運動方程式

アリスの運動を表す方程式を求める。この章ではボブの視点の座標系における計算結果を検証したいので、S₍₀₎系やアリスの視点の座標系のことはいったん忘れて、わざわざ一般相対性理論の手法を使ってS₍₁₎系で計算するのである。

アリスにはS₍₁₎系で見て重力以外の力がかかっていないから、その運動を表す方程式は自由粒子の運動方程式であり測地線の方程式である。それは $$\frac{{\mathrm{d}}^2{{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜆}}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}+𝛤^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜇}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜈}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}=0\text{(65)}$$ のような2階微分方程式である。クリストッフェル記号 $𝛤^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}$ は前のページの最後で求めたのでそれを代入すればよい。左辺の見かけ上の第2項は添え字の 𝜇 と 𝜈 がそれぞれ上下にペアで現れるので、規約によりそれぞれに 0,1,2,3 を入れて和をとるので実体は16個の項である。𝜆 は上下にペアで現れないので和をとってはいけない。この式は 𝜆 = 0,1,2,3 の4個の場合の式をまとめて書いたものであり、実体は4個の連立方程式なのである。これを解けば ${{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜆}$ の4成分 $({\mathrm{𝑐𝑡}}_{\mathrm{(1)}},{𝑥}_{\mathrm{(1)}},{𝑦}_{\mathrm{(1)}},{𝑧}_{\mathrm{(1)}})$ を 𝜏_𝐴 によるパラメータ表示で表すことができる。しかしこれだけだとパラメータ 𝜏_𝐴 は自由なので、 𝜏_𝐴 をアリスの固有時と一致させるために線素の式 $$-{𝑐}^2{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2={𝑔}_{𝜇𝜈}{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜇}{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜈}\text{(66)}$$ も条件に加える。計量テンソル ${𝑔}_{𝜇𝜈}$ は前のページの終わりのほうで求めたのでそれを代入すればよい。𝜇 と 𝜈 はそれぞれに 0,1,2,3 を入れて和をとるので右辺の実体は16個の項である。今から(65)・(66)式の実数解を求めるのである。また、これ以降、4元速度を $\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜆}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}={{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜆}$ と書くこととする。（この微分方程式を解くだけの作業に興味がない人は、一般解が求まる表8まで飛ばしてもらって構わない。）

簡単なものから先に解く。まず(65)式の第2成分 (𝜆 = 2) は、 $$\frac{{\mathrm{d}}^2{𝑦}_{\mathrm{(1)}}}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}+𝛤^2{}_{𝜇}{}_{𝜈}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜇}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜈}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}=0$$ であるが、 𝜇 と 𝜈 が何であろうと $𝛤^2{}_{𝜇}{}_{𝜈}$ はすべて0だから $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{\mathrm{d}}^2{𝑦}_{\mathrm{(1)}}}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}& =& 0\\ \hfill {{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^2=\frac{{\mathrm{d𝑦}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}& =& \mathrm{𝐾₁₃}& \text{（𝐾₁₃は積分定数）}& \text{(67)}\\ \hfill {𝑦}_{\mathrm{(1)}}& =& \mathrm{𝐾₁₃}{𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₄}& \text{（𝐾₁₄は積分定数）}& \text{(68)}\end{array}$$ となる。

次に(65)式の第3成分 (𝜆 = 3) は第2成分とまったく同様に、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{\mathrm{d}}^2{𝑧}_{\mathrm{(1)}}}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}& =& 0\\ \hfill {{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^3=\frac{{\mathrm{d𝑧}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}& =& \mathrm{𝐾₁₅}& \text{（𝐾₁₅は積分定数）}& \text{(69)}\\ \hfill {𝑧}_{\mathrm{(1)}}& =& \mathrm{𝐾₁₅}{𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₆}& \text{（𝐾₁₆は積分定数）}& \text{(70)}\end{array}$$ となる。

