「双子のパラドックス」を両者の視点から計算する。(4)

運動方程式

アリスの運動を表す方程式を求める。この章ではボブの視点の座標系における計算結果を検証したいので、S(0)系やアリスの視点の座標系のことはいったん忘れて、わざわざ一般相対性理論の手法を使ってS(1)系で計算するのである。

アリスにはS(1)系で見て重力以外の力がかかっていないから、その運動を表す方程式は自由粒子の運動方程式であり測地線の方程式である。それは d2𝑋(1)𝜆 d𝜏𝐴2 + 𝛤𝜆𝜇𝜈 d𝑋(1)𝜇d𝜏𝐴 d𝑋(1)𝜈d𝜏𝐴 = 0 (65) のような2階微分方程式である。クリストッフェル記号 𝛤𝜆𝜇𝜈 は前のページの最後で求めたのでそれを代入すればよい。左辺の見かけ上の第2項は添え字の 𝜇 と 𝜈 がそれぞれ上下にペアで現れるので、規約によりそれぞれに 0,1,2,3 を入れて和をとるので実体は16個の項である。𝜆 は上下にペアで現れないので和をとってはいけない。この式は 𝜆 = 0,1,2,3 の4個の場合の式をまとめて書いたものであり、実体は4個の連立方程式なのである。これを解けば 𝑋(1)𝜆 の4成分 ( 𝑐𝑡(1),𝑥(1),𝑦(1),𝑧(1) ) を 𝜏𝐴 によるパラメータ表示で表すことができる。しかしこれだけだとパラメータ 𝜏𝐴 は自由なので、 𝜏𝐴 をアリスの固有時と一致させるために線素の式 𝑐2d𝜏𝐴2 = 𝑔𝜇𝜈 d𝑋(1)𝜇 d𝑋(1)𝜈 (66) も条件に加える。計量テンソル 𝑔𝜇𝜈 は前のページの終わりのほうで求めたのでそれを代入すればよい。𝜇 と 𝜈 はそれぞれに 0,1,2,3 を入れて和をとるので右辺の実体は16個の項である。今から(65)(66)式の実数解を求めるのである。また、これ以降、4元速度を d𝑋(1)𝜆d𝜏𝐴 = 𝑢(1)𝜆 と書くこととする。(この微分方程式を解くだけの作業に興味がない人は、一般解が求まる表8まで飛ばしてもらって構わない。)

簡単なものから先に解く。まず(65)式の第2成分 (𝜆 = 2) は、 d2𝑦(1) d𝜏𝐴2 + 𝛤2𝜇𝜈 d𝑋(1)𝜇d𝜏𝐴 d𝑋(1)𝜈d𝜏𝐴 = 0 であるが、 𝜇 と 𝜈 が何であろうと 𝛤2𝜇𝜈 はすべて0だから d2𝑦(1)d𝜏𝐴2 = 0 𝑢(1)2 = d𝑦(1)d𝜏𝐴 = 𝐾₁₃ (𝐾₁₃は積分定数) (67) 𝑦(1) = 𝐾₁₃𝜏𝐴+𝐾₁₄ (𝐾₁₄は積分定数) (68) となる。

次に(65)式の第3成分 (𝜆 = 3) は第2成分とまったく同様に、 d2𝑧(1)d𝜏𝐴2 = 0 𝑢(1)3 = d𝑧(1)d𝜏𝐴 = 𝐾₁₅ (𝐾₁₅は積分定数) (69) 𝑧(1) = 𝐾₁₅𝜏𝐴+𝐾₁₆ (𝐾₁₆は積分定数) (70) となる。

