中の式変形は省略する。

FLRW計量の線素の式は $${\mathrm{d𝑠}}^2=-{\mathrm{d𝑤}}^2+{\left\{𝑎\right(𝑤\left)\right\}}^2(\frac{1}{1-𝑘{𝑟}^2}{\mathrm{d𝑟}}^2+{𝑟}^2{\mathrm{d𝜃}}^2+{𝑟}^2{\sin }^2𝜃{\mathrm{d𝜑}}^2)\text{←}\text{(11)式}$$ であった。クリストッフェル記号も(25)式で求めてあるから、それらをリーマンテンソルの公式に代入すればよい。

リーマンテンソル 𝑅_{𝜅𝜆𝜇𝜈} の0でない成分を表2に示す。20個の独立成分で表2に載っていないもののうち、 𝑅_₀₂₁₂ および 𝑅_₀₃₁₃ , 𝑅_₀₃₂₃ , 𝑅_₁₃₂₃ の各成分は、公式にしたがって計算すると途中で0でない項が出てくるが打ち消し合って最終的には0になる。それら以外の独立成分は公式に含まれるすべての項が0になる。

リーマンテンソル 𝑅^𝜅_𝜆𝜇𝜈 の0でない成分を表3に示す。表3に載っていない成分のうち 𝑅^⁰_₂₁₂ , 𝑅^¹_₂₀₂ , 𝑅^²_₀₂₁ , 𝑅^²_₁₂₀ および 𝑅^⁰_₃₁₃ , 𝑅^¹_₃₀₃ , 𝑅^³_₀₃₁ , 𝑅^³_₁₃₀ , 𝑅^⁰_₃₂₃ , 𝑅^²_₃₀₃ , 𝑅^³_₀₃₂ , 𝑅^³_₂₃₀ , 𝑅^¹_₃₂₃ , 𝑅^²_₃₁₃ , 𝑅^³_₁₃₂ , 𝑅^³_₂₃₁ の各成分ならびにこれらの第3添え字と第4添え字を入れ替えた成分は、公式にしたがって計算すると途中で0でない項が出てくるが打ち消し合って最終的には0になる。それら以外の成分は公式に含まれるすべての項が0になる。

表3を列ごとに縦に合計するとリッチテンソル 𝑅_𝜇𝜈 の対角成分になり、(32)〜(35)式と一致することがわかる。

リーマンテンソル 𝑅^𝜅𝜆_𝜇𝜈 はもっと単純で、その0でない成分は $$\begin{array}{lll}\hfill 𝑅^0{}^1{}_0{}_1=-𝑅^0{}^1{}_1{}_0=𝑅^1{}^0{}_1{}_0=-𝑅^1{}^0{}_0{}_1=𝑅^0{}^2{}_0{}_2=-𝑅^0{}^2{}_2{}_0=𝑅^2{}^0{}_2{}_0=-𝑅^2{}^0{}_0{}_2=𝑅^0{}^3{}_0{}_3=-𝑅^0{}^3{}_3{}_0=𝑅^3{}^0{}_3{}_0=-𝑅^3{}^0{}_0{}_3& =& \frac{\ddot{𝑎}}{𝑎}\\ \hfill 𝑅^1{}^2{}_1{}_2=-𝑅^1{}^2{}_2{}_1=𝑅^2{}^1{}_2{}_1=-𝑅^2{}^1{}_1{}_2=𝑅^1{}^3{}_1{}_3=-𝑅^1{}^3{}_3{}_1=𝑅^3{}^1{}_3{}_1=-𝑅^3{}^1{}_1{}_3=𝑅^2{}^3{}_2{}_3=-𝑅^2{}^3{}_3{}_2=𝑅^3{}^2{}_3{}_2=-𝑅^3{}^2{}_2{}_3& =& \frac{{\dot{𝑎}}^2+𝑘}{{𝑎}^2}\end{array}$$ である。

リーマンテンソルの2乗とその平方根は $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}{𝑅}^{𝜅𝜆𝜇𝜈}& =& \frac{12\{{\left(𝑎\ddot{𝑎}\right)}^2+{({\dot{𝑎}}^2+𝑘)}^2\}}{{𝑎}^4}\\ \hfill \sqrt{{𝑅}_{𝜅𝜆𝜇𝜈}{𝑅}^{𝜅𝜆𝜇𝜈}}& =& \frac{2\sqrt{3\{{\left(𝑎\ddot{𝑎}\right)}^2+{({\dot{𝑎}}^2+𝑘)}^2\}}}{{𝑎}^2}\end{array}$$ である。