次に(65)式の第0成分 (𝜆 = 0) は、 $$\frac{{\mathrm{d}}^2{{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}+𝛤^0{}_{𝜇}{}_{𝜈}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜇}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜈}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}=0$$ であり、 $𝛤^0{}_{𝜇}{}_{𝜈}$ のうち0でないものは $𝛤^0{}_0{}_1$ と $𝛤^0{}_1{}_0$ だから $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{\mathrm{d}}^2{{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}+𝛤^0{}_0{}_1\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^1}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}+𝛤^0{}_1{}_0\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^1}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}& =& 0\\ \hfill \frac{{\mathrm{d}}^2{{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}+2𝛤^0{}_1{}_0\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^1}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}& =& 0& \text{←対称性}𝛤^{𝜆}{}_{𝜇}{}_{𝜈}=𝛤^{𝜆}{}_{𝜈}{}_{𝜇}\text{を使った。}\\ \hfill \frac{{{\mathrm{d𝑢}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}+\frac{2}{{𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}}\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}{{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0& =& 0& \text{←}𝛤^0{}_1{}_0\text{には}\text{(63)式}\text{を代入した。}\\ \hfill \frac{{{\mathrm{d𝑢}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}& =& -\frac{2}{{𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}}\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}{{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0\end{array}$$ となる。${{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0$ が恒等的に0であると仮定すればそれはこの式を満たす。そうでないと仮定すれば ${{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0$ で割って、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{1}{{{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0}\frac{{{\mathrm{d𝑢}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}& =& -\frac{2}{{𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}}\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\\ \hfill \int \frac{1}{{{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0}\frac{{{\mathrm{d𝑢}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}& =& -\int \frac{2}{{𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}}\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}\\ \hfill \int \frac{1}{{{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝑢}}_{\mathrm{(1)}}}^0& =& -\int \frac{2}{{𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}}{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}\\ \hfill \ln \left|{{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0\right|& =& -2\ln |{𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}|+{\mathrm{𝐾₁₀}}^{\prime }& \text{（}{\mathrm{𝐾₁₀}}^{\prime }\text{は積分定数）}\\ \hfill \ln \left|{{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0\right|& =& \ln {({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^{-2}+{\mathrm{𝐾₁₀}}^{\prime }\\ \hfill \pm {{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0& =& \frac{{\mathrm{𝐾₁₀}}^{″}}{{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}& \text{（}{\mathrm{𝐾₁₀}}^{″}={\mathrm{e}}^{{\mathrm{𝐾₁₀}}^{\prime }}>0\text{は積分定数）}\\ \hfill {{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0& =& \pm \frac{{\mathrm{𝐾₁₀}}^{″}}{{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}\end{array}$$ であるが、改めて ±𝐾₁₀″ = 𝐾₁₀ とおき、さらに ${{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0$ が恒等的に0の場合と合わせれば、積分定数𝐾₁₀はすべての実数として $$\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}={{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0=\frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}\text{（𝐾₁₀は積分定数）}\text{(71)}$$ である。${{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^0$ すなわち ${\mathrm{𝑐𝑡}}_{\mathrm{(1)}}$ を求めるためにはもう一度積分する必要があるが、まだその計算はできない。その前に ${{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^1$ すなわち ${𝑥}_{\mathrm{(1)}}$ を求める。しかし(65)式の第1成分 (𝜆 = 1) を積分することは難しいので、先に(66)式を使う。(66)式に(61)式を代入すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill -{𝑐}^2{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2& =& -{(\frac{𝑎}{{𝑐}^2}{𝑥}_{\mathrm{(1)}}+1)}^2{\left({{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^0\right)}^2+{\left({{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^1\right)}^2+{\left({{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^2\right)}^2+{\left({{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^3\right)}^2\\ \hfill -{𝑐}^2& =& -{\left\{\frac{𝑎}{{𝑐}^2}\right({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}\left)\right\}}^2{\left(\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\right)}^2+{\left(\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^1}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\right)}^2+{\left(\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^2}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\right)}^2+{\left(\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^3}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\right)}^2\\ \hfill -{𝑐}^2& =& -\frac{{𝑎}^2}{{𝑐}^4}{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2{\left\{\frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}\right\}}^2+{\left(\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\right)}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2& \text{←}\text{(67)}\text{・}\text{(69)}\text{・}\text{(71)式}\text{を代入した。}\\ \hfill -{𝑐}^2& =& -\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}+{\left(\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\right)}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2\\ \hfill {\left(\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\right)}^2& =& \frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}-{𝑐}^2-{\mathrm{𝐾₁₃}}^2-{\mathrm{𝐾₁₅}}^2& \text{(72)}\end{array}$$ のようになるが、 𝐾₁₀ = 0 だと右辺が常に負となり実数解がなくなってしまうので、𝐾₁₀ ≠ 0 である。