次に(65)式の第0成分 (𝜆 = 0) は、 d2𝑋(1)0 d𝜏𝐴2 + 𝛤0𝜇𝜈 d𝑋(1)𝜇d𝜏𝐴 d𝑋(1)𝜈d𝜏𝐴 = 0 であり、 𝛤0𝜇𝜈 のうち0でないものは 𝛤001𝛤010 だから d2𝑋(1)0 d𝜏𝐴2 + 𝛤001 d𝑋(1)0d𝜏𝐴 d𝑋(1)1d𝜏𝐴 + 𝛤010 d𝑋(1)1d𝜏𝐴 d𝑋(1)0d𝜏𝐴 = 0 d2𝑋(1)0 d𝜏𝐴2 + 2𝛤010 d𝑋(1)1d𝜏𝐴 d𝑋(1)0d𝜏𝐴 = 0 ←対称性 𝛤𝜆𝜇𝜈 = 𝛤𝜆𝜈𝜇 を使った。 d𝑢(1)0d𝜏𝐴 + 2𝑥(1)+𝑐2𝑎 d𝑥(1)d𝜏𝐴 𝑢(1)0 = 0 𝛤010 には(63)式を代入した。 d𝑢(1)0d𝜏𝐴 = 2𝑥(1)+𝑐2𝑎 d𝑥(1)d𝜏𝐴 𝑢(1)0 となる。𝑢(1)0 が恒等的に0であると仮定すればそれはこの式を満たす。そうでないと仮定すれば 𝑢(1)0 で割って、 1𝑢(1)0 d𝑢(1)0d𝜏𝐴 = 2𝑥(1)+𝑐2𝑎 d𝑥(1)d𝜏𝐴 1𝑢(1)0 d𝑢(1)0d𝜏𝐴 d𝜏𝐴 = 2𝑥(1)+𝑐2𝑎 d𝑥(1)d𝜏𝐴 d𝜏𝐴 1𝑢(1)0 d𝑢(1)0 = 2𝑥(1)+𝑐2𝑎 d𝑥(1) log|𝑢(1)0| = 2log|𝑥(1)+𝑐2𝑎| +𝐾₁₀ 𝐾₁₀は積分定数) log|𝑢(1)0| = log (𝑥(1)+𝑐2𝑎) 2 +𝐾₁₀ ±𝑢(1)0 = 𝐾₁₀ (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 𝐾₁₀=e𝐾₁₀>0 は積分定数) 𝑢(1)0 = ± 𝐾₁₀ (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 であるが、改めて ±𝐾₁₀″ = 𝐾₁₀ とおき、さらに 𝑢(1)0 が恒等的に0の場合と合わせれば、積分定数𝐾₁₀はすべての実数として d𝑋(1)0d𝜏𝐴 = 𝑢(1)0 = 𝐾₁₀ (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 (𝐾₁₀は積分定数) (71) である。𝑋(1)0 すなわち 𝑐𝑡(1) を求めるためにはもう一度積分する必要があるが、まだその計算はできない。その前に 𝑋(1)1 すなわち 𝑥(1) を求める。しかし(65)式の第1成分 (𝜆 = 1) を積分することは難しいので、先に(66)式を使う。(66)式(61)式を代入すると、 𝑐2d𝜏𝐴2 = (𝑎𝑐2𝑥(1)+1)2 (d𝑋(1)0)2 +(d𝑋(1)1)2 +(d𝑋(1)2)2 +(d𝑋(1)3)2 𝑐2 = { 𝑎𝑐2 ( 𝑥(1)+𝑐2𝑎 ) } 2 (d𝑋(1)0d𝜏𝐴) 2 + (d𝑋(1)1d𝜏𝐴) 2 + (d𝑋(1)2d𝜏𝐴) 2 + (d𝑋(1)3d𝜏𝐴) 2 𝑐2 = 𝑎2𝑐4 (𝑥(1)+𝑐2𝑎 ) 2 { 𝐾₁₀ (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 } 2 +(d𝑥(1)d𝜏𝐴)2 +𝐾₁₃2 +𝐾₁₅2 (67)(69)(71)式を代入した。 𝑐2 = 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 +(d𝑥(1)d𝜏𝐴)2 +𝐾₁₃2 +𝐾₁₅2 (d𝑥(1)d𝜏𝐴)2 = 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 𝑐2 𝐾₁₃2 𝐾₁₅2 (72) のようになるが、 𝐾₁₀ = 0 だと右辺が常に負となり実数解がなくなってしまうので、𝐾₁₀ ≠ 0 である。