ここで(72)式の右辺が恒等的に0であるかないかによって場合分けをする。(72)式の右辺が恒等的に0であると仮定すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}-{𝑐}^2-{\mathrm{𝐾₁₃}}^2-{\mathrm{𝐾₁₅}}^2& =& 0\\ \hfill \frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}& =& {𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2\\ \hfill {𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2& =& {𝑐}^4{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)\\ \hfill \frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}& =& {({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2\\ \hfill \pm \frac{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}{{𝑐}^2\sqrt{{𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2}}& =& {𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}\\ \hfill -\frac{{𝑐}^2}{𝑎}\pm \frac{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}{{𝑐}^2\sqrt{{𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2}}& =& {𝑥}_{\mathrm{(1)}}\end{array}$$ であるが、今 ${𝑥}_{\mathrm{(1)}}>-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}$ だから複号が付いている項は正でなければならないので、 $${𝑥}_{\mathrm{(1)}}=-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\frac{𝑎\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}{{𝑐}^2\sqrt{{𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2}}\text{(73)}$$

である。この ${𝑥}_{\mathrm{(1)}}$ は定数関数であるから(72)式の左辺も恒等的に0となり、(72)式を満たす。一方、(72)式の右辺が恒等的に0でないと仮定すれば、 $$\begin{array}{lll}\hfill {\left(\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\right)}^2& =& \frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}-{𝑐}^2-{\mathrm{𝐾₁₃}}^2-{\mathrm{𝐾₁₅}}^2\\ & =& \frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2-{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}{{𝑐}^4{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}\\ \hfill \frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}& =& \pm \frac{\sqrt{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2-{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}}{{𝑐}^2({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}\\ \hfill \frac{{𝑐}^2({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}{\sqrt{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2-{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}}\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}& =& \pm 1\\ \hfill \int \frac{{𝑐}^2({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}{\sqrt{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2-{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}}\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}& =& \pm \int {\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}\\ \hfill \int \frac{{𝑐}^2({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}{\sqrt{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2-{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}}{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}& =& \pm \int {\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}\\ \hfill -\frac{\sqrt{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2-{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}}{{𝑐}^2({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}& =& \pm ({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})\text{（𝐾₁₁は積分定数）}\\ \hfill \frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2-{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}{{𝑐}^4{({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}^2}& =& {({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2\\ \hfill {𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2-{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2& =& {𝑐}^4{({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}^2{({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2\\ \hfill -{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2& =& {𝑐}^4{({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}^2{({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2-{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2\\ \hfill {({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2& =& -({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}\\ \hfill {𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}& =& \pm \sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\\ \hfill {𝑥}_{\mathrm{(1)}}& =& -\frac{{𝑐}^2}{𝑎}\pm \sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\end{array}$$ であるが、今 ${𝑥}_{\mathrm{(1)}}>-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}$ だから複号は正を採用し、 $${𝑥}_{\mathrm{(1)}}=-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\text{(74)}$$ である。微分すると4元速度の𝑥成分は $$\begin{array}{lll}\hfill {{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^1=\frac{{\mathrm{d𝑥}}_{\mathrm{(1)}}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}& =& \frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\{-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\}\\ \hfill & =& -\frac{({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}}& \text{(75)}\end{array}$$ である。