ここで(72)式の右辺が恒等的に0であるかないかによって場合分けをする。(72)式の右辺が恒等的に0であると仮定すると、 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 𝑐2 𝐾₁₃2 𝐾₁₅2 = 0 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 = 𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2 𝑎2𝐾₁₀2 = 𝑐4 (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) = (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 ± 𝑎𝐾₁₀ 𝑐2𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2 = 𝑥(1)+𝑐2𝑎 𝑐2𝑎 ± 𝑎𝐾₁₀ 𝑐2𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2 = 𝑥(1) であるが、今 𝑥(1)>𝑐2𝑎 だから複号が付いている項は正でなければならないので、 𝑥(1) = 𝑐2𝑎 + 𝑎|𝐾₁₀| 𝑐2𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2 (73)

である。この 𝑥(1) は定数関数であるから(72)式の左辺も恒等的に0となり、(72)式を満たす。一方、(72)式の右辺が恒等的に0でないと仮定すれば、 (d𝑥(1)d𝜏𝐴)2 = 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 𝑐2 𝐾₁₃2 𝐾₁₅2 = 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 𝑐4 (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 d𝑥(1)d𝜏𝐴 = ± 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 𝑐2(𝑥(1)+𝑐2𝑎) 𝑐2(𝑥(1)+𝑐2𝑎) 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 d𝑥(1)d𝜏𝐴 = ±1 𝑐2(𝑥(1)+𝑐2𝑎) 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 d𝑥(1)d𝜏𝐴 d𝜏𝐴 = ±d𝜏𝐴 𝑐2(𝑥(1)+𝑐2𝑎) 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 d𝑥(1) = ±d𝜏𝐴 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 𝑐2 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) = ±(𝜏𝐴+𝐾₁₁)(𝐾₁₁は積分定数) 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2)2 = (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 = 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2)2 (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 = 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2)2 (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 𝑎2𝐾₁₀2 (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 = (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) 𝑥(1)+𝑐2𝑎 = ± (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) 𝑥(1) = 𝑐2𝑎 ± (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) であるが、今 𝑥(1)>𝑐2𝑎 だから複号は正を採用し、 𝑥(1) = 𝑐2𝑎 + (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (74) である。微分すると4元速度の𝑥成分は 𝑢(1)1 = d𝑥(1)d𝜏𝐴 = dd𝜏𝐴 { 𝑐2𝑎 + (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } = (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (75) である。後の計算に備えてもう一度微分すると4元加速度の𝑥成分は d𝑢(1)1d𝜏𝐴 = d2𝑥(1) d𝜏𝐴2 = dd𝜏𝐴 { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } = { dd𝜏𝐴 1 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) 1 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) dd𝜏𝐴 { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) } = [ 12 2 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 3 ] (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) 1 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) = (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2)2 (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 3 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 3 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) = (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2)2 (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 3 + (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2)2 (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 𝑎2𝐾₁₀2𝑐4 { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 3 = 𝑎2𝐾₁₀2𝑐4 { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 3 = 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 3 (76) である。ここまでで(73)式(74)式の2とおりの 𝑥(1) が得られたが、まだ(65)式の第1成分 (𝜆 = 1) の条件を使っていないのであった。それが満たされているかどうかを確認する。(65)式の第1成分は、 d2𝑋(1)1 d𝜏𝐴2 + 𝛤1𝜇𝜈 d𝑋(1)𝜇d𝜏𝐴 d𝑋(1)𝜈d𝜏𝐴 = 0 であり、 𝛤1𝜇𝜈 のうち0でないものは 𝛤100 だけだから d2𝑋(1)1 d𝜏𝐴2 + 𝛤100 d𝑋(1)0d𝜏𝐴 d𝑋(1)0d𝜏𝐴 = 0 d2𝑋(1)1 d𝜏𝐴2 + 𝛤100 ( d𝑋(1)0d𝜏𝐴 ) 2 = 0 d2𝑥(1) d𝜏𝐴2 + 𝑎2𝑐4 (𝑥(1)+𝑐2𝑎) { 𝐾₁₀ (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 } 2 = 0 (64)(71)式を代入した。 d2𝑥(1) d𝜏𝐴2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑥(1)+𝑐2𝑎)3 = 0 (77) である。まず(73)式(77)式の左辺に代入すると、 (77)式の左辺 = d2 d𝜏𝐴2 ( 𝑐2𝑎 + 𝑎|𝐾₁₀| 𝑐2𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2 ) + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 { ( 𝑐2𝑎 + 𝑎|𝐾₁₀| 𝑐2 𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2 ) +𝑐2𝑎 } 3 = 0 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 ( 𝑎|𝐾₁₀| 𝑐2 𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2 ) 3 = 𝑎2|𝐾₁₀|2 𝑐4 𝑎3|𝐾₁₀|3 𝑐6 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) 3 = 𝑐2 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) 3 𝑎|𝐾₁₀| 0 となって0にならないので、これは(77)式を満たさない。したがって(65)式の第1成分を満たさないので(73)式𝑥(1)(65)式の解ではない。次に(74)式およびそれから導いた(76)式(77)式の左辺に代入すると、 (77)式の左辺 = 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 3 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 [ { 𝑐2𝑎 + (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } +𝑐2𝑎 ] 3 = 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 3 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 3 = 0 であるからこれは(77)式を満たす。したがって(65)式の第1成分を満たすので(74)式𝑥(1)(65)式の解である。