後の計算に備えてもう一度微分すると4元加速度の𝑥成分は $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{{\mathrm{d𝑢}}_{\mathrm{(1)}}}^1}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}=\frac{{\mathrm{d}}^2{𝑥}_{\mathrm{(1)}}}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}& =& \frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\{-\frac{({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}}\}\\ & =& -\left\{\frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\frac{1}{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}}\right\}({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})\\ & & -\frac{1}{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}}\frac{\mathrm{d}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\left\{\right({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2\left)\right({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁}\left)\right\}\\ & =& -[-\frac{1}{2}\frac{-2({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}{{\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^3}]({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})\\ & & -\frac{1}{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}}({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)\\ & =& -\frac{{({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}^2{({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2}{{\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^3}\\ & & -\frac{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}{{\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^3}({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)\\ & =& \frac{-{({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}^2{({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2}{{\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^3}\\ & & +\frac{{({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}^2{({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2-\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4}}{{\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^3}\\ & =& \frac{-\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4}}{{\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^3}\\ & =& -\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{{𝑐}^4\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^3}& \text{(76)}\end{array}$$ である。ここまでで(73)式と(74)式の2とおりの ${𝑥}_{\mathrm{(1)}}$ が得られたが、まだ(65)式の第1成分 (𝜆 = 1) の条件を使っていないのであった。それが満たされているかどうかを確認する。(65)式の第1成分は、 $$\frac{{\mathrm{d}}^2{{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^1}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}+𝛤^1{}_{𝜇}{}_{𝜈}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜇}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^{𝜈}}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}=0$$ であり、 $𝛤^1{}_{𝜇}{}_{𝜈}$ のうち0でないものは $𝛤^1{}_0{}_0$ だけだから $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{\mathrm{d}}^2{{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^1}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}+𝛤^1{}_0{}_0\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}& =& 0\\ \hfill \frac{{\mathrm{d}}^2{{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^1}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}+𝛤^1{}_0{}_0{\left(\frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}\right)}^2& =& 0\\ \hfill \frac{{\mathrm{d}}^2{𝑥}_{\mathrm{(1)}}}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}+\frac{{𝑎}^2}{{𝑐}^4}({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}){\left\{\frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}\right\}}^2& =& 0& \text{←}\text{(64)}\text{・}\text{(71)式}\text{を代入した。}\\ \hfill \frac{{\mathrm{d}}^2{𝑥}_{\mathrm{(1)}}}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^3}& =& 0& \text{(77)}\end{array}$$ である。まず(73)式を(77)式の左辺に代入すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \text{(77)式の左辺}& =& \frac{{\mathrm{d}}^2}{{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}^2}(-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\frac{𝑎\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}{{𝑐}^2\sqrt{{𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2}})+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4{\left\{\right(-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\frac{𝑎\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}{{𝑐}^2\sqrt{{𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2}})+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}\}}^3}\\ & =& 0+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4{\left(\frac{𝑎\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}{{𝑐}^2\sqrt{{𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2}}\right)}^3}\\ & =& \frac{{𝑎}^2{\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}^2}{{𝑐}^4\frac{{𝑎}^3{\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}^3}{{𝑐}^6{\left(\sqrt{{𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2}\right)}^3}}\\ & =& \frac{{𝑐}^2{\left(\sqrt{{𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2}\right)}^3}{𝑎\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}\\ & \ne & 0\end{array}$$ となって0にならないので、これは(77)式を満たさない。したがって(65)式の第1成分を満たさないので(73)式の ${𝑥}_{\mathrm{(1)}}$ は(65)式の解ではない。次に(74)式およびそれから導いた(76)式を(77)式の左辺に代入すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \text{(77)式の左辺}& =& -\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{{𝑐}^4\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^3}\\ & & +\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4{\left[\right\{-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}]}^3}\\ & =& -\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{{𝑐}^4\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^3}\\ & & +\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4{\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^3}\\ & =& 0\end{array}$$ であるからこれは(77)式を満たす。したがって(65)式の第1成分を満たすので(74)式の ${𝑥}_{\mathrm{(1)}}$ は(65)式の解である。