𝑋(1)1 すなわち 𝑥(1) が求まったので、後回しにしていた 𝑋(1)0 すなわち 𝑐𝑡(1) を求める。(71)式(74)式を代入すると、 d𝑋(1)0d𝜏𝐴 = 𝑢(1)0 = 𝐾₁₀ [ { 𝑐2𝑎 + (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } +𝑐2𝑎 ] 2 = 𝐾₁₀ { (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) } 2 = 𝐾₁₀ (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (78) 𝑐𝑡(1)=𝑋(1)0 = 𝐾₁₀ (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) d𝜏𝐴 = 𝐾₁₀ 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) { 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2)2 (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 𝑎2𝐾₁₀2 +1 } d𝜏𝐴 = 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) 𝑎2𝐾₁₀ 1 { 𝑐2 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) 𝑎𝐾₁₀ } 2 +1 d𝜏𝐴 = 𝑐2𝑎 artanh 𝑐2 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) 𝑎𝐾₁₀ +𝐾₁₂ (𝐾₁₂は積分定数) (79) である。最後の等号は微分の公式 dd𝑥artanh𝑥 = 1𝑥2+1 を使った。

ここまでで2階微分方程式(65)式(に線素の条件(66)式を加えたもの)の一般解が求まったので表8にまとめておく。

表8. (65)(66)式の一般解
式番号一般解(0階微分と1階微分)
(79) 𝑋(1)0=𝑐𝑡(1)= 𝑐2𝑎 artanh 𝑐2 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) 𝑎𝐾₁₀ +𝐾₁₂
(74) 𝑋(1)1=𝑥(1)= 𝑐2𝑎 + (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2)
(68) 𝑋(1)2=𝑦(1)= 𝐾₁₃𝜏𝐴+𝐾₁₄
(70) 𝑋(1)3=𝑧(1)= 𝐾₁₅𝜏𝐴+𝐾₁₆
(78)(71) 𝑢(1)0= d𝑋(1)0d𝜏𝐴= 𝐾₁₀ (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) = 𝐾₁₀(𝑥(1)+𝑐2𝑎)2
(75) 𝑢(1)1= d𝑋(1)1d𝜏𝐴= (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 + 𝑎2𝐾₁₀2 𝑐4 (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) = (𝑐2+𝐾₁₃2+𝐾₁₅2) (𝜏𝐴+𝐾₁₁) 𝑥(1)+𝑐2𝑎
(67) 𝑢(1)2 =d𝑋(1)2d𝜏𝐴 =𝐾₁₃
(69) 𝑢(1)3 =d𝑋(1)3d𝜏𝐴 =𝐾₁₅
(𝐾₁₀, 𝐾₁₁, 𝐾₁₂, 𝐾₁₃, 𝐾₁₄, 𝐾₁₅, 𝐾₁₆ は積分定数)