${{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^1$ すなわち ${𝑥}_{\mathrm{(1)}}$ が求まったので、後回しにしていた ${{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^0$ すなわち ${\mathrm{𝑐𝑡}}_{\mathrm{(1)}}$ を求める。(71)式に(74)式を代入すると、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{{\mathrm{d𝑋}}_{\mathrm{(1)}}}^0}{{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}}={{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0& =& \frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{{\left[\right\{-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}]}^2}\\ & =& \frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{{\left\{\sqrt{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}\right\}}^2}\\ & =& \frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}& \text{(78)}\\ \hfill {\mathrm{𝑐𝑡}}_{\mathrm{(1)}}={{𝑋}_{\mathrm{(1)}}}^0& =& \int \frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{-({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2){({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}}{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}\\ & =& \int \frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}\{-\frac{{𝑐}^4{({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}^2{({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2}{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}+1\}}{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}\\ & =& \frac{{𝑐}^4({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)}{{𝑎}^2\mathrm{𝐾₁₀}}\int \frac{1}{-{\left\{\frac{{𝑐}^2({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}\right\}}^2+1}{\mathrm{d𝜏}}_{𝐴}\\ & =& \frac{{𝑐}^2}{𝑎}\mathrm{artanh}\frac{{𝑐}^2({𝑐}^2+{\mathrm{𝐾₁₃}}^2+{\mathrm{𝐾₁₅}}^2)({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}+\mathrm{𝐾₁₂}\text{（𝐾₁₂は積分定数）}& \text{(79)}\end{array}$$ である。最後の等号は微分の公式 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d𝑥}}\mathrm{artanh}𝑥=\frac{1}{-{𝑥}^2+1}$ を使った。

ここまでで2階微分方程式(65)式（に線素の条件(66)式を加えたもの)の一般解が求まったので表8にまとめておく。

なお ${{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0$ と ${{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^1$ の最後の等号は(74)式を使えば確認できる。

次に初期条件を適用して積分定数を定める。今の出発局面の場合、初期条件はその最初の時刻 ${𝑡}_{\mathrm{(1)}}=0$ のときのアリスの位置と4元速度と固有時である。ボブが加速を始める最初の瞬間まではアリスとボブの運動は共通であるから、 ${𝑡}_{\mathrm{(1)}}=0$ における値は $$\begin{array}{l}{𝑥}_{\mathrm{(1)}}={𝑦}_{\mathrm{(1)}}={𝑧}_{\mathrm{(1)}}=0\\ {{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^1={{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^2={{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^3=0\\ {{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0=\mathrm{𝑐}\end{array}$$ であり、またアリスの固有時も出発時を基準にしたいので ${𝑡}_{\mathrm{(1)}}=0$ のとき 𝜏_𝐴 = 0 とする。

これらの初期条件のうち第2・3成分（𝑦, 𝑧 成分）と 𝜏_𝐴 を(67)〜(70)式に代入すれば、簡単な計算により 𝐾₁₃ = 𝐾₁₄ = 𝐾₁₅ = 𝐾₁₆ = 0 のように定まる。それを表8の各式に代入すると次のようになる。

第2・3成分（𝑦, 𝑧 成分）はずっと 0 であることがわかったので、これ以降この節では書かない。 さらに初期条件のうち第0・1成分（𝑐𝑡, 𝑥 成分）と 𝜏_𝐴 を(80)〜(83)式に代入すれば、簡単な計算により $\mathrm{𝐾₁₀}=\frac{{𝑐}^5}{{𝑎}^2}$, 𝐾₁₁ = 𝐾₁₂ = 0 のように定まる。