なお 𝑢(1)0𝑢(1)1 の最後の等号は(74)式を使えば確認できる。

次に初期条件を適用して積分定数を定める。今の出発局面の場合、初期条件はその最初の時刻 𝑡(1)=0 のときのアリスの位置と4元速度と固有時である。ボブが加速を始める最初の瞬間まではアリスとボブの運動は共通であるから、 𝑡(1)=0 における値は 𝑥(1)=𝑦(1)=𝑧(1)=0 𝑢(1)1= 𝑢(1)2= 𝑢(1)3=0 𝑢(1)0=𝑐 であり、またアリスの固有時も出発時を基準にしたいので 𝑡(1)=0 のとき 𝜏𝐴 = 0 とする。

これらの初期条件のうち第2・3成分(𝑦, 𝑧 成分)と 𝜏𝐴 を(67)(70)式に代入すれば、簡単な計算により 𝐾₁₃ = 𝐾₁₄ = 𝐾₁₅ = 𝐾₁₆ = 0 のように定まる。それを表8の各式に代入すると次のようになる。

𝑋(1)0=𝑐𝑡(1)= 𝑐2𝑎 artanh 𝑐4(𝜏𝐴+𝐾₁₁)𝑎𝐾₁₀ +𝐾₁₂ (80) 𝑋(1)1=𝑥(1)= 𝑐2𝑎 + 𝑐2(𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 +𝑎2𝐾₁₀2𝑐6 (81) 𝑋(1)2=𝑦(1)=0 𝑋(1)3=𝑧(1)=0 𝑢(1)0= d𝑋(1)0d𝜏𝐴= 𝐾₁₀ 𝑐2(𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 +𝑎2𝐾₁₀2𝑐6 = 𝐾₁₀ (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 (82) 𝑢(1)1= d𝑋(1)1d𝜏𝐴= 𝑐2(𝜏𝐴+𝐾₁₁) 𝑐2(𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 +𝑎2𝐾₁₀2𝑐6 = 𝑐2(𝜏𝐴+𝐾₁₁) 𝑥(1)+𝑐2𝑎 (83) 𝑢(1)2 =d𝑋(1)2d𝜏𝐴 =0 𝑢(1)3 =d𝑋(1)3d𝜏𝐴 =0

第2・3成分(𝑦, 𝑧 成分)はずっと 0 であることがわかったので、これ以降この節では書かない。 さらに初期条件のうち第0・1成分(𝑐𝑡, 𝑥 成分)と 𝜏𝐴 を(80)〜(83)式に代入すれば、簡単な計算により 𝐾₁₀=𝑐5𝑎2, 𝐾₁₁ = 𝐾₁₂ = 0 のように定まる。

積分定数の値を代入する前に、後で使うために(80)〜(83)式を固有時 𝜏𝐴 を使ったパラメータ表示から座標時 𝑡(1) の関数としての表示に変形する。(80)式を 𝜏𝐴 について解くと、 𝑐2𝑎 artanh 𝑐4(𝜏𝐴+𝐾₁₁)𝑎𝐾₁₀ +𝐾₁₂ = 𝑐𝑡(1) 𝑐2𝑎 artanh 𝑐4(𝜏𝐴+𝐾₁₁)𝑎𝐾₁₀ = 𝑐𝑡(1)𝐾₁₂ artanh 𝑐4(𝜏𝐴+𝐾₁₁)𝑎𝐾₁₀ = 𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐) 𝑐4(𝜏𝐴+𝐾₁₁)𝑎𝐾₁₀ = tanh {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} 𝜏𝐴+𝐾₁₁ = 𝑎𝐾₁₀𝑐4 tanh {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} (84) 𝜏𝐴 = 𝑎𝐾₁₀𝑐4 tanh {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} 𝐾₁₁ (85) である。(81)式より、 𝑥(1) = 𝑐2𝑎 + 𝑐2(𝜏𝐴+𝐾₁₁)2 +𝑎2𝐾₁₀2𝑐6 = 𝑐2𝑎 + 𝑐2 [ 𝑎𝐾₁₀𝑐4 tanh {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} ] 2 +𝑎2𝐾₁₀2𝑐6 (84)式を代入した。 = 𝑐2𝑎 + 𝑎2𝐾₁₀2𝑐6 tanh2 {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} +𝑎2𝐾₁₀2𝑐6 = 𝑐2𝑎 + 𝑎2𝐾₁₀2𝑐6 [ tanh2 {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} +1 ] = 𝑐2𝑎 + 𝑎2𝐾₁₀2𝑐6 1 cosh2 {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} = 𝑐2𝑎 + 𝑎|𝐾₁₀| 𝑐3 cosh{𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} (86) 𝑥(1)+𝑐2𝑎 = 𝑎|𝐾₁₀| 𝑐3 cosh{𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} (87) である。(82)式より、 𝑢(1)0 = 𝐾₁₀ (𝑥(1)+𝑐2𝑎)2 = 𝐾₁₀ [ 𝑎|𝐾₁₀| 𝑐3 cosh {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} ] 2 (87)式を代入した。 = 𝑐6 cosh2 {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} 𝑎2𝐾₁₀ (88) である。(83)式より、 𝑢(1)1 = 𝑐2(𝜏𝐴+𝐾₁₁) 𝑥(1)+𝑐2𝑎 = 𝑐2 [ 𝑎𝐾₁₀𝑐4 tanh {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} ] [ 𝑎|𝐾₁₀| 𝑐3 cosh{𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} ] (84)(87)式を代入した。 = 𝑐𝐾₁₀ tanh{𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} cosh{𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} |𝐾₁₀| = 𝐾₁₀|𝐾₁₀| 𝑐 sinh {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} (89) である。以上の(85)(86)(88)(89)式が座標時 𝑡(1) の関数としての表示である。