積分定数の値を代入する前に、後で使うために(80)〜(83)式を固有時 𝜏_𝐴 を使ったパラメータ表示から座標時 ${𝑡}_{\mathrm{(1)}}$ の関数としての表示に変形する。(80)式を 𝜏_𝐴 について解くと、 $$\begin{array}{lll}\hfill \frac{{𝑐}^2}{𝑎}\mathrm{artanh}\frac{{𝑐}^4({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}+\mathrm{𝐾₁₂}& =& {\mathrm{𝑐𝑡}}_{\mathrm{(1)}}\\ \hfill \frac{{𝑐}^2}{𝑎}\mathrm{artanh}\frac{{𝑐}^4({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}& =& {\mathrm{𝑐𝑡}}_{\mathrm{(1)}}-\mathrm{𝐾₁₂}\\ \hfill \mathrm{artanh}\frac{{𝑐}^4({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}& =& \frac{𝑎}{𝑐}({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐})\\ \hfill \frac{{𝑐}^4({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}& =& \tanh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}\\ \hfill {𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁}& =& \frac{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}{{𝑐}^4}\tanh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}& \text{(84)}\\ \hfill {𝜏}_{𝐴}& =& \frac{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}{{𝑐}^4}\tanh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}-\mathrm{𝐾₁₁}& \text{(85)}\end{array}$$ である。(81)式より、 $$\begin{array}{lll}\hfill {𝑥}_{\mathrm{(1)}}& =& -\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\sqrt{-{𝑐}^2{({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^6}}\\ & =& -\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\sqrt{-{𝑐}^2{\left[\frac{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}{{𝑐}^4}\tanh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}\right]}^2+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^6}}& \text{←}\text{(84)式}\text{を代入した。}\\ & =& -\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\sqrt{-\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^6}{\tanh }^2\left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}+\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^6}}\\ & =& -\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\sqrt{\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^6}[-{\tanh }^2\{\frac{𝑎}{𝑐}({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐})\}+1]}\\ & =& -\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\sqrt{\frac{{𝑎}^2{\mathrm{𝐾₁₀}}^2}{{𝑐}^6}\frac{1}{{\cosh }^2\left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}}}\\ & =& -\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\frac{𝑎\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}{{𝑐}^3\cosh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}}& \text{(86)}\\ \hfill {𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}& =& \frac{𝑎\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}{{𝑐}^3\cosh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}}& \text{(87)}\end{array}$$ である。(82)式より、 $$\begin{array}{lll}\hfill {{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^0& =& \frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{{({𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎})}^2}\\ & =& \frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{{\left[\frac{𝑎\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}{{𝑐}^3\cosh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}}\right]}^2}& \text{←}\text{(87)式}\text{を代入した。}\\ & =& \frac{{𝑐}^6{\cosh }^2\left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}}{{𝑎}^2\mathrm{𝐾₁₀}}& \text{(88)}\end{array}$$ である。(83)式より、 $$\begin{array}{lll}\hfill {{𝑢}_{\mathrm{(1)}}}^1& =& -\frac{{𝑐}^2({𝜏}_{𝐴}+\mathrm{𝐾₁₁})}{{𝑥}_{\mathrm{(1)}}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎}}\\ & =& -\frac{{𝑐}^2\left[\frac{𝑎\mathrm{𝐾₁₀}}{{𝑐}^4}\tanh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}\right]}{\left[\frac{𝑎\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}{{𝑐}^3\cosh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}}\right]}& \text{←}\text{(84)}\text{・}\text{(87)式}\text{を代入した。}\\ & =& -\frac{𝑐\mathrm{𝐾₁₀}\tanh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}\cosh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}}{\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}\\ & =& -\frac{\mathrm{𝐾₁₀}}{\left|\mathrm{𝐾₁₀}\right|}𝑐\sinh \left\{\frac{𝑎}{𝑐}\right({𝑡}_{\mathrm{(1)}}-\frac{\mathrm{𝐾₁₂}}{𝑐}\left)\right\}& \text{(89)}\end{array}$$ である。以上の(85)・(86)・(88)・(89)式が座標時 ${𝑡}_{\mathrm{(1)}}$ の関数としての表示である。

先ほど求めた積分定数の値をこれらに代入すれば、S₍₁₎系で見たアリスの固有時と位置と4元速度は次のようになる。

今は ${𝑥}_{\mathrm{(1)}}>-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}$ の範囲のみを考えることにしているが、(91)式より確かにその範囲に収まっていることがわかる。(90)式より、 𝜏_𝐴 は $\frac{𝑐}{𝑎}$ で頭打ちになり、S₍₁₎系で測ると ${𝑡}_{\mathrm{(1)}}$ が大きくなったときアリスの時間はほぼ止まってしまうことになる。

出発局面の終了時では、 ${𝑡}_{\mathrm{(1)}}=\mathrm{𝑇₁}$ であるからこれを(90)〜(93)式に代入すると、アリスの固有時は $\frac{𝑐}{𝑎}\tanh \frac{𝑎\mathrm{𝑇₁}}{𝑐}$ 、位置は $-\frac{{𝑐}^2}{𝑎}+\frac{{𝑐}^2}{𝑎\cosh \frac{𝑎\mathrm{𝑇₁}}{𝑐}}$ 、4元速度は $(𝑐{\cosh }^2\frac{𝑎\mathrm{𝑇₁}}{𝑐},-𝑐\sinh \frac{𝑎\mathrm{𝑇₁}}{𝑐},0,0)$ である。