先ほど求めた積分定数の値をこれらに代入すれば、S(1)系で見たアリスの固有時と位置と4元速度は次のようになる。

𝜏𝐴 = 𝑎𝐾₁₀𝑐4 tanh {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} 𝐾₁₁ (85)式 = 𝑎𝑐5𝑎2𝑐4 tanh {𝑎𝑐(𝑡(1)0𝑐)} 0 ←積分定数の値を代入した。 = 𝑐𝑎tanh𝑎𝑡(1)𝑐 (90) 𝑥(1) = 𝑐2𝑎 + 𝑎|𝐾₁₀| 𝑐3 cosh{𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} (86)式 = 𝑐2𝑎 + 𝑎|𝑐5𝑎2| 𝑐3 cosh{𝑎𝑐(𝑡(1)0𝑐)} ←積分定数の値を代入した。 = 𝑐2𝑎 + 𝑐2𝑎cosh𝑎𝑡(1)𝑐 (91) 𝑢(1)0 = 𝑐6 cosh2 {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} 𝑎2𝐾₁₀ (88)式 = 𝑐6 cosh2 {𝑎𝑐(𝑡(1)0𝑐)} 𝑎2𝑐5𝑎2 ←積分定数の値を代入した。 = 𝑐cosh2𝑎𝑡(1)𝑐 (92) 𝑢(1)1 = 𝐾₁₀|𝐾₁₀| 𝑐 sinh {𝑎𝑐(𝑡(1)𝐾₁₂𝑐)} (89)式 = 1𝑐 sinh {𝑎𝑐(𝑡(1)0𝑐)} ←積分定数の値を代入した。 = 𝑐sinh𝑎𝑡(1)𝑐 (93)

今は 𝑥(1)>𝑐2𝑎 の範囲のみを考えることにしているが、(91)式より確かにその範囲に収まっていることがわかる。(90)式より、 𝜏𝐴𝑐𝑎 で頭打ちになり、S(1)系で測ると 𝑡(1) が大きくなったときアリスの時間はほぼ止まってしまうことになる。

出発局面の終了時では、 𝑡(1)=𝑇₁ であるからこれを(90)(93)式に代入すると、アリスの固有時は 𝑐𝑎tanh𝑎𝑇₁𝑐 、位置は 𝑐2𝑎 +𝑐2𝑎cosh𝑎𝑇₁𝑐 、4元速度は ( 𝑐cosh2𝑎𝑇₁𝑐, 𝑐sinh𝑎𝑇₁𝑐, 0,0 ) である。

ボブに固定した座標系での出発局面におけるアリスの世界線のグラフ (91)